2022年暑假初升高数学第18讲：函数的概念（学生版）

2022年暑假初升高数学第18讲：函数的概

念

学习目标核心素养

1.进一步体会函数是描述变量之间的依赖1通.过学习函数的概念，培养数学抽

关系的重要数学模型.能用集合与对应的象素养.

语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数2.借助函数定义域的求解，培养数

学概念中的作用.（重点、难点）学运算素养.

2.了解构成函数的要素，会求一些简单函3.借助与犬。）的关系，培养逻

数的定义域和值域.（重点）辑推理素养.

K新知初探m

1.函数的概念

给定两个非空实数集A与B,以及对应关系/,如果对于集合

A中的每一个实数x,按照对应关系方在集合8中都有唯二

定义确定的实数y=/U）与x对应，则称/为定义在集合A上的一

个函数,记作：y=y（x），x£A,其中x称为自变量，），称为因

变量

对应关

y=/U),xWA

三要系

素定义域自变量x的取值的范围（即数集A）

值域所有函数值组成的集合｛y£"V=/a）,16工

思考：（1）有人认为表示的是“y等于7与x的乘积”，这种看法

对吗？

（2次只与«〃）有何区别与联系？

提示：（1）这种看法不对.

符号y=/U）是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，,是对

应关系，y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的），值为与该自变

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量值对应的函数值.），=/□）仅仅是函数符号，不表示"），等于/'与上的乘积”.在

研究函数时，除用符号./U）外，还常用以外，/?。）等来表示函数.

（2次x）与犬〃）的区别与联系：人〃）表示当时，函数共幻的值，是一个常量，

而兀r）是自变量入的函数，一般情况下，它是一个变量，以。）是段）的一个特殊值,

如一次函数次x）=3x+4,当/=8时，H8）=3X8+4=28是一个常数.

2.两个函数相同

一般地，如果两个函数的定义域相圆，对应关系也想圆（即对自变量的每一

个值，两个函数对应的函数值都相等），则称这两个函数就是同一个函数.

初，试身

1.思考辨析

（1）函数了=«¥）=/,与〃=4。=尸，表示的是同一个函数.（）

（2）函数y=/*）=f［0,2］与g（x）=2x,x£。2］表示的是同一个函数.（）

（3）函数y=/U）=f,工£。2］与//（工）=/,x£（0,2）表示同一个函数.（）

2.函数的定义域是()

A.[-1,+8)B.[-1,0)

C.(-1,+8)D.(-1,0)

3.若负㈤=।_^2,则7(3)=.

4.下表表示y是x的函数，则函数的值域是

Xx<22«x>3

y-101

合作探究。提素养

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、类型1函数的概念

【例1】(1)下列四组函数，表示同一函数的是()

A.兀r)=d?,g(x)=x

B./(x)=xfga)=m

c.X%)=A/P,g(x)=x

D./)=f，g(x)=(也)4

(2)判断下列对应/是否为定义在集合4上的函数.

①4=R,B=R,对应法则/：y=±;

②…⑦},B=R,/(1)=/(2)=3,43)=4；

3={1,2,3},3={4,5,6},对应法则如图所示.

现律方法

1.判断对应关系是否为函数的2个条件

(1)4,B必须是非空实数集.

(2)4中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应.

对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数

关系.

2.判断函数相等的方法

(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；

(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同.

◎跟踪训练

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1.判断下列对应关系/是不是定义在集合A上的函数.

(1)A=N,B=N\对应法则力对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应;

(2)4={-1,1,2,-2),B={1,4),对应法则/：工一)，=«,)，£&

(3)A={-1,1,2,一2},B={1,2,4},对应法则声xJ,yWB；

(4)A={三角形},B={x|x>0},对应法则/：对4中元素求面积与B中元素

对应.

堡型27求函数的定义域

[探究问题]

1.已知函数的解析式，求其定义域时，能否可以对其先化简再求定义域？

2.若函数y=/*+l)的定义域是[1,2],这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？

函数y=/U)的定义域是什么？

【例2】求下列函数的定义域:

(1次力=2+不二；

（2/元）=（/—

(3/元)=如一不山一1；

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(x+1)2/------

(4次x)=Tp十一产;.

［母题探究］

（变结论）在本例（3）条件不变的前提下，求函数y=ya+1）的定义域.

加律方法

求函数定义域的常用方法

（1）若加）是分式，则应考虑使分母不为零.

（2）若於）是偶次根式，则被开方数大于或等于零.

（3）若於）是指数嘉，则函数的定义域是使嘉运算有意义的实数集合.

（4）若段）是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集.

（5）若左）是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.

◎跟踪训练

2.下列函数的定义域不是R的是（）

A.y=x-\~\B.

C.y="D.y=2x

3.已知函数的定义域为M,g（x）=d1的定义域为N,则MAN

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=()

A.{x\x^-2]B.{x\x<2}

C.{x|-2<x<2)D.{x|-2^x<2)

W型3求函数值（值域）

【例3】设人外=2?+2,g（x）=］工.

（1）求人2），4。+3）,g（〃）+g（O）m#—2），g（A2））；

⑵求函数y=2x+l,123,4｝的值域.

现律方法

1.函数求值的方法

（1）已知7U）的表达式时，只需用。替换表达式中的x即得寅。）的值.

（2）求人以〃））的值应遵循由里往外的原则.

2.求函数值域的常用方法

（1）观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域,

求出函数的值域.如：①一次函数人工）="+伏&W0）的值域是R;②反比例函数

y（x）=§（zwo）的值域是3），20）；③二次函数於）=加+法+以〃20）,当。＞o时,

值域是小打一5;当Y0时，值域是出0（一部）.

（2）配方法，判别式法是求解二次函数型值域的常用方法.

（3）换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数转化为简

单的函数，从而求得函数的值域.

Q跟踪训缄D

4.已知/U）=r+2x+3,求犬1）和川（-1））的值.

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5.求函数y=l—x2的值域.

r~^课堂小结m

1.判断两个函数相同

函数的定义主要包括定义域和定义域到值域的对应法则，因此，判定两个函

数是否相同时，就看定义域和对应法则是否完全一致，完全一致的两个函数才算

相同.

2.对函数定义的再理解

（1）函数的定义域必须是丰空实数集，因此定义域为空集的函数不存在.如y

就不是函数;集合A中的元素是实数，即且AGR.

（2）函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A

中的任意一个（任意性）元素x,都有（存在性）唯一（唯一性）的元素y与之对应.这

三性只要有一个不满足，便不能构成函数.

（3）函数7U）的定义域是非空数集A,但值域不一定是非空数集8,而是非空

数集8的子集.

例如，对于从集合A—R到集合R的函数y—值域是而不

是R.

当堂达标。国以基