考点05 反比例函数的图像和性质（解析版）

考点五反比例函数的图像和性质知识点整合一、反比例函数的概念1．反比例函数的概念一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．2．反比例函数（k是常数，k0）中x，y的取值范围反比例函数（k是常数，k≠0）的自变量x的取值范围是不等于0的任意实数，函数值y的取值范围也是非零实数．二、反比例函数的图象和性质1．反比例函数的图象与性质（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．（2）性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．表达式（k是常数，k≠0）kk>0k<0大致图象所在象限第一、三象限第二、四象限增减性在每个象限内，y随x的增大而减小在每个象限内，y随x的增大而增大2．反比例函数图象的对称性反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为原点．3．注意（1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点．（2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永远不与坐标轴相交，因为反比例函数中x≠0且y≠0．（3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．三、反比例函数解析式的确定1．待定系数法确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤（1）设反比例函数解析式为（k≠0）；（2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；（3）解这个方程求出待定系数k；（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．四、反比例函数中|k|的几何意义1．反比例函数图象中有关图形的面积2．涉及三角形的面积型当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|；（2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；（3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．五、反比例函数与一次函数的综合1．涉及自变量取值范围型当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围.例如，如下图，当时，x的取值范围为或；同理，当时，x的取值范围为或．2．求一次函数与反比例函数的交点坐标（1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定.①k值同号，两个函数必有两个交点；②k值异号，两个函数可能无交点，可能有一个交点，也可能有两个交点；（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．考向一反比例函数的定义1．反比例函数的表达式中，等号左边是函数值y，等号右边是关于自变量x的分式，分子是不为零的常数k，分母不能是多项式，只能是x的一次单项式．2．反比例函数的一般形式的结构特征：①k≠0；②以分式形式呈现；③在分母中x的指数为-1典例引领1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，一般地，形如的函数叫做反比例函数，据此可得答案．【详解】解：A、，y是的反比例函数，不符合题意；B、，，y是x的反比例函数，符合题意；C、，y不是x的反比例函数，不符合题意；D、，y不是x的反比例函数，不符合题意；故选：B．2．下列函数中，是反比例函数的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了反比例函数，熟记函数的定义是解题的关键．根据反比例函数的定义对各选项分析判断即可解答．【详解】解：A、是反比例函数，故本选项正确．B、是一次函数，故本选项错误．C、是二次函数，故本选项错误．D、是一次函数，故本选项错误．故选：A．3．已知反比例函数的图象经过点与），则的值为（

）A． B．4 C． D．8【答案】B【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，根据条件求出反比例函数解析式的比例系数k的值，代入，求出m即可．【详解】解：设反比例函数解析式为：，代入点，解得：，代入，解得：，故选B．变式拓展4．若函数是反比例函数，则．【答案】【分析】本题考查反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解题的关键．根据反比例函数的定义求解即可．【详解】∵函数为反比例函数，∴且．解得．故答案是：．5．已知是反比例函数，则．【答案】【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义得出，，熟练掌握反比例函数的定义是解此题的关键．【详解】解：是反比例函数，，，解得：，故答案为：．6．如果点是反比例函数图象上一点，那么．【答案】【分析】本题考查了待定系数法求解反比例函数解析式．把代入函数即可求解．【详解】解：点是反比例函数图象上一点，，，故答案为：．7．若是关于的反比例函数，则常数．【答案】2【分析】此题主要考查了反比例函数的定义，正确把握定义是解题关键．直接利用反比例函数的定义分析得出答案．【详解】解：∵函数是关于的反比例函数，解得：．故答案为：2．考向二反比例函数的图象和性质当k>0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内，y随x的增大而减小．当k<0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内，y随x的增大而增大．双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）．典例引领1．我们知道函数的图象可以由反比例函数的图象左右平移得到，下列关于的图象的性质：①的图象可以由的图象向右平移3个单位长度得到；②的图象关于点对称；③的图象关于直线对称；④若，根据图象可知，的解集是．其中正确的是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．①②④【答案】B【分析】①由平移变函数关系式的规律“左加右减”，即可判断；②由的图象关于对称，即可判断；③由的图象关于直线对称，即可判断；④画出图象，结合图象，即可求解．【详解】解：①的图象可以由的图象向左平移3个单位长度得到，结论错误；②的图象关于对称，当时，，的图象关于点对称；结论正确；③的图象关于直线对称，的图象关于直线对称；结论正确；④如图，根据图象可知，的解集是；结论错误；正确的有②③；故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，平移的性质，反比例函数图象与几何变换，掌握性质，数形结合是解题的关键．2．如图，点和点是反比例函数的一个分支上的两点，且点B在点A的右侧，则下列说法中，不正确的是（

）A．该反比例函数解析式B．矩形的面积为2C．该反比例函数的另一个分支在第三象限，且y随x的增大而增大D．b的取值范围是【答案】C【分析】本题考查的是反比例函数的图象与性质，求解反比例函数的解析式可判断A，利用反比例函数图象上点的坐标特点可判断B，根据反比例函数的性质可判断C，D，从而可得答案．【详解】解：∵点和点是反比例函数的一个分支上的两点，∴，∴反比例函数，故A不符合题意；∴矩形的面积为2，故B不符合题意；∵该反比例函数的另一个分支在第三象限，且y随x的增大而减小

∴C符合题意；∵点B在点A的右侧，∴b的取值范围是，故D不符合题意；故选C3．点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据反比例函数的性质，可以判断出，，的大小关系，本题得以解决．【详解】解：∵反比例函数，∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．∵点，，都在反比例函数的图象上，∵，∴，故选：C．4．反比例函数的图象在每个象限内，函数随的增大而减小，则的值可以()A．3 B．2 C．1 D．0【答案】D【分析】本题考查了反比例函数的性质；由反比例函数的性质列出不等式，解出的范围，即可判断．【详解】解：根据题意，，解得，∴满足题意，故选：D．变式拓展5．已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了反比例函数的增减性，解题的关键是掌握反比例函数，当时，经过一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；反之经过二、四象限，y随x的增大而增大．据此即可解答．【详解】解：∵，∴反比例函数经过一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，∴，在第三象限，在第一象限，∴，故选：D．6．当反比例函数的自变量满足时，函数值满足，则的值为（

）A． B．或2 C．或 D．2或【答案】A【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质；显然；由知，当时，；当时，；由此可求得k的值．【详解】解：当时，有，则；∵当时，有，∴当时，；当时，；∴；即；故选：A．二、填空题7．在平面直角坐标系中，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，若点的坐标为，则点的坐标为．【答案】【分析】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性．反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，据此求解即可．【详解】解：根据题意，知点A与B关于原点对称，∵点A的坐标是，∴B点的坐标为．故答案为：．三、解答题8．小明在实验课上做了一个试验．如图，在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘（可左右移动）中放置一个装水的容器，容器的质量为．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录容器中加入的水的质量，得到下表：托盘与点的距离3025201510容器与水的总质量1012152030加入的水的质量57101525把上表中的与各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的关于的函数图象．(1)请在该平面直角坐标系中作出关于的函数图象；(2)观察函数图象，并结合表中的数据：①猜测与之间的函数关系，并求关于的函数表达式；②求关于的函数表达式；③当时，随的增大而______（填“增大”或“减小”），随的增大而______（填“增大”或“减小”），的图象可以由的图象向______（填“上”或“下”）平移得到．(3)若在容器中加入的水的质量满足，求托盘与点的距离的取值范围．【答案】(1)见解析(2)①是的反比例函数，；②；③减小，减小，下；(3)【分析】本题主要考查了反比例函数及画图等．解决问题的关键是熟练掌握反比例函数图象的画法，反比例函数的性质，反比例函数图象的平移．（1）将平面直角坐标系中的点用平滑曲线连接即可；（2）①观察表格数据可知，是x的反比例函数，设，把代入计算，得到，即可；②根据与x成反比例函数，设，即可得解；③根据图象上函数值随自变量的变化情况作答即可；（3）把代入计算即可．【详解】（1）解：作出关于的函数图象如下：（2）①观察表格可知，是的反比例函数，设，把代入得：，∴，∴关于的函数表达式是；②∵，∴；∴；③观察图象可得，当时，随的增大而减小，随的增大而减小，的图象可以由的图象向下平移5个单位长度得到；故答案为：减小，减小，下；（3）∵，，∴，∴，∴．考向三反比例函数解析式的确定1．反比例函数的解析式（k≠0）中，只有一个待定系数k，确定了k值，也就确定了反比例函数，因此要确定反比例函数的解析式，只需给出一对x，y的对应值或图象上一个点的坐标，代入中即可．2．确定点是否在反比例函数图象上的方法：（1）把点的横坐标代入解析式，求出y的值，若所求值等于点的纵坐标，则点在图象上；若所求值不等于点的纵坐标，则点不在图象上．（2）把点的横、纵坐标相乘，若乘积等于k，则点在图象上，若乘积不等于k，则点不在图象上．典例引领1．如图，点在函数的图像上，将该函数图像向上平移3个单位长度得到一条新的曲线，点的对应点分别为．若图中阴影部分的面积为9，则的值为．【答案】30【分析】此题主要考查了平移的性质和反比例函数图象上点的坐标特征，得出点坐标是解题关键．利用平行四边形的面积公式得出a的值，进而利用反比例函数图象上点的性质得出的值．【详解】∵将该函数图像向上平移3个单位长度得到一条新的曲线，点的对应点分别为，图中阴影部分的面积为9，，∴，，故答案为：．2．如图，矩形的边与y轴平行，顶点B的坐标为，，反比例函数的图象同时经过点A与点C，则k的值为．【答案】【分析】本题主要考查了矩形的性质及待定系数法求反比例函数解析式，根据矩形的边与y轴平行，，，可得A、C坐标，根据反比例函数图象过点A、C，可得关于m的方程，即可求出m的值，进而可求出k值．正确表示出点A、C的坐标是解决问题的关键．【详解】解：∵矩形的边与y轴平行，顶点B的坐标为，，∴，，∵反比例函数的图象同时经过点A与点C，∴，解得，∴．故答案为：．3．如图，正方形的顶点A，B在x轴上，点，正方形的对称中心为点M．已知反比例函数的图像经过点M，则该反比例函数的表达式为．【答案】【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式、正方形的性质等知识点，确定点M的坐标是解题的关键．先根据坐标与图形得到，然后根据中点坐标公式确定点M的坐标，然后运用待定系数法即可解答．【详解】解：∵正方形的顶点A，B在x轴上，点，∴，∴点M的坐标为，即，∴，即，∴．故答案为．4．如图所示，设C为反比例函数图象上一点，且长方形的面积为5，则这个反比例函数的解析式为．【答案】【分析】本题考查反比例函数图像的性质，熟练掌握反比例函数图像和性质是解答本题的关键．根据反比例函数的表达式可设C的坐标为，然后根据C点横纵坐标乘积的绝对值等于长方形的面积即可求得a的值，则可写出反比例函数的解析式．【详解】解：由题意设点C的坐标为，因为长方形的面积为5，所以有，解得：所以该反比例函数的解析式是：．故答案为：．变式拓展5．已知反比例函数的图象经过点，且函数图象过第一象限的两点，，若，则，的取值范围为．【答案】5【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，解一元一次不等式（组）．由题意知，，计算求解即可；由题意知，反比例函数在第一象限，随着的增大而减小，由，可得，计算求解并和综合求取值范围即可．【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点，∴，解得，，由题意知，反比例函数在第一象限，随着的增大而减小，∵，∴，解得，，∵，∴，∴的取值范围为．故答案为：5；．6．已知是关于的反比例函数，当时，．则这个函数的表达式为．【答案】【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法．【详解】解：设这个函数的表达式为，∵时，，∴，∴这个函数的表达式为．故答案为：．7．在平面直角坐标系内，如图，矩形的点，在轴正半轴上，是的中点，是边上一点，反比例函数经过点．若，，，则的值为．【答案】【分析】利用反比例函数图像上的坐标特点，得出，进而求出的值，即可得出答案．【详解】解：∵是矩形，∴,∵，为的中点，∴，∵，∴，∵，设，则，∵、都在反比例函数图像上，∴，即，解得：，则，故答案为：【点睛】本题主要考查了勾股定理，求反比函数的解析式，矩形的性质，反比例函数比例系数的几何意义，根据中点坐标公式表示出各点坐标是解题的关键．8．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，连接，过A点作双曲线交线段于点D（不与点B、C重合），已知，若，则a的取值范围是．【答案】【分析】本题考查利用待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征以及解不等式．先求出双曲线解析式，由题意可用a表示出D点坐标．即可求出和的长．再由线段与双曲线有交点且与点B、C不重合和可列出不等式，解出不等式即可求出a的取值范围．【详解】解：由题意可知点A在双曲线上，∴将点A坐标代入双曲线解析式得：，解得：．即双曲线解析式为，∵，，∴轴，∴D点纵坐标为a，将D点纵坐标代入双曲线解析式得：，即，∴D点坐标为．∵线段与双曲线有交点且与点B、C不重合，∴，解得：．∵，，且．∴．∴．综上可知．故答案为：．考向四反比例函数中k的几何意义三角形的面积与k的关系（1）因为反比例函数中的k有正负之分，所以在利用解析式求矩形或三角形的面积时，都应加上绝对值符号．（2）若三角形的面积为|k|，满足条件的三角形的三个顶点分别为原点，反比例函数图象上一点及过此点向坐标轴所作垂线的垂足．典例引领1．如图，反比例函数图象过第二象限内一点P，过点P的直线分别交x轴，y轴于点A，B，轴于点C，轴于点D，若，则k的值为（）A． B．6 C． D．10【答案】C【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，通过相似三角形得出是解题的关键．利用与相似即可解决问题．【详解】解：轴，轴，，轴，，，∴．又，，即．又∵点P在反比例函数的图象上，，则，又∵反比例函数的一支位于第二象限，，．故选：C．二、填空题2．如图，面积为的的斜边在轴上，，反比例函数图象恰好经过点，则的值为．【答案】【分析】本题考查的是反比例函数系数的几何意义，三角形相似的判定和性质，求得的面积是是解答此题的关键．作于，根据角的直角三角形的性质得出，然后通过证得，求得的面积，然后根据反比例函数的几何意义即可求得的值．【详解】解：作于，

∵中，，∴，∵，，∴，∴，∴，∵||，∴||，∵反比例函数图象在二、四象限，∴，故选:．3．如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴，点在轴正半轴上，若的面积为，则的值为．【答案】【分析】此题主要考查了反比例函数的图象，反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象，理解反比例函数比例系数的几何意义是解决问题的关键．连接，根据轴，得和关于边上的高相等，即，然后再根据反比例函数比例系数的几何意义得，由此可得的值．【详解】解：连接，如图所示：轴，和关于边上的高相等，，根据反比例函数比例系数的几何意义得：，，反比例函数的图象在第二象限，．故答案为：变式拓展4．如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形的两条邻边，分别在轴正半轴和轴正半轴上，点为正方形的中心，反比例函数的图象过点且交边于点，连接，．（1）用含的代数式表示的值为（2）若，则的值为【答案】【分析】本题考查了反比例函数图像上坐标特征，反比例函数系数的几何意义，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解答本题的关键．（1）根据题意设：，则，得到，代入反比例函数，得到答案．（2）作于点，得到，再由，利用梯形面积公式，求出，由此得到答案．【详解】解：（1）根据题意设：，则，点为正方形的中心，，反比例函数的图象过点，，故答案为：．（2）根据题意，如图，作于点，，点的横坐标为，反比例函数的图象过点，点的纵坐标为，，，，，即，，，故答案为：．三、解答题5．已知反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点，与另一个正比例函数的图象相交于点，其中点在第一象限．若四边形的面积为24，求点的坐标．【答案】或【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数比例系数的几何意义，平行四边形的判定与性质；由反比例函数的对称性得四边形是平行四边形，由此得；设点，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为点、，由，分两种情况即可求得m，进而求得点C的坐标．【详解】解：根据对称性，，，∴四边形是平行四边形，∴，设点，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为点、，如图，∵点、在反比例函数的图象上，∴，当时，则，∴，即，解得(舍)或，∴点；当时，则，∴，即，解得(舍)或，∴点．综上，点的坐标为或．6．如图，在平面直角坐标系中，等腰三角形的底边在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，延长交轴于点，若，的面积为，求的值．【答案】【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，反比例函数图象上点的纵横坐标之积相等．作轴，垂足为点，连接，利用相似得到三角形面积，根据线段之比得到三角形的面积，两个面积之和为绝对值的一半即可求出值．【详解】解：作轴，垂足为点，连接，，轴，，，，，∵，，，，，，，，反比例函数图象在第一象限，．7．经过点，过点作轴于点，且的面积为5．(1)求和的値；(2)当时，求函数值的取值范围．【答案】(1)，；(2)．【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点在图象上，点的横纵坐标满足图象的解析式，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键．（1）根据三角形的面积公式先得到m的值，然后把点A的坐标代入，可求出k的值；（2）求出时，y的值，再根据反比例函数的性质求解．【详解】（1）解：∵，过点作轴于点，∴，，∴，解得，∴点A的坐标为．把代入，得；（2）由（1），得，∴当时，．∵当时，反比例函数的的图象在第一象限，函数值y随自变量x的增大而减小，∴当时，函数值y的取值范围为．考向五反比例函数与一次函数的综合反比例函数与一次函数综合的主要题型：（1）利用k值与图象的位置的关系，综合确定系数符号或图象位置；（2）已知直线与双曲线表达式求交点坐标；（3）用待定系数法确定直线与双曲线的表达式；（4）应用函数图象性质比较一次函数值与反比例函数值的大小等．解题时，一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识，并结合图象分析、解答问题．典例引领1．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点A作轴，交反比例函数的图象于点C，过点C作轴于点D，与直线交于点E．

（1）若，，则；（2）若，则b与k的数量关系是．【答案】1【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，利用图象中各个点的坐标之间的关系是解此题的关键．（1）先分别求解A，B，C，D，E的坐标，再计算即可；（2）先求出A坐标，可以得到C的坐标，由，可以得E的坐标，把E的坐标代入直线即可得出答案．【详解】解：（1）∵，，∴，，当，，当，，∴，，当时，，∴，当时，，则，∴，∴；故答案为：1（2）∵，当时，；当时，，∴点A的坐标为，，∵轴，且点C在反比例函数的图象上，∴点C的坐标为，∵，轴，∴点E的坐标为，把代入得：，解得：．故答案为：．2．如图，直线与反比例函数的图象相交于点，与反比例函数的图象相交于点，若，则的值为．【答案】12【分析】本题主要考查了反比例函数的综合应用，平行线分线段成比例定理，求反比例函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的性质．过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，过点C作轴于点F，求出，，得出，证明，得出，求出，积点F的坐标为，把代入得：，得出，求出k的值即可．【详解】解：过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，过点C作轴于点F，如图所示：联立，解得：，，∴，，∴，∵轴，轴，轴，∴，∴，∵，∴，∴，∴点F的坐标为，把代入得：，∴，∴．故答案为：．二、解答题3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．(1)求反比例函数与一次函数的函数表达式；(2)连接，求的面积；(3)请结合图象直接写出不等式的解集．【答案】(1)，y＝x＋1(2)(3)或【分析】本题考查用待定系数法求一次函数的解析式和反比例函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征．（1）根据反比例函数的图象经过，利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；进而求得A的坐标，根据A、B点坐标，进而利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）求出点C的坐标，根据三角形面积公式求解即可；（3）根据A、B的坐标，结合图象即可求得．【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过，∴，∴反比例函数的表达式为，∵在反比例函数的图象上，∴，∵点，在一次函数的图象上，∴，解得：，∴一次函数的表达式为．（2）解：如图，对于，当时，；当时，；∴，∴∴；（3）解：由图象可知：不等式的解集为：或．4．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与轴交于点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)设为线段上的一个动点（不包括，两点），过点作轴交反比例函数图象于点，当的面积最大时，求点的坐标．【答案】(1)反比例函数解析式为；一次函数解析式为；(2)点坐标为．【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及利用二次函数的性质求三角形面积最值．（1）先利用待定系数法求得反比例函数解析式，再求得，利用待定系数法即可求得一次函数解析式；（2）设点为，点为，利用三角形面积公式列出关于的二次函数，利用二次函数的性质即可求解．【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点，，，∴反比例函数解析式为，把点代入得，∴点，∵一次函数的图象经过，，∴，解得：，∴一次函数解析式为；（2）解：由题意可设点为，点为，且，则，且，∴当时，最大，此时点坐标为．变式拓展5．已知点是一次函数和反比例函数图象的两个交点．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)求的面积；(3)观察图象，直接写出不等式的解集．【答案】(1)，(2)(3)或【分析】（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，即可得到，再把点B的坐标代入反比例函数解析式，即可求出，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；（2）先求出直线与x轴交点C的坐标，然后利用进行计算；（3）观察函数图象即可求得不等式的解集．【详解】（1）解：∵在反比例函数的图象上，∴反比例函数解析式为：将代入中，得：∴将，代入，得：解得：∴一次函数的解析式为：；（2）解：∵在中，令，则，∴，即（3）解：由图象得，当一次函数图象位于反比例函数图像上方时，有∴或．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是掌握用待定系数法确定一次函数的解析式．6．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和，与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为．(1)求一次函数和反比例函数的关系式；(2)若点是点关于轴的对称点，求的面积．【答案】(1)一次函数解析式，反比例函数解析式(2)【分析】（1）利用点的坐标，代入可求出反比例函数解析式，进而求出点的坐标，利用待定系数法可求出一次函数的解析式；（2）先求出点的坐标，根据轴对称变换得出点的坐标，进而求出，根据即可求解；【详解】（1）解：将代入得，，反比例函数的关系式为．在反比例函数的图象上，，，，将，代入，可得，解得，一次函数的解析式为；（2）解：在中，令，得，，点是点关于轴的对称点，，，；【点睛】本题考查一次函数、反比例函数的综合应用，轴对称的性质，以及利用图象法求不等式的解集，解题的关键是灵活运用数形结合思想．7．如图，在等腰中，，，D为上一点，，动点P从点A出发，沿着方向运动至点B处停止．连接、，设点P的运动路程为x，的面积为y．(1)直接写出y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；(2)请在图2中画出函数y的图像，并写出该函数的一条性质；(3)图2中已经画出在第一象限的图像，根据函数图像，直接写出当时，自变量x的取值范围（保留一位小数）．【答案】(1)(2)见解析(3)【分析】（1）分点P在上运动、点P在上运动两种情况讨论，分别根据三角形的面积公式求解即可；（2）先根据题意画出图像，再根据函数图像得出函数的性质即可；（3）根据函数图像求解即可．【详解】（1）解：过点P作于点H，在中，，∴，∴，即，∵,∴，当点P在上运动，即时，则；当点P在上运动时，则，∵，即，∴，综上，．（2）解：先列表如下：x048y060函数图像如图所示：由图像可得，函数图像有最大值为8．（3）解：根据函数图像可得：当时，自变量的取值范围为．【点睛】本题主要考查了函数图像与性质、求函数解析式、画函数图像、三角形面积、运用函数图像解不等式等知识点，求得函数解析式以及数形结合思想是解题的关键．8．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点．已知，．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求的面积；(3)请结合图象直接写出当，时自变量x的取值范围．【答案】(1)反比例函数为，一次函数为.(2)(3)或【分析】本题考查了用待定系数法求函数的解析式、求与函数有关的图形面积、根据图象写出自变量的取值范围等知识点，解题的关键是“数形结合”思想在解题中的运用．（1）将点A与点B的坐标直接代入反比例函数解析式，求得a值与m值，则点A、点B的坐标可知，再将这两点的坐标代入一次函数的解析式，求得待定系数k与b，于是可得到答案．（2）利用一次函数的解析式求得点C的坐标，再利用三角形面积公式可得到结果．（3）结合两函数的图像位置关系可写出自变量x的取值范围．【详解】（1）解：∵在反比例函数上，∴．解得，（不合题意，应舍去），将这两点的坐标代入两函数的解析式得：解得：反比例函数为，一次函数为．（2）令，则，解得．（3）结合图象可知，当时，或．9．如图1，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点与轴交于点．(1)求a，k的值．(2)利用图像信息，直接写出不等式的解集(3)如图2，直线过点，与反比例函数图像交于点，与轴交于点．连接，求的面积．【答案】(1)，；(2)(3)9【分析】本题考查