三角恒等变换知识点归纳

第三章三角恒等变换两角和及差的正弦、余弦和正切公式=1\*2⑴；=2\*2⑵；=3\*2⑶；=4\*2⑷；=5\*2⑸〔〕；=6\*2⑹〔〕．25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：=1\*2⑴．=2\*2⑵升幂公式降幂公式，．26、27、〔后两个不用判断符号，更加好用〕28、合一变形把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方〞的形式。，其中．29、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：〔1〕角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角及角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件及结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：①是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；②；问：；；⑤；等等〔2〕函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是根底，通常化切为弦，变异名为同名。〔3〕常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1〞的代换变形有：〔4〕幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用降幂公式有：；。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式常用升幂化为有理式，常用升幂公式有：；；〔5〕公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。如：；；=；〔其中；〕〔6〕三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂〞四方面入手；根本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊值及特殊角的三角函数互化。如：；根底练习一选择题1．且为锐角，则的值是〔〕Ａ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.2．设则的范围是〔〕A．B.C.D、3．〔〕A．B、C.D.，假设，则〔〕A.B.C.D.5.设，则的值是〔〕A.B.C.D.6.在中，则的值是〔〕A.B.C.或D.7.则的值等于〔〕A.B.C.D.8.使函数为奇函数，且在区间上为减函数的的一个值为〔〕Ａ.Ｂ.ＣＤ9.是第三象限角，且满足，则的值等于〔〕ＡＢＣＤ10.则等于〔〕ＡＢＣＤ11.假设则的终边在〔〕12.，则等于〔〕A.B.C.D.13函数有〔〕A.最大值0，最小值B.最大值5，最小值C.最大值5，最小值，最小值14.函数的最大值为〔〕A.B.C.D.15.函数的最大值是〔〕A．B.C.D.16.函数y＝4x＋2x的最小正周期为〔〕A．B．C．D．217.的值是〔〕A.B.C.D.18.假设则的值为〔〕A.B.C.D.19.中，假设，则一定是〔〕20.函数的最小正周期为〔〕A.B.C.D.二填空题1.则2.函数的最大值等于3.则4.假设则的取值范围是5.函数的最小正周期是6.在中，，则7.在三角形中，假设则=则9.则10.在中，则11.函数的最小正周期是12.，则13.．14.在中，则的值为．15.函数〔为锐角〕的值域是．16.假设，且则．17.化简18.在中，，则的形状是19.设，假设且，则的范围是20.假设的值域是，则此函数的表达式是三解答题1.，求的值．2.且求的值．3.．〔1〕化简；〔2〕求使的最小正角．4.某工人要从一块圆心角为，半径为的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接矩形桌面，求割出的矩形桌面的最大面积．高考试题库w。*高考试题库高考试题库w。*高考试题库5.．〔1〕求的值；〔2〕求的值．6.求的值．7.求证：8.求证：．高考试题库w。*高考试题库高考试题库w。*高考试题库求的值．中，求证：高考试题库w。*高考试题库高考试题库强化练习一选择题1．45°·15°＋45°·15°＝()\f(1,2)\f(\r(3),2)\f(\r(3),3)\r(3)[答案]B[解析]45°·15°＋45°·15°＝(45°－15°)＝30°＝\f(\r(3),2).2．\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(π,3)－α))等于()\f(1,2)－α\f(1,2)α\f(1,2)α＋\f(\r(3),2)α\f(1,2)α－\f(\r(3),2)α[答案]C[解析]\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(π,3)－α))＝\f(π,3)α＋\f(π,3)α＝\f(1,2)α＋\f(\r(3),2)α.3．165°等于()\f(1,2)\f(\r(3),2)C．－\f(\r(6)＋\r(2),4) D．－\f(\r(6)－\r(2),4)[答案]C[解析]165°＝(180°－15°)＝－(45°－30°)＝－(45°30°＋45°30°)＝－\f(\r(6)＋\r(2),4).4．满足αβ＝\f(\r(3),2)－αβ的一组α，β的值是()A．α＝\f(13,12)π，β＝\f(3π,4) B．α＝\f(π,2)，β＝\f(π,3)C．α＝\f(π,2)，β＝\f(π,6) D．α＝\f(π,3)，β＝\f(π,4)[答案]B[解析]由条件αβ＝\f(\r(3),2)－αβ得αβ＋αβ＝\f(\r(3),2)，即(α－β)＝\f(\r(3),2)，α＝\f(π,2)，β＝\f(π,3)满足条件．5．39°9°＋39°9°等于()\f(1,2)\f(\r(3),2)C．－\f(1,2) D．－\f(\r(3),2)[答案]B[解析]39°9°＋39°9°＝(39°－9°)＝30°＝\f(\r(3),2).6．555°的值为()\f(\r(6)＋\r(2),4) B．－\f(\r(6)＋\r(2),4)\f(\r(6)－\r(2),2)\f(\r(2)－\r(6),4)[答案]B[解析]555°＝(360°＋195°)＝(180°＋15°)＝－15°＝－(45°－30°)＝－(45°30°＋45°30°)＝－\f(\r(6)＋\r(2),4).7．(福建高考)计算43°13°－43°13°的结果等于()\f(1,2)\f(\r(3),3)\f(\r(2),2)\f(\r(3),2)[答案]A[解析]∵43°13°－43°13°＝(43°－13°)＝30°＝\f(1,2).∴选A.8．(新课标高考)假设α＝－\f(4,5)，α是第三象限的角，则(α＋\f(π,4))等于()A．－\f(7\r(2),10)\f(7\r(2),10)C．－\f(\r(2),10)\f(\r(2),10)[答案]A[解析](α＋\f(π,4))＝\f(1,\r(2))(α＋α)＝\f(1,\r(2))(－\f(4,5)－\f(3,5))＝－\f(7\r(2),10).9．在△中，<，则△是()A．直角三角形 B．钝角三角形C．锐角三角形 D．等腰三角形[答案]B[解析]由题意，得－>0，则(A＋B)>0，所以(π－C)>0，即<0，所以∠C是钝角．10．(2021～2021·杭州高一检测)以下命题中不正确的选项是()A．存在这样的α和β的值，使得(α＋β)＝αβ＋αβB．不存在无穷多个α和β的值，使得(α＋β)＝αβ＋αβC．对于任意的α和β，都有(α＋β)＝αβ－αβD．不存在这样的α和β的值，使得(α＋β)≠αβ－αβ[答案]B[解析]假设α或β有一个为0，即α＝kπ(k∈Z)或β＝kπ(k∈Z)则有(α＋β)＝αβ，故A、C、D正确，选B.11．以下等式成立的是()A．80°20°－80°20°＝\f(1,2)B．13°17°－13°17°＝\f(1,2)C．70°25°＋25°20°＝\f(\r(2),2)D．140°20°＋50°20°＝\f(\r(3),2)[答案]D12．\f(5π,12)的值等于()\f(\r(6)＋\r(2),2)\f(\r(2),2)\f(\r(6)－\r(2),4)\f(\r(3)＋\r(2),4)[答案]C[解析]\f(5π,12)＝－\f(7π,12)＝－\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(π,3)＋\f(π,4)))＝－\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(π,3)\f(π,4)－\f(π,3)·\f(π,4)))＝－\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(1,2)×\f(\r(2),2)－\f(\r(3),2)·\f(\r(2),2)))＝\f(\r(6)－\r(2),4).13．α＝4，(π－β)＝－3，则(α＋β)＝()\f(7,11) B．－\f(7,11)\f(7,13) D．－\f(7,13)[答案]B[解析]由得α＝4，β＝3，∴(α＋β)＝\f(α＋β,1－αβ)＝\f(3＋4,1－3×4)＝－\f(7,11).14．20°＋40°＋\r(3)20°40°的值为()A．－\r(3)\r(3)C．3\f(\r(3),3)[答案]B[解析]原式＝(20°＋40°)(1－20°40°)＋\r(3)20°40°＝\r(3)(1－20°40°)＋\r(3)20°40°＝\r(3).15\f(1＋15°,1－15°)的值为()\r(2) B．－\r(2)\r(3) D．－\r(3)[答案]C[解析]\f(1＋15°,1－15°)＝\f(45°＋15°,1－45°·15°)＝(45°＋15°)＝60°＝\r(3).16．α为锐角，且(α＋β)＝3，(α－β)＝2，则角α等于()\f(π,8)\f(π,4)\f(3,8)π\f(π,2)[答案]C[解析]∵2α＝[(α＋β)＋(α－β)]＝\f((α＋β)＋(α－β),1－(α＋β)(α－β))＝\f(3＋2,1－3×2)＝－1，∴2α＝－\f(π,4)＋kπ(k∈Z)，∴α＝－\f(π,8)＋\f(kπ,2)(k∈Z)．又∵α为锐角，∴α＝\f(π,2)－\f(π,8)＝\f(3π,8).17．(2021·全国高考重庆卷)设α、β是方程x2－3x＋2＝0的两个根，则(α＋β)的值为()A．－3 B．－1C．1 D．3[答案]A[解析]α＋β＝3，αβ＝2，则(α＋β)＝\f(α＋β,1－αβ)＝\f(3,1－2)＝－318．假设α、β∈(0，\f(π,2))且α＝\f(1,2)，β＝\f(1,3)，则(α－β)()A．－\f(1,7) B．1\f(1,7)\f(1,5)[答案]C[解析](α－β)＝\f(α－β,1＋αβ)＝\f(\f(1,2)－\f(1,3),1＋\f(1,2)×\f(1,3))＝\f(1,7).19．\f(α,2)＝\f(1,3)，则α的值为()\f(2,9) B．－\f(7,9)C．－\f(2,9)\f(7,9)[答案]D[解析]∵\f(α,2)＝\f(1,3)，∴α＝1－22\f(α,2)＝1－2×(\f(1,3))2＝\f(7,9).20．假设α＝\f(2,3)，且α∈(0，π)，则\f(α,2)＋\f(α,2)的值为()\f(5,6)\f(\r(30)＋\r(6),6)\f(6,5)\f(\r(30)＋\r(6),5)[答案]B[解析]∵α＝\f(2,3)，且α∈(0，π)，∴\f(α,2)∈(0，\f(π,2))．∴\f(α,2)＝\r(\f(1＋α,2))＝\r(\f(1＋\f(2,3),2))＝\r(\f(5,6))＝\f(\r(30),6).\f(α,2)＝\r(\f(1－α,2))＝\r(\f(1－\f(2,3),2))＝\f(\r(6),6)∴\f(α,2)＋\f(α,2)＝\f(\r(30),6)＋\f(\r(6),6)＝\f(\r(30)＋\r(6),6).21．设5π<θ<6π，\f(θ,2)＝a，则\f(θ,4)等于()A．－\f(\r(1＋a),2) B．－\f(\r(1－a),2)C．－\r(\f(1＋a,2)) D．－\r(\f(1－a,2))[答案]D[解析]假设5π<θ<6π，则\f(5π,4)<\f(θ,4)<\f(3π,2)，则\f(θ,4)＝－\r(\f(1－\f(θ,2),2))＝－\r(\f(1－a,2)).22．y＝＋2x可化为()\f(\r(2),2)\b\\(\\)(\a\4\\1(2x－\f(π,4)))＋\f(1,2)\r(2)\b\\(\\)(\a\4\\1(2x＋\f(π,4)))－\f(1,2)C．\b\\(\\)(\a\4\\1(2x－\f(π,4)))＋\f(1,2) D．2\b\\(\\)(\a\4\\1(2x＋\f(3π,4)))＋1[答案]A[解析]y＝\f(1,2)2x＋\f(1－2x,2)＝\f(1,2)2x－\f(1,2)2x＋\f(1,2)＝\f(\r(2),2)\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(\r(2),2)2x－\f(\r(2),2)2x))＋\f(1,2)＝\f(\r(2),2)\b\\(\\)(\a\4\\1(2x－\f(π,4)))＋\f(1,2).23．设－3π<α<－\f(5π,2)，则化简\r(\f(1－(α－π),2))的结果是()A．\f(α,2) B．\f(α,2)C．－\f(α,2) D．－\f(α,2)[答案]C[解析]∵－3π<α<－\f(5,2)π，∴－\f(3,2)π<\f(α,2)<－\f(5,4)π，∴\f(α,2)<0，∴原式＝\r(\f(1＋α,2))＝\f(α,2)|＝－\f(α,2).24．α＝－\f(1,5)，\f(π,2)<α<π，则\f(α,2)等于()A．－\f(\r(10),5)\f(\r(10),5)C．－\f(\r(15),5)\f(\r(15),5)[答案]D[解析]∵\f(π,2)<α<π，∴\f(π,2)<\f(α,2)<\f(π,2)，则\f(α,2)＝\r(\f(1－α,2))＝\f(\r(15),5).25．函数y＝2\b\\(\\)(\a\4\\1(x＋\f(π,4)))－2\b\\(\\)(\a\4\\1(x＋\f(π,4)))是()A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数[答案]A[解析]y＝2\b\\(\\)(\a\4\\1(x＋\f(π,4)))－2\b\\(\\)(\a\4\\1(x＋\f(π,4)))＝2\b\\(\\)(\a\4\\1(x＋\f(π,4)))＝－2x，周期T＝\f(2π,2)＝π.26．函数f(x)＝＋的最大值是()\f(1,2)\r(2)\f(\r(2),2)D．2[答案]B[解析]∵f(x)＝＋＝\r(2)(x＋\f(π,4))，∴当x＝2kπ＋\f(π,4)(k∈Z)时，取得最大值为\r(2).27．函数f(x)＝＋的最小正周期是()\f(π,4)\f(π,2)C．π D．2π[答案]C[解析]∵f(x)＝＋，∴f(x)＝\r(2)(x＋\f(π,4))|.∵f(x＋π)＝\r(2)(x＋π＋\f(π,4))|＝f(x)，∴f(x)的最小正周期为π.28．化简\f(22α,1＋2α)·\f(2α2α)的结果为()A．α B．2αC．1\f(1,2)[答案]B[解析]原式＝\f(22α,22α)·\f(2α2α)＝2α.29．\f(α,2)＝3，则α－α＝()\f(4,5) B．－\f(4,5)\f(7,5) D．－\f(7,5)[答案]D[解析]∵\f(α,2)＝3，∴2\f(α,2)＝\f(1－α,1＋α)＝9，∴α＝－\f(4,5).∵\f(α,2)＝\f(α,1＋α)，∴α＝3×(\f(1,5))＝\f(3,5)，∴α－α＝－\f(4,5)－\f(3,5)＝－\f(7,5).30．(2021·江西文)假设\f(α,2)＝\f(\r(3),3)，则α＝()A．－\f(2,3) B．－\f(1,3)\f(1,3)\f(2,3)[答案]C[解析]此题考察了余弦的二倍角公式．因为\f(α,2)＝\f(\r(3),3)，所以α＝1－22\f(α,2)＝1－2(\f(\r(3),3))2＝\f(1,3).31．以下各式中，值为\f(1,2)的是()A．15°15° B．22\f(π,12)－1\r(\f(1＋30°,2))\f(22.5°,1－222.5°)[答案]D[解析]15°15°＝\f(1,2)30°＝\f(1,4)；22\f(π,12)－1＝\f(π,6)＝\f(\r(3),2)，\r(\f(1＋30°,2))＝15°≠\f(1,2)，\f(22.5°,1－222.5°)＝\f(1,2)45°＝\f(1,2)，∴选D.32．2α＝\f(1,4)，α∈\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(π,4)，\f(π,2)))，则α－α的值是()A．－\f(\r(3),2)\f(3,4)\f(\r(3),2) D．－\f(\r(3),4)[答案]A[解析]∵α∈\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(π,4)，\f(π,2)))，∴α>α.又∵(α－α)2＝1－2α＝1－\f(1,4)＝\f(3,4)，∴α－α＝－\f(\r(3),2).33．(2021·全国高考全国卷)α为第二象限角，α＋α＝\f(\r(3),3)，则2α＝()A．－\f(\r(5),3) B．－\f(\r(5),9)\f(\r(5),9)\f(\r(5),3)[答案]A[解析]α＋α＝\f(\r(3),3)，两边平方可得1＋2α＝\f(1,3)⇒2α＝－\f(2,3)α是第二象限角，因此α>0，α<0，所以α－α＝－\r((α－α)2)＝－\r(1＋\f(2,3))＝－\f(\r(15),3)∴2α＝2α－2α＝(α＋α)(α－α)＝－\f(\r(5),3)34．假设α∈\b\\[\\](\a\4\\1(\f(5π,2)，\f(7π,2)))，则\r(1＋α)＋\r(1－α)的值为()A．2\f(α,2) B．－2\f(α,2)C．2\f(α,2) D．－2\f(α,2)[答案]D[解析]∵α∈\b\\[\\](\a\4\\1(\f(5π,2)，\f(7π,2)))，∴\f(α,2)∈\b\\[\\](\a\4\\1(\f(5π,4)，\f(7π,4)))，∴原式＝\b\\|\\|(\a\4\\1(\f(α,2)＋\f(α,2)))＋\b\\|\\|(\a\4\\1(\f(α,2)－\f(α,2)))＝－\f(α,2)－\f(α,2)－\f(α,2)＋\f(α,2)＝－2\f(α,2).35．对于函数f(x)＝2，以下选项中正确的选项是()A．f(x)在(\f(π,4)，\f(π,2))上是递增的B．f(x)的图象关于原点对称C．f(x)的最小正周期为2πD．f(x)的最大值为2[答案]B[解析]因为f(x)＝2＝2x，所以f(x)是奇函数，因而f(x)的图象关于原点对称，应选B.36\f(1,2)－215°的值是()\f(\r(6),4)\f(\r(6)－\r(2),4)\f(\r(3),2)\f(\r(3),4)[答案]D[解析]原式＝\f(1,2)－\f(1－(2×15°),2)＝\f(30°,2)＝\f(\r(3),4).二填空题1．(α－β)α＋(α－β)α＝.[答案]β[解析]原式＝[(α－β)－α]＝(－β)＝β2．θ＝\f(1,5)，θ∈(\f(π,2)，π)，则(θ－\f(π,3))的值为．[答案]\f(\r(3)－2\r(6),10)[解析]∵θ＝\f(1,5)，θ∈(\f(π,2)，π)，∴θ＝－\r(1－2θ)＝－\r(1－\f(1,25))＝－\f(2\r(6),5)，∴(θ－\f(π,3))＝θ\f(π,3)＋θ\f(π,3)＝－\f(2\r(6),5)×\f(1,2)＋\f(1,5)×\f(\r(3),2)＝\f(\r(3)－2\r(6),10).3．15°＝.[答案]\f(\r(6)－\r(2),4)[解析]∵15°＝(45°－30°)＝45°·30°－45°·30°＝\f(\r(2),2)×\f(\r(3),2)－\f(\r(2),2)×\f(1,2)＝\f(\r(6),4)－\f(\r(2),4)＝\f(\r(6)－\r(2),4).4．(α－β)α－(α－β)α＝m，且β为第三象限角，则β＝.[答案]－\r(1－m2)[解析]由(α－β)α－(α－β)α＝m，得(－β)＝m，即β＝－m，又β为第三象限角，β＝－\r(1－2β)＝－\r(1－(－m)2)＝－\r(1－m2)5．假设α＝2，(β－α)＝3，则(β－2α)的值为．[答案]\f(1,7)[解析](β－2α)＝[(β－α)－α]＝\f((β－α)－α,1＋(β－α)·α)＝\f(3－2,1＋3×2)＝\f(1,7).6．70°＋50°－\r(3)50°70°＝.[答案]－\r(3)[解析]∵70°＋50°＝120°(1－50°·70°)＝－\r(3)＋\r(3)50°·70°∴原式＝－\r(3)＋\r(3)50°·70°－\r(3)50°·70°＝－\r(3).7．θ＝\f(4,5)，θ∈\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(π,2)，π))，则\f(θ,2)＝.[答案]\f(\r(5),5)[解析]∵θ∈\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(π,2)，π))，∴\f(θ,2)∈\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(π,4)，\f(π,2))).∴θ＝－\r(1－2θ)＝－\f(3,5).∴\f(θ,2)＝\r(\f(1＋θ,2))＝\f(\r(5),5).8．假设α－β＝\f(π,4)，则αβ的最大值为．[答案]\f(2＋\r(2),4)[解析]α＝β＋\f(π,4)，则αβ＝(β＋\f(π,4))β＝－\f(1,2)[(2β＋\f(π,4))－\f(π,4)]＝－\f(1,2)(2β＋\f(π,4))＋\f(\r(2),4)∴最大值为\f(2＋\r(2),4).9．函数f(x)＝－的递增区间是．[答案][2kπ－\f(π,4)，2kπ＋\f(3,4)π](k∈Z)[解析]∵f(x)＝－＝\r(2)(x－\f(π,4))，∴2kπ－\f(π,2)≤x－\f(π,4)≤2kπ＋\f(π,2)，即2kπ－\f(π,4)≤x≤2kπ＋\f(3π,4)(k∈Z)10．函数f(x)＝\r(3)ωωx－2ωx(ω>0)的周期为\f(π,2)，则ω＝.[答案]2[解析]f(x)＝\f(\r(3),2)2ωx－\f(1＋2ωx,2)＝\f(\r(3),2)2ωx－\f(1,2)2ωx－\f(1,2)＝\b\\(\\)(\a\4\\1(2ωx－\f(π,6)))－\f(1,2)，则有\f(2π,2ω)＝\f(π,2)，∴ω＝2.11．α＝\f(4,5)，则2α＝.[答案]\f(7,25)[解析]∵α＝\f(4,5)，∴2α＝22α－1＝2×(\f(4,5))2－1＝\f(7,25).12\f(3\f(π,8),1－2\f(π,8))＝.[答案]\f(3,2)[解析]原式＝\f(3,2)×\f(2\f(π,8),1－2\f(π,8))＝\f(3,2)(2×\f(π,8))＝\f(3,2)\f(π,4)＝\f(3,2).三解答题1．设α∈(0，\f(π,2))，假设α＝\f(3,5)，求\r(2)(α－\f(π,4))的值．[解析]∵α∈(0，\f(π,2))，α＝\f(3,5)，∴α＝\f(4,5)，∴\r(2)(α－\f(π,4))＝\r(2)(α\f(π,4)＋α\f(π,4))＝α＋α＝\f(4,5)＋\f(3,5)＝\f(7,5).2．\b\\(\\)(\a\4\\1(α＋\f(π,4)))＝\f(4,5)，且\f(π,4)<α<\f(3π,4)，求α的值．[解析]∵\b\\(\\)(\a\4\\1(α＋\f(π,4)))＝\f(4,5)，且\f(π,4)<α<\f(3π,4)，∴\f(π,2)<α＋\f(π,4)<π.∴\b\\(\\)(\a\4\\1(α＋\f(π,4)))＝－\r(1－\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(4,5)))2)＝－\f(3,5).∴α＝\b\\[\\](\a\4\\1(\b\\(\\)(\a\4\\1(α＋\f(π,4)))－\f(π,4)))＝\b\\(\\)(\a\4\\1(α＋\f(π,4)))\f(π,4)＋\b\\(\\)(\a\4\\1(α＋\f(π,4)))\f(π,4)＝－\f(3,5)×\f(\r(2),2)＋\f(4,5)×\f(\r(2),2)＝\f(\r(2),10).3．化简求值(1)44°14°－44°14°；(2)(54°－x)(36°＋x)＋(54°－x)(36°＋x)[解析](1)原式＝(14°－44°)＝(－30°)＝－\f(1,2)；(2)原式＝[(54°－x)＋(36°＋x)]＝90°＝1.4．θ＝－\f(12,13)，θ∈\b\\(\\)(\a\4\\1(π，\f(3π,2)))，求\b\\(\\)(\a\4\\1(θ＋\f(π,4)))的值．[解析]θ＝－\f(12,13)，θ∈\b\\(\\)(\a\4\\1(π，\f(3π,2)))，∴θ＝－\f(5,13)，∴\b\\(\\)(\a\4\\1(θ＋\f(π,4)))＝θ·\f(π,4)－θ·\f(π,4)＝－\f(12,13)×\f(\r(2),2)－\b\\(\\)(\a\4\\1(－\f(5,13)))×\f(\r(2),2)＝－\f(7\r(2),26).5．α＝－\f(3\r(10),10)且α是第三象限角，求(α－\f(π,4))的值．[解析]∵α＝－\f(3\r(10),10)且α是第三象限角，∴α＝－\r(1－2α)＝－\r(1－(－\f(3\r(10),10))2)＝－\f(\r(10),10).∴α＝\f(αα)＝3.∴(α－\f(π,4))＝\f(α－\f(π,4),1＋α·\f(π,4))＝\f(3－1,1＋3×1)＝\f(1,2).6．(α－β)＝\f(1,2)，β＝－\f(1,7)，且α、β∈(0，π)．(1)求α的值；(2)求2α－β的值．[解析](1)α＝[(α－β)＋β]＝\f((α－β)＋β,1－(α－β)β)＝\f(\f(1,2)－\f(1,7),1＋\f(1,14))＝\f(1,3).(2)(2α－β)＝[(α－β)＋α]＝\f((α－β)＋α,1－(α－β)α)＝1.∵β＝－\f(1,7)<0，∴\f(π,2)<β<π.又∵α＝\f(1,3)>0，∴0<α<\f(π,2).∴－π<α－β<0.而(α－β)＝\f(1,2)>0，∴－π<α－β<－\f(π,2).∴2α－β∈(－π，0)．∴2α－β＝－\f(3π,4).7．(2021·安徽文)设函数f(x)＝＋(x＋\f(π,3))．(1)求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x的集合；(2)不画图，说明函数y＝f(x)的图象可由y＝的图象经过怎样的变化得到．[解析](1)因为f(x)＝＋\f(1,2)＋\f(\r(3),2)＝\f(3,2)＋\f(\r(3),2)＝\r(3)(x＋\f(π,6))．所以当x＋\f(π,6)＝2kπ－\f(π,2)，即x＝2kπ－\f(2π,3)(k∈Z)时，f(x)取最小值\r(3).此时x的取值集合为{＝2kπ－\f(2π,3)，k∈Z}．(2)先将y＝的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的\r(3)倍(横坐标不变)，得y＝\r(3)的图象；再将y＝\r(3)的图象上所有的点向左平移\f(π,6)个单位，得y＝f(x)的图象．8．函数f(x)＝2(π－x).(1)将f(x)化为(ωx＋φ)的形式(A>0，ω>0)；(2)求f(x)的最小正周期；(3)求f(x)在区间\b\\[\\](\a\4\\1(－\f(π,6)，\f(π,2)))上的最大值和最小值．[解析](1)f(x)＝2(π－x)＝2＝2x.(2)由(1)知函数f(x)的最小正周期为T＝\f(2π,2)＝π.(3)由－\f(π,6)≤x≤\f(π,2)，得－\f(π,3)≤2x≤π，所以－\f(\r(3),2)≤2x≤1，即f(x)的最大值为1，最小值为－\f(\r(3),2).9．向量＝(2＋1，2x－＋1)＝(，－1)，定义f(x)＝·.(1)求f(x)的最小正周期．(2)求f(x)的最大值和最小值．[解析](1)∵f(x)＝·＝(2＋1，2x－＋1)·(，－1)＝22x＋－2x＋－1＝\r(2)(x＋\f(π,4))，∴函数f(x)＝\r(2)(x＋\f(π,4))的最小正周期为2π.(2)当x＋\f(π,4)＝2kπ＋\f(π,2)，k∈Z即x＝2kπ＋\f(π,4)，k∈Z时，f(x)＝\r(2).当x＋\f(π,4)＝2kπ－\f(π,2)即x＝2kπ－\f(3π,4)，k∈Z时，f(x)＝－\r(2).10．如下图，圆心角为直角的扇形，半径＝2，点C是\x\()上任一点，且⊥于E，⊥于F，设∠＝x，矩形的面积为f(x)，求：(1)f(x)的解析式；(2)矩形面积的最大值．[解析](1)∵f(x)＝·＝·＝4＝22x，∴f(x)＝22x，x∈\b\\(\\)(\a\4\\1(0，\f(π,2))).(2)∵f(x)＝22x，x∈\b\\(\\)(\a\4\\1(0，\f(π,2)))，∴0<2x<π.∴当x＝\f(π,4)时，f(x)取得最大值2，即矩形面积的最大值为2.11．α＝\f(5,13)，α∈\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(π,2)，π))，求2α、2α、2α的值．[解析]∵α＝\f(5,13)，α∈\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(π,2)，π))，∴α＝－\r(1－2α)＝－\r(1－\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(5,13)))2)＝－\f(12,13).∴2α＝2αα＝2×\f(5,13)×\b\\(\\)(\a\4\\1(－\f(12,13)))＝－\f(120,169)，2α＝1－22α＝1－2×\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(5,13)))2＝\f(119,169)，2α＝\f(2α2α)＝－\f(120,169)×\f(169,119)＝－\f(120,119).12．(2021·安徽理)函数f(x)＝4ωx·(ωx＋\f(π,4))(ω>0)的最小正周期为π(Ⅰ)求ω的值；(Ⅱ)讨论f(x)在区间[0，\f(π,2)]上的单调性．[解析](Ⅰ)f(x)＝4ωx·(ωx＋\f(π,4))＝2\r(2)ω·ωx＋2\r(2)2ωx＝\r(2)(2ωx＋2ωx)＋\r(2)＝2(2ωx＋\f(π,4))＋\r(2).因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0，从而有\f(2π,2ω)＝π，故ω＝1.(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)＝2(2x＋\f(π,4))＋\r(2).假设0≤x≤\f(π,2)，则\f(π,4)≤2x＋\f(π,4)≤\f(5π,4).当\f(π,4)≤2x＋\f(π,4)≤\f(π,2)，即0≤x≤\f(π,8)时，f(x)单调递增；当\f(π,2)≤2x＋\f(π,4)≤\f(5π,4)，即\f(π,8)≤x≤\f(π,2)时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在区间[0，\f(π,8)]上单调递增，在区间[\f(π,8)，\f(π,2)]上单调递减.章节测试一、选择题1．1<0的值是()．A．1<0 B．－1<0 C．21<0 D．－21<02．40°＋60°＋2140°215°－1的值是()．A．0B．1<0 C．1<0 D．1<03．(－)－(－)＝1<0，且在第三象限，则1<0的值是()．A．－1<0 B．－1<0 C．±1<0 D．±1<04．1<0＝1<0，则＝()．A．1<0 B．1<0 C．1<0 D．1<05．(+45°)－(45°－)等于()．A．22 B．－22 C．1<0 D．－1<06．(－)－(－)＝1<0，且为第三象限角，则等于()．A．1<0 B．－1<0 C．1<0D．－1<07．214°31°＋17°等于()．A．1<0 B．－1<0 C．1<0 D．－1<08．在△中，假设0＜Α·B＜1，则△一定是()．A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．形状不确定9．为第三象限角且4＋4＝1<0，则2等于()．A．1<0 B．1<0 C．－1<0 D．－1<0[来源:高[考∴试﹤题∴库]10．6°·24°·78°·48°的值为()．A．1<0 B．1<0 C．1<0 D．1<0二、填空题11．假设x－y＝－1<0，x－y＝1<0，x，y都是锐角，则(x－y)的值为．12．化简1<0＝．13．假设3＝，则4＝．14．假设1<0＜＜1<0，1<0＝－1<0，则＝．15．求函数y＝(x＋x)2＋22x的最小正周期＝．16．1<0＝k(1<0＜＜1<0)，试用k表示－的值．三、解答题17．化简：2A＋2(1<0＋A)＋2(1<0＋A)．18．：∈(0，1<0)，∈(1<0，1<0)且(1<0－)＝1<0，(1<0＋)＝1<0，求：，(＋)．19．(1)(－)＝1<0，＝1<0，且，∈(0，)，求2－的值．(2)(－1<0)＝1<0，(1<0－)＝1<0，且1<0＜＜，0＜＜1<0，求(＋)的值．20．2＝1<0，2∈1<0，求1<0．第三章三角恒等变换参考答案一、选择题1．D解析：原式＝1<0＝1<0＝1<0＝－1<0＝－21<0．2．C解析：原式＝1<0＋40°－40°＋30°＝1<0＋1<0＝1<0．3．D解析：∵(－－)＝1<0，∴＝－1<0．又知是第三象限角，∴＝－1<0．又＝1－221<0，∴1<0＝±1<0＝±1<0．4．B解析：∵1<0＝1<0＝1<0，∴1<0＝1<0，即1<0＝2．∴1<0＝1<0＝1<0＝－1<0．5．A解析：原式＝1<0－1<0＝1<0＝1<0＝22．6．B解析：由得(－)＝1<0，即＝－1<0，又为第三象限角，∴＝－1<0．7．A解析：原式＝214°31°＋(31°－14°)＝31°14°＋31°14°＝(31°＋14°)＝45°＝1<0．8．B解析：∵A，B是△内角，又∵0＜Α·B＜1，∴A，B∈(0，1<0)．∵0＜1<0＜1，B＞0，∴B－B＞0，即(A＋B)＞0，∴0＜A＋B＜1<0，∴－(A＋B)＝C＞1<0，∴△一定是钝角三角形．9．A解析：∵1<0＝1<0，∴(2＋2)2－22·2＝1<0，∴1－1<022＝1<0，∴22＝1<0．∵2k＋＜＜2k＋1<0，来源高考∴试﹤题∴库∴4k＋2＜2＜4k＋3．∴2＝1<0．10．A解析：6°·24°·78°·48°＝1<0＝1<0＝1<0＝1<0．二、填空题11．答案：－1<0．解析：由1<0平方相加，可求(x－y)＝1<0．∵0＜x＜1<0，0＜y＜1<0且x－y＝－1<0＜0，∴0＜x＜y＜1<0，∴－1<0＜x－y＜0，∴(x－y)＝－1<0，∴(x－y)＝－1<0．12．答案:－1<02．解析：原式＝1<0＝1<0＝1<0＝1<02|．∵1<0＜2＜，∴2＜0．∴原式＝－1<02．13．答案：1<0．解析：∵3＝，∴＝1<0．∴2＝1<0＝1<0，4＝1<0＝1<0．14．答案：-2．解析：∵1<0＜＜1<0，∴5＜2＜1<0，1<0＜1<0＜1<0，∴1<0，2均为第三象限角，为第二象限角．∵2＝－1<0，∴2＝－1<0，又2＝22－1，∴＝－1<0＝1<0＝－1<0．又2＝2＝－1<0，∴＝1<0＝1<0，∴＝1<0＝－2．15．答案：．解析：y＝1＋2x＋22x＝2x＋2x＋2＝1<0(2x＋1<0)＋2．故最小正周期为．16．答案：1<0．解析：∵1<0＝1<0＝2，∴k＝2．而(－)2＝1－2＝1－k．又1<0＜＜1