考点07 解直角三角形及其应用（原卷版）

考点七解直角三角形及其应用知识点整合一、锐角三角函数的定义在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=．根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.二、特殊角的三角函数值αsinαcosαtanα30°45°160°三、解直角三角形1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则：（1）三边关系：a2+b2=c2；（2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；（3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=；（4）sin2A+cos2A=1．3．科学选择解直角三角形的方法口诀：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.四、解直角三角形的应用1．仰角和俯角仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．2．坡度和坡角坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．学-科网3．方向角（或方位角）指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．4．解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.学科_网5．解直角三角形实际应用的一般步骤（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；（3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．考向一求三角函数的值（1）分清直角三角形中的斜边与直角边.（2）正确地表示出直角三角形的三边长，常设某条直角边长为k（有时也可设为1），在求三角函数值的过程中约去k．（3）正确应用勾股定理求第三边长．（4）应用锐角三角函数定义，求出三角函数值．典例引领1．在中，若三个内角，则等于（）A． B． C． D．2．的值为（

）A． B． C． D．3．如图是一个的方阵，其中每行、每列的两数和相等，则a可以是（

）

A． B． C．0 D．4．的相反数是（）A．1 B． C． D．5．角的正弦值为（

）A． B． C． D．变式拓展6．如图，在中，已知，，，则．

7．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长相同，那么的正弦值为．

8．在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是．9．和均为等腰直角三角形，按如图所示的方式放置，的顶点与斜边的中点重合，边与边相交于点，若，，，则的面积为．10．在等腰中，，高，则．11．在中，，则为三角形．考向二解直角三角形的应用解此类题的一般方法：（1）构造直角三角形；（2）理清直角三角形的边角关系；（3）利用特殊角的三角函数值解答问题.典例引领1．如图，为了测量斜坡上的建筑物的高度，一个数学兴趣小组，站在山脚C点处测得建筑物底部B点的仰角为，然后沿水平方向走了6米到达点D，再沿坡度为的斜坡走了26米到达点E，继续向前走了25米到达了一个比较好的测量点F，在F点测得建筑物底部B的仰角为，建筑物顶部A的仰角为（测量员身高与测角仪高度均忽略不计，且A、B、C、D、E、F在同一平面内）．(1)求点F到山脚C的水平距离；(2)求建筑物的的高度；（精确到，参考数据，，，，）2．如图，大厅的天花板上挂有一盏吊灯，测量人员从点处测得吊灯顶端的仰角为，吊灯底端的仰角为，从点沿水平方向前进6米到达点，测得吊灯底端的仰角为，求吊灯的长度．(结果保留根号，参考数据：，，）

3．如图，为了测得某建筑物的高度，在C处用高为1米的测角仪，测得该建筑物顶端A的仰角为，再向建筑物方向前进80米，又测得该建筑物顶端A的仰角为．求该建筑物的高度．（结果保留根号）4．七中育才学校正在举行运动会，某同学想用无人机记录下运动会的盛况，如图，当无人机到达离地面高度为米的A处时，仪器显示正前方的教学楼顶部B的仰角是，底部C的俯角是，求教学楼的高度．（参考数据：，，，，结果精确到米）

5．鹤壁市新世纪广场，是鹤壁市为了打造“火焰般的活力，钻石般的晶莹，田园般的美丽”的城市品牌，聘请清华大学设计建造的高起点、高品味的大型综合性广场．其中，钟塔是广场的主题，也是鹤壁市新区城市的标志性建筑，他默默的陪伴着鹤壁人民走过了20多年的岁月．如图所示，小明在钟塔一侧的水平面上的处测得塔顶的仰角为，在某建筑物顶部处，又测得塔顶的仰角为，已知建筑物的总高度为米，水平距离的长度为10米，试求钟塔的高度．（结果精确到1米，参考数据：）变式拓展6．如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道由两段互相平行并且与地面成角的楼梯和一段水平平台构成．已知天桥高度米，引桥水平跨度米．（参考数据：取）(1)求水平平台的长度；(2)若与地面垂直的平台立柱的高度为3米，求两段楼梯的长度之比．7．如图，我国某边防哨所树立了“祖国在我心中”建筑物，它的横截面为四边形．其中，，建筑物顶上有一旗杆，士兵小明站在D处，由E点观察到旗杆顶部A的仰角为，底部B的仰角为，已知旗杆米，米．求建筑物的高度（结果精确到0.1米，参考数据：，）．8．如图，一艘渔船位于小岛M的北偏东方向、距离小岛180海里的A处，渔船从A处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东方向的B处．(1)求渔船从A处到B处的航行过程中，与小岛M之间的最小距离（结果用根号表示）；(2)求的长（结果精确到1海里，参考数据：，，）．9．如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼的高度进行测量，先测得居民楼与之间的距离为，后站在M点处测得居民楼的顶端D的仰角为，居民楼的顶端B的仰角为，已知居民楼的高度为，小莹的观测点N距地面．求居民楼的高度（精确到）．（参考数据：，，）．10．2021年5月7日，“雪龙2”船返回上海国内基地码头，标志着中国第37次南极考察圆满完成．已知“雪龙2”船上午9时在B市的北偏西方向上的点A处，且在C岛的南偏西方向上，已知B市在C岛的南偏西方向上，且距离C岛116km．此时，“雪龙2”船沿着方向以24km/h的速度航行．请你计算“雪龙2”船大约几点钟到达C岛？（参考数据：，，，，，）

11．一