专题13 三角形的相关性质与判定（一）（云南专用）（原卷版）

专题13三角形的相关性质与判定（一）目录热点题型归纳 1题型01三角形内角和定理与外角和定理 1题型02三角形内角和与外角和定理的应用 4题型03三角形的三边关系 6题型04与三角形有关线段问题 7题型05线段垂直平分线的性质与判定 10题型06角平分线的性质与判定 12中考练场 13 题型01三角形内角和定理与外角和定理【解题策略】三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．推论：直角三角形的两个锐角互余.三角形的内角和定理的应用：1)在三角形中,已知两个内角的度数,可以求出第三个内角的度数；2)在三角形中,已知三个内角的比例关系,可以求出三个内角的度数；3)在直角三角形中,已知一个锐角的度数,可以求出另一个锐角的度数.三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°．三角形的外角和的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．方法总结三角形中角度计算的6种常考模型：A字模型8字模型飞镖模型老鹰抓小鸡模型（一）∠1+∠2=∠A+180°∠A+∠B=∠C+∠D∠C=∠A+∠B+∠D∠A+∠O=∠1+∠2老鹰抓小鸡模型（二）双角平分线模型（一）双角平分线模型（二）双角平分线模型（三）∠A+∠O=∠2-∠1∠D=90°+12∠D=90°-12∠E=12∠三角形折叠模型（一）三角形折叠模型（二）三角形折叠模型（三）∠2=2∠C2∠C=∠1+∠2或∠C=12（∠1+∠22∠C=∠2-∠1或∠C=12（∠2【典例分析】例1．（2022·内蒙古）如图，△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，使点B的对应点D恰好落在AB边上，AC、ED交于点F．若∠BCD=α，则∠EFC的度数是（用含α的代数式表示）（

）A．90°+12α B．90°−12α例2．（2023·四川）如图，AE∥CD，AC平分∠BCD，∠2=35°,∠D=60°则∠B=（

）

A．52° B．50° C．45° D．25°【变式演练】1．（2022·安徽·一模）将两个直角三角板如图摆放，其中∠BCA=∠EDF=90°，∠E=45°，∠A=30°，BC与DE交于点P，AC与DF交于点Q．若AB∥EF，则∠DPC−∠DQC=（A．40° B．32.5° C．45.5° D．30°2．（2022·安徽合肥·二模）如图是一款手推车的平面示意图，其中AB∥CD，∠3=150°，∠1=30°，则A．60° B．70° C．80° D．90°3．（2023·广东广州·统考一模）在“玩转数学”活动中，小林剪掉等边三角形纸片的一角，如图所示，发现得到的∠1与∠2的和总是一个定值．则∠1+∠2=度．4．（2023·江苏泰州·中考真题）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=30°，射线CP从射线CA开始绕点C逆时针旋转α角0°<α<75°，与射线AB相交于点D，将△ACD沿射线CP翻折至△A'CD处，射线CA'与射线AB相交于点E．若△

题型02三角形内角和与外角和定理的应用【典例分析】例1．（2024·江西模拟）苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现苯分子中的6个碳原子与6个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等（如图1），组成了一个完美的六边形（正六边形），图2是其平面示意图，则∠1的度数为（）

A．130° B．120° C．110° D．60°例2．（2023·山西模拟）绿色出行，健康出行，你我同行．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中AB，CD都与地面平行，∠BCD=68°，∠BAC=52°．已知AM与CB平行，则∠MAC的度数为（

）图1

图2A．70° B．68° C．60° D．50°【变式演练】1．（2022·湖南）如图，一束光沿CD方向，先后经过平面镜OB、OA反射后，沿EF方向射出，已知∠AOB=120°，∠CDB=20°，则∠AEF=．2．（2024·陕西模拟）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1=155°，∠2=30°，则∠3A．45° B．50° C．55° D．65°题型03三角形的三边关系【解题策略】三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边．推论：三角形的两边之差小于第三边．【解题技巧】1）判断三条已知线段能否组成三角形，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形．2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a-b|＜c＜a＋b3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形．【典例分析】例1．（2024·湖南模拟）3.已知a，b，c是一个三角形的三边，且a，b满足a−1+(b−2)2=0.则c的取值范围是______．例2．（2020·甘肃天水·统考中考真题）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2−8x+12=0的根，则该三角形的周长为【变式演练】1．（2023·河北）四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为（

）

A．2 B．3 C．4 D．52.（2024·湖南模拟）2,5,m是某三角形三边的长，则(m−3)2+(m−7)A．2m−10 B．10−2m C．10 D．4题型04与三角形有关线段问题【解题策略】三角形有关的线段的性质：高（AD）中线（AD）角平分线（AD）中位线（DE）∠ADB=∠ADC=90°BD=CDS△ABD=S△ADCC∠BAD=∠DAC=12AD=DBAE=ECDE=12方法总结：1.三角形的高、中线、角平分线是三条线段，由三角形的高可得90°的角，由三角形的中线可得线段之间的关系，由三角形的角平分线可得角之间的关系．2.常见三角形的高：3.当已知三角形两边的中点时，可考虑运用三角形中位线定理，得到相应线段的数量关系与位置关系.【典例分析】例1．（2024·山东模拟）观察下列作图痕迹，所作CD为△ABC的边AB上的中线是(

)A. B.

C. D.例2．（2024·全国模拟）如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB=AC，∠CAD=20∘，则∠ACE的度数是(

)

A.20∘ B.35∘ C.例3．（2024·广东模拟）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点．若DE=2，则BC的长是(

)

A.3

B.4

C.5

D.6【变式演练】1．（2023·江苏模拟）如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D．若BF=3FE，则BDDC=2．（2023·黑龙江模拟）已知，如图1，若AD是△ABC中∠BAC的内角平分线，通过证明可得ABAC=BDCD，同理，若AE是△ABC中∠BAC的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在△ABC中，BD=2,CD=3,AD是△ABC的内角平分线，则△ABC的BC题型05线段垂直平分线的性质与判定【解题策略】垂直平分线的概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）.性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.方法总结：对于含有垂直平分线的题目，首先考虑将垂直平分线上的点与线段两端点连接起来．【典例分析】例1．（2023·天津）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等)，两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD.若BD=DC，AE=4，AD=5，则AB的长为(

)

A.9 B.8 C.7 D.6例2．（2022·湖北）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于12BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB=7，AC=12，BC=6，则△ABD的周长为（A．25 B．22 C．19 D．18【变式演练】1.（2023·山东）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于D的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论中不正确的是(

)A.BE=DE B.AE=CE

C.CE=2BE D.S2．（2024·吉林模拟）如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（

）A．AF=BF B．AE=C．∠DBF+∠DFB=90° D．∠BAF=∠EBC3．（2023·江西模拟）如图，AC平分∠DCB，CB=CD，DA的延长线交BC于点E，若∠EAC=49∘，则∠BAE的度数为题型06角平分线的性质与判定【解题策略】角平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．角平分线的判定定理：角的内部，与角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．方法总结性质中的“距离”是指“点到角两边所在直线的距离”,因此在应用时必须含有“垂直”这个条件,否则不能得到线段相等.【典例分析】例1．（2022·四川）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D，DE//AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE=5,DF=3，则下列结论错误的是（

A．BF=1 B．DC=3 C．AE=5 D．AC=9【变式演练】1．（2021·广东深圳·中考真题）如图，已知∠BAC=60°，AD是角平分线且AD=10，作AD的垂直平分线交AC于点F，作DE⊥AC，则△DEF周长为．2.（2022·江苏）如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝25°，则下列结论错误的是（

）A．AE⊥DE B．AE//OD C．DE=OD D．∠BOD=50°1．（2023·江苏）如图，△ABC中，∠BAC=55°，将△ABC逆时针旋转α(0°<α<55°),得到△ADE，DE交AC于F．当α=40°时，点D恰好落在BC上，此时∠AFE等于（

）

A．80° B．85° C．90° D．95°2．（2022·湖北）如图，沿AB方向架桥修路，为加快施工进度，在直线AB上湖的另一边的D处同时施工．取∠ABC=150°，BC=1600m，∠BCD=105°，则C，D两点的距离是m3．（2023·江苏）若一个等腰三角形的腰长为3，则它的周长可能是(

)A.5 B.10 C.15 D.204.（2023·四川）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连结OE.若AC=6，BD=8，则OE=(

)A.2

B.52

C.3

D.5.（2022·四川）如图，在△ABC中，∠CAD=90°，AD=3，AC=4，BD=DE=EC，点F是AB边的中点，则DF=(

)

A.54 B.52 C.2 6.（2023·广东）如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的(

)

A.三条边的垂直平分线的交点 B.三条角平分线的交点

C.三条中线的交点 D.三条高的交点7．（2022·湖北）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于12BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB=7，AC=12，BC=6，则△ABD的周长为（A．25 B．22 C．19 D．188.（2023·内蒙古）如图，矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN分别交AD，BC于点M，N.若AM=1，BN=2，则BD的长为(

)A.23

B.3

C.29.（2023·浙江）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B=∠ADB.若AB=4，则DC的长是

．

10.（2023·全国）如图，在△ABC中，∠A=9