新高考数学二轮复习创新题型专题06 向量专题（新定义）（解析版）

专题06向量专题（新定义）一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，下面说法错误的是（

）A．若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线，则SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．对任意的SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根据给出的运算“⊙”的新定义，结合已知的向量的数量积公式及模长公式逐项判断即可.【详解】若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线，则有SKIPIF1<0，故A正确；SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选项B错误；对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故C正确；SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故D正确.故选：B.2．（2022春·湖南邵阳·高一统考期中）定义SKIPIF1<0.若向量SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0为单位向量，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】求得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0为关于SKIPIF1<0的关系式，进而求解.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由向量SKIPIF1<0为单位向量，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：B3．（2021春·云南昆明·高一云南师大附中校考期中）平面内任意给定一点SKIPIF1<0和两个不共线的向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由平面向量基本定理，平面内任何一个向量SKIPIF1<0都可以唯一表示成SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的线性组合，SKIPIF1<0，则把有序数组SKIPIF1<0称为SKIPIF1<0在仿射坐标系SKIPIF1<0下的坐标，记为SKIPIF1<0，在仿射坐标系SKIPIF1<0下，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为非零向量，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列结论中（

）①SKIPIF1<0②若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0③若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0

④SKIPIF1<0一定成立的结论个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用向量的新定义结合向量的性质逐个分析判断即可【详解】在仿射坐标系SKIPIF1<0下，设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，①正确；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故②不一定正确；因为SKIPIF1<0，所以存在唯一的实数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以③正确；SKIPIF1<0，由②知，SKIPIF1<0，所以④不一定正确，所以正确的有2个，故选：B4．（2022·高一单元测试）若对于一些横纵坐标均为整数的向量，它们的模相同，但坐标不同，则称这些向量为“等模整向量”，例如向量SKIPIF1<0，即为“等模整向量”，那么模为SKIPIF1<0的“等模整向量”有（

）A．4个 B．6个 C．8个 D．12个【答案】D【分析】把SKIPIF1<0，分别写出向量即可.【详解】因为SKIPIF1<0所以模为SKIPIF1<0的等模整向量有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以模为SKIPIF1<0的等模整向量共有12个.故选：SKIPIF1<0【点睛】在求向量模的有关问题时通常的处理方法有：(1)a2＝a·a＝|a|2或SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0；(3)若a＝(x，y)，则|a|＝SKIPIF1<0.5．（2017·四川广元·统考三模）对于SKIPIF1<0个向量SKIPIF1<0，若存在SKIPIF1<0个不全为0的示数SKIPIF1<0，使得：SKIPIF1<0成立；则称向量SKIPIF1<0是线性相关的，按此规定，能使向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0线性相关的实数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】由题可得SKIPIF1<0，结合条件可得SKIPIF1<0，即得.【详解】由题可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，两等式两边相加可得SKIPIF1<0.故选：B．6．（2022秋·内蒙古鄂尔多斯·高三统考期中）对任意两个非零的平面向量SKIPIF1<0，定义SKIPIF1<0，若平面向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夹角SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都在集合SKIPIF1<0中，则SKIPIF1<0=（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由题意可可设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，对SKIPIF1<0，SKIPIF1<0进行赋值即可得出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值，进而得出结论．【详解】解：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．又由SKIPIF1<0，可设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0又夹角SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，对SKIPIF1<0，SKIPIF1<0进行赋值即可得出SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0．故选：C．7．（2023·全国·高三专题练习）互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，在斜坐标系中，过点P作两坐标轴的平行线，其在x轴和y轴上的截距a，b分别作为点P的x坐标和y坐标，记SKIPIF1<0，则在x轴正方向和y轴正方向的夹角为SKIPIF1<0的斜坐标系中，下列选项错误的是（

）A．当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0与SKIPIF1<0距离为SKIPIF1<0B．点SKIPIF1<0关于原点的对称点为SKIPIF1<0C．向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行的充要条件是SKIPIF1<0D．点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据“斜坐标系”的定义，结合向量运算对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】设SKIPIF1<0轴正方向的单位向量为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0轴正方向的单位向量为SKIPIF1<0，对于A选项：由已知得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0及斜坐标的定义可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故A选项正确；对于B选项：根据“斜坐标系”的定义可知：点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0关于原点的对称点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0不共线，所以SKIPIF1<0，故B选项正确；对于C选项：SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0是零向量，则SKIPIF1<0成立，同时SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0成立，此时SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0是非零向量，则SKIPIF1<0存在非零常数SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故C选项正确；对于D选项：设直线SKIPIF1<0上的动点为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，所以直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以点A到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，故D选项错误.故选：D8．（2022春·黑龙江大庆·高三大庆实验中学校考阶段练习）如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成SKIPIF1<0角的两条数轴，SKIPIF1<0分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为SKIPIF1<0斜坐标系，若SKIPIF1<0，则把有序数对SKIPIF1<0叫做向量SKIPIF1<0的斜坐标，记为SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0的斜坐标系中，SKIPIF1<0﹒则下列结论中，错误的是（

）①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影为SKIPIF1<0A．②③ B．②④ C．③④ D．②③④【答案】D【分析】借鉴单位向量夹角为SKIPIF1<0时的情况，注意夹角为SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；数量积为SKIPIF1<0；SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影为SKIPIF1<0.【详解】对于①.SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故①正确；对于②.SKIPIF1<0，故②错误；对于③.SKIPIF1<0，故③错误；对于④.SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影为SKIPIF1<0，故④错误.故选：D9．（2021春·上海浦东新·高一华师大二附中校考阶段练习）如图，定义SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的向量积SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为当SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的起点相同时，由SKIPIF1<0的方向逆时针旋转到与SKIPIF1<0方向相同时，旋转过的最小角，对于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的向量积有如下的五个结论：①SKIPIF1<0；

②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；

④SKIPIF1<0；⑤SKIPIF1<0；其中正确结论的个数为（

）A．1个 B．2个C．3个 D．4个【答案】C【分析】结合题目中的新定义的概念逐项分析即可得出结论.【详解】①SKIPIF1<0至少有一个为0时，显然成立；SKIPIF1<0都不为0时，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；综上：SKIPIF1<0，故①正确；②SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故②错误；③SKIPIF1<0，故③正确；

④由③知：SKIPIF1<0，故④正确；⑤SKIPIF1<0SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不一定相等，故⑤错误；故选：C.10．（2022春·山西朔州·高一校考阶段练习）定义SKIPIF1<0为两个向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0间的“距离”，若向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足下列条件：(ⅰ)SKIPIF1<0；(ⅱ)SKIPIF1<0；(ⅲ)对于任意的SKIPIF1<0，恒有SKIPIF1<0，现给出下面结论的编号，①.SKIPIF1<0②.SKIPIF1<0③.SKIPIF1<0④.SKIPIF1<0⑤.SKIPIF1<0则以上正确的编号为（

）A．①③ B．②④ C．③④ D．①⑤【答案】B【分析】根据题意可得SKIPIF1<0，转化为SKIPIF1<0对于任意的SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，再利用向量的数量积逐一判断即可.【详解】由于SKIPIF1<0，又对于SKIPIF1<0，恒有SKIPIF1<0，显然有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0对于任意的SKIPIF1<0恒成立，显然有SKIPIF1<0成立，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故序号①错误，进而SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即序号④正确.再由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，显然序号②正确.从而序号③错误，再由②SKIPIF1<0，故序号⑤错误.综上知本题正确的序号为②④.故选：B.【点睛】本题命制是以新定义为背景，考查向量长度及数量积等知识概念，同时考查了等价转换、不等式恒成立问题，符合以生考熟的高考理念，考查知识内容源于教材，试题面向全体考生，不同思维能力层次的考生度可以利用熟悉的通法来解决问题，从而增强考生的自信心，有利于考生正常发挥，属于中档题.11．（2018·湖南·统考一模）在实数集SKIPIF1<0中，我们定义的大小关系“SKIPIF1<0”为全体实数排了一个“序”，类似的，我们这平面向量集合SKIPIF1<0上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“SKIPIF1<0”．定义如下：对于任意两个向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当且仅当“SKIPIF1<0”或“SKIPIF1<0且SKIPIF1<0”，按上述定义的关系“SKIPIF1<0”，给出下列四个命题：①若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；③若SKIPIF1<0，则对于任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；④对于任意的向量SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．其中正确的命题的个数为(

)A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】按照新定义，对每一个命题进行判断.【详解】对于①，由定义可知①是正确的；对于②，中SKIPIF1<0，满足已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，只要有一个没有等号，则一定SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，都满足SKIPIF1<0，正确；对于③，∵SKIPIF1<0，∴命题正确，对于④，中若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0，错误，因此有①②③正确.故选:B.【方法点睛】新定义问题，关键是正确理解新概念，并掌握解决新概念下问题的方法，有一定的难度.本题中新概念关系“＞”与向量的坐标之间的大小关系联系在一起，由实数大小关系的传递性可得新关系“＞”的传递性，但向量的数量积与新关系“＞”之间没有必然的联系，这可通过举反例说明.实际上举反例说明一个命题是错误的，是数学中一个常用的方法.12．（2017秋·河南郑州·高三郑州一中阶段练习）若非零向量SKIPIF1<0的夹角为锐角SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0被SKIPIF1<0“同余”.已知SKIPIF1<0被SKIPIF1<0“同余”，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】首先根据“同余”的定义得SKIPIF1<0，再根据投影公式，列式求解.【详解】根据SKIPIF1<0被SKIPIF1<0“同余”，则有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影为：SKIPIF1<0，故选：A.13．（2022春·陕西榆林·高一榆林市第一中学校考期中）设SKIPIF1<0定义一种向量积：SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的图象上运动，点Q在SKIPIF1<0的图象上运动，且满足SKIPIF1<0(其中O为坐标原点)，则SKIPIF1<0的最大值A及最小正周期T分别为()A．2，π B．2,4πC．SKIPIF1<0，4π D．SKIPIF1<0，π【答案】C【分析】根据题意,设出Q的坐标，根据SKIPIF1<0的运算得到P、Q坐标间的关系，从而得到SKIPIF1<0的解析式，即可求得最大值和最小正周期．【详解】由题意知可设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则根据SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0而P在SKIPIF1<0的图象上运动，满足SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以最大值为SKIPIF1<0，即A=SKIPIF1<0最小正周期为SKIPIF1<0故选：C．14．（2023·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）设向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，定义SKIPIF1<0.已知向量SKIPIF1<0为单位向量，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由平面向量数量积的运算律求出向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角，代入新定义求解即可.【详解】由题意得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：C15．（2022春·浙江金华·高一浙江金华第一中学校考期中）记SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为平面内的非零向量，则（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据向量加法减法的几何意义和向量数量积运算，结合排除法解题.【详解】对于A选项：考虑SKIPIF1<0，根据向量加法减法法则几何意义知：SKIPIF1<0，所以A错误；B选项：根据平面向量数量积可知：不能保证SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0，所以它们的较小者一定小于等于SKIPIF1<0，所以B错误D正确；C选项：考虑SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以C错误.故选：D【点睛】此题考查向量相关新定义问题，其本质考查向量加减法运算的几何意义，平面向量数量积的运算和辨析，综合性较强，解题中结合排除法得选项.16．（2021·全国·高三专题练习）对于向量SKIPIF1<0，把能够使得SKIPIF1<0取到最小值的点SKIPIF1<0称为SKIPIF1<0的“平衡点”.如图，矩形SKIPIF1<0的两条对角线相交于点SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0至SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，联结SKIPIF1<0，分别交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点.下列的结论中，正确的是（

）A．SKIPIF1<0的“平衡点”为SKIPIF1<0.B．SKIPIF1<0的“平衡点”为SKIPIF1<0的中点.C．SKIPIF1<0的“平衡点”存在且唯一.D．SKIPIF1<0的“平衡点”必为SKIPIF1<0【答案】D【分析】利用“平衡点”的定义、三角形中两边之和大于第三边，对选项进行一一验证．【详解】对SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的“平衡点”为线段上的任意一点，故SKIPIF1<0错误；对SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的“平衡点”为三角形内部对3条边的张角均为SKIPIF1<0的点，故SKIPIF1<0错误；对SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的“平衡点”是线段SKIPIF1<0上的任意一点，故SKIPIF1<0错误；对SKIPIF1<0，因为矩形SKIPIF1<0的两条对角线相交于点SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0至SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，联结SKIPIF1<0，分别交SKIPIF1<0、SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，所以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的“平衡点”必为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0正确．故选：SKIPIF1<0．【点睛】本题考查“平衡点”的求法，考查对新定义的理解与应用，求解时要注意平面向量知识的合理运用．二、多选题17．（2022春·浙江·高一期中）如图所示，在平面上取定一点O和两个以点O为起点的不共线向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，称为平面上的一个仿射坐标系，记作SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0与有序数组SKIPIF1<0之间建立了一一对应关系，有序数组SKIPIF1<0称为SKIPIF1<0在伤射坐标系SKIPIF1<0下的坐标，记作SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是夹角为SKIPIF1<0的单位向量，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列结论中正确的有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影向量为SKIPIF1<0【答案】ABD【分析】根据向量线性运算的坐标表示，向量数量积的定义，运算律及投影向量的概念，逐项分析即得.【详解】由题可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故A正确；因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是夹角为SKIPIF1<0的单位向量，所以SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故B正确；∴SKIPIF1<0，故C错误；∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影向量为SKIPIF1<0，故D正确.故选：ABD.18．（2022春·河南·高一校联考阶段练习）对任意两个非零向量SKIPIF1<0，定义新运算：SKIPIF1<0.已知非零向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0且向量SKIPIF1<0的夹角SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是整数，则SKIPIF1<0的值可能是（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．3 D．4【答案】BC【分析】由题意可得SKIPIF1<0、SKIPIF1<0SKIPIF1<0，利用SKIPIF1<0的范围，可得SKIPIF1<0从而定点答案.【详解】由题意可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0即SKIPIF1<0.故选：BC.19．（2023·全国·高三专题练习）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0内的一组基向量，O为SKIPIF1<0内的定点，对于SKIPIF1<0内任意一点P，当SKIPIF1<0时，则称有序实数对SKIPIF1<0为点P的广义坐标．若点A，B的广义坐标分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，关于下列命题正确的是（

）A．线段A，B的中点的广义坐标为SKIPIF1<0B．A，B两点间的距离为SKIPIF1<0C．若向量SKIPIF1<0平行于向量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0D．若向量SKIPIF1<0垂直于向量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】AC【分析】由题目给的定义结合向量的线性运算、向量的模长、向量的平行及垂直依次判断4个选项即可.【详解】根据题意得，设A，B的中点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故线段A，B的中点的广义坐标为SKIPIF1<0，A正确；SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，当向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是相互垂直的单位向量时，A，B两点间的距离为SKIPIF1<0，否则距离不为SKIPIF1<0，B错误；SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行，当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0存在SKIPIF1<0时，结论显然成立，当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0都不为SKIPIF1<0时，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故C正确；SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0为相互垂直的单位向量时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直的充要条件是SKIPIF1<0，故D不正确.故选：AC．20．（2022·江苏南京·统考模拟预测）设SKIPIF1<0是大于零的实数，向量SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，定义向量SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】BCD【分析】根据定义求出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，再根据平面向量的数量的坐标运算，结合恒等变换公式可求出SKIPIF1<0，由此可判断A和B选项；利用向量加减法的坐标运算、模长公式以及基本不等式，可判断C和D选项.【详解】因为向量SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0是一个实数，不是向量，所以A不正确，B正确；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，取得等号，所以SKIPIF1<0，故C正确；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，取得等号，所以SKIPIF1<0，故D正确.故选：BCD21．（2022·浙江温州·高一永嘉中学统考竞赛）设SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是平面上任意三点，定义向量的运算：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0由向量SKIPIF1<0以点SKIPIF1<0为旋转中心逆时针旋转直角得到（若SKIPIF1<0为零向量，规定SKIPIF1<0也是零向量）.对平面向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0B．对任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为不共线向量，满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】BD【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可判断A选项；利用A选项中的结论结合题中定义可判断B选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断C选项；对SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是否共线进行分类讨论，结合题中定义可判断D选项.【详解】设向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在平面直角坐标系中的坐标分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，A错；对任意的SKIPIF1<0，由A选项可知，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0、SKIPIF1<0不共线时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，B对；因为SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，C错；当SKIPIF1<0、SKIPIF1<0不共线时，由C选项可知，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0.任取两个向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，对任意的实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0、SKIPIF1<0共线时，设存在SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，综上所述，SKIPIF1<0，D对.故选：BD.【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量中的新定义，解题的关键在于理解题中运算的含义，结合平面向量的线性运算与数量积运算逐项判断即可.22．（2023春·湖北武汉·高一华中师大一附中校考阶段练习）对任意两个非零的平面向量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，定义SKIPIF1<0，若平面向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都在集合SKIPIF1<0中．给出以下命题，其中一定正确的是（

）A．若SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0的取值个数最多为7D．若SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0的取值个数最多为SKIPIF1<0【答案】AC【分析】由新定义可知SKIPIF1<0，再对每个命题进行判断，即可得出结论.【详解】对A，若SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，两式相乘得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故A正确；对B，若SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，相乘得到SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0取值SKIPIF1<0时符合SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，故B错误；对C，若SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，相乘得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的取值个数最多为7个，故C正确；对D，若SKIPIF1<0时，由上面推导方法可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的取值个数最多为SKIPIF1<0，故D错误.故选：AC.【点睛】数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移.23．（2023·全国·高三专题练习）定义平面向量的一种运算“SKIPIF1<0”如下：对任意的两个向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，下面说法一定正确的是（

）A．对任意的SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0B．存在唯一确定的向量SKIPIF1<0使得对于任意向量SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立C．若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线D．若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的模相等【答案】AD【分析】由SKIPIF1<0表示出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，即可判断A；假设存在唯一确定的向量SKIPIF1<0使得对于任意向量SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立，即方程组SKIPIF1<0，对任意SKIPIF1<0恒成立，解方程可判断B；若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，分别表示出SKIPIF1<0与SKIPIF1<0即可判断C；若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，分别表示出SKIPIF1<0与SKIPIF1<0即可判断D.【详解】设向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，对于A，对任意的SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故A正确；对于B，假设存在唯一确定的向量SKIPIF1<0使得对于任意向量SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立，即SKIPIF1<0恒成立，即方程组SKIPIF1<0，对任意SKIPIF1<0恒成立，而此方程组无解，故B不正确；对于C，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，故C不正确；对于D，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的模相等，故D正确.故选：AD.【点睛】本题在平面向量的基础上，加以创新，属于创新题，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力.三、填空题24．（2023春·江苏泰州·高一靖江高级中学校考阶段练习）设向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，定义SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的“向量积”，SKIPIF1<0是一个向量，它的模等于SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______．【答案】2【分析】分别计算两个向量的模长及夹角，代入计算即可.【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0,故答案为：225．（2018春·安徽芜湖·高一芜湖一中校考阶段练习）在平面斜坐标系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，平面上任一点SKIPIF1<0关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0轴方向相同的单位向量），则SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0关于斜坐标系SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______【答案】SKIPIF1<0【分析】由斜坐标定义用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0，然后平方转化为数量积求得模．【详解】由题意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．26．（2019春·安徽芜湖·高一校联考期中）定义SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则与SKIPIF1<0方向相反的单位向量的坐标为______________．【答案】SKIPIF1<0【分析】先求得SKIPIF1<0，然后求得与SKIPIF1<0方向相反的单位向量的坐标.【详解】SKIPIF1<0，所以与SKIPIF1<0方向相反的单位向量的坐标为SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<027．（2022秋·湖南长沙·高三校考阶段练习）已知对任意平面向量SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0绕其起点沿逆时针方向旋转SKIPIF1<0角得到向量SKIPIF1<0．如图所示，顶角SKIPIF1<0的等腰三角形PQR的顶点P、Q的坐标分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则顶点R的坐标为______．【答案】SKIPIF1<0【分析】设SKIPIF1<0，表示出SKIPIF1<0，根据已知列出式子即可求出.【详解】设SKIPIF1<0