浙江省数海漫游2025届高三第一次模拟考试数学试题

2025年“数海漫游”第一次模拟考试数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合合题目要求的.1.（）A.0 B.1 C.2024 D.20252已知，，则（）A1 B.2 C. D.3.已知长方体中，，则四面体的体积是（）A. B.16 C. D.324.设，是单位向量，则的最小值是（）A. B.0 C. D.15.天上有三颗星星，地上有四个孩子．每个孩子向一颗星星许愿，如果一颗星星只收到一个孩子愿望，那么该愿望成真，若一颗星星收到至少两个孩子的愿望，那么向这颗星星许愿的所有孩子的愿望都无法成真，则至少有两个孩子愿望成真的概率是（）A B. C. D.6.若数列满足：对于任意正整数n，，则称，互为交错数列．记正项数列的前n项和为，已知1，，成等差数列，则与数列互为交错数列的是（）A. B. C. D.7.已知，分别为椭圆C：的左右焦点，过的一条直线与C交于A，B两点，且，，则椭圆长轴长的最小值是（）A. B. C.6 D.8.已知，则（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知正方形ABCD在平面直角坐标系xOy中，且AC：，则直线AB的方程可能为（）A B.C. D.10.已知模长均为1的复数，满足，则（）A. B.C. D.11.如图，小黄家的墙上固定了一盏圆锥（截面为等腰直角三角形）形状的灯，灯光可以照亮的部分是个无限大的圆台，其截面的边界分别垂直于PA，PB．已知墙与地板垂直，灯向上或向下转动的极限均为45°（即AB可以绕O点顺时针或逆时针旋转45°）．若地板和墙都充分大，则灯光照在地板上的边界的可能形状有（）A.椭圆 B.双曲线的一支C.抛物线 D.一条直线三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知数列为等差数列，，，构成等比数列，则的值是______．（任写出一个即可）13.已知a，b，，二次函数有零点，则的最小值是______．14.若两个体积相等的圆锥底面半径之比为2，则它们表面积之比的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在正四面体ABCD中，P是内部或边界上一点，满足，．（1）证明：当取最小值时，；（2）设，求的取值范围．16.设，函数．（1）若，讨论的单调性；（2）求的最大值．17.随着疫情防控政策的优化，国内演唱会市场迅速升温，一众热门歌手的演唱会现场更是“一座难求”．小林是林俊杰的粉丝，他很想参与林俊杰“JJ20”世界巡回演唱会-杭州站．主办方被小林的真诚打动，特为小林开辟了一个抢票通道，共100人从该通道参与抢票，每个人能抢到票的概率均，且抢票结果相互独立（1）为保证该抢票通道不会出现故障（不存在抢到票却没有座位的人），主办方至少要为该通道预留多少张票；（2）由于主办方非常喜欢小林创立的数海漫游微信公众号，于是允许多个人帮小林一同抢票，但如果存在两个人都帮小林抢到了票（包括小林自己），则小林因为“一人多票”，无法观看演出．那么，你建议小林额外找几个人帮他一起抢票呢?请说明理由．18.已知P为双曲线C：上一点，O为坐标原点，线段OP的垂直平分线与双曲线C相切．（1）若点P是直线与圆的交点，求a；（2）求的取值范围．19.设数列单调递增且各项均为正整数，数列满足，记数列的前项和为，数列的前n项和为．若存在正整数，使得，则