期末考试押题卷二（考试范围：苏教版2019选择性必修第一册）（解析版）

期末考试押题卷二（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：苏教版2019选择性必修第一册5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．方程表示一个圆，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由，得，解得.故选：B2．已知等差数列的前项和为，且，，则（

）A．81 B．86 C．88 D．192【答案】C【解析】设等差数列的公差为.因为，，所以两式相减得，所以.又，所以，所以.故选：C3．在平面直角坐标系中，原点到直线：与：的交点的距离为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，所以交点坐标为，所以原点到交点的距离为，故选：C.4．设函数，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，又，则，则.故选：A.5．数列的前项和为，若，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意，，当时，，当时，由得，两式相减并整理得，所以数列从第项起是等比数列，则，即，所以.故选：D6．已知圆，直线，设圆上恰有两个点到直线的距离等于1．则的取值范围是（

）A．或 B．C．或 D．或【答案】D【解析】圆，化简为标准方程为，则圆的圆心为，半径，若圆上恰有两个点到直线的距离等于1，则圆心到直线的距离，,即，得或故选：D7．抛物线的焦点为F，点P在双曲线C：的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为（

）A．1 B． C．或 D．或【答案】D【解析】抛物线的焦点为，双曲线C：的渐近线为，不妨取，设，，解得或，或.故选：D8．已知函数在上不单调，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，当时，在区间上单调递减，不符合题意.当，时，，在区间上单调递减，不符合题意.当时，令，解得，要使在区间上不单调，则，即，解得，此时在区间上递减；在区间上递增.故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知是等差数列，其前n项和为，是等比数列，且，，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】设等差数列的公差为d，等比数列的首项为q，由，得，，，由，，得方程组，解得，所以，，，.故选：ACD.10．设直线：，：，则（

）A．与平行 B．与相交C．与的交点在圆上 D．与的交点在圆外【答案】BC【解析】由题意，直线，两直线斜率分别为，，故两直线相交，选项A错误，B正确；联立，解得，故两直线交点为，由，得交点在圆上.故C正确，D错误.故选：BC.11．直角坐标系中椭圆的中心为原点，焦点在坐标轴上，点，均在椭圆上，则（

）A．椭圆的离心率为B．直线：与椭圆相交C．椭圆的短轴长为2D．椭圆上两点中点坐标为，则直线的斜率【答案】BCD【解析】设椭圆方程为，，且，则，解得，所以椭圆方程为，所以，，，，故A错；直线的方程可整理为，令，解得，所以直线恒过定点，因为，所以点在椭圆内，所以直线与椭圆相交，故B正确；，所以短轴长为2，故C正确；设，，则，，两式相减得，因为中点为，所以，，所以，整理得，故D正确.故选：BCD.12．已知函数，下列结论正确的是（

）A．有且只有一个零点B．C．，直线与的图象相切D．【答案】AD【解析】因为，所以在上单调递减，，A正确.当时，，当时，，B错误.，不可能存在斜率为的切线，C错误.因为，所以，D正确.故选：AD.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．记数列的前n项和为，若等差数列的首项为5，第4项为8，则．【答案】23【解析】法1：设等差数列的公差为d，则，解得，所以，所以，所以；法2：设等差数列的公差为d，则，解得，所以，所以，当时，，所以.故答案为：2314．由动点向圆引两条切线，切点分别为，，则动点的轨迹方程为.【答案】【解析】如图所示，因为，可得，又因为，所以，设，则，即.故答案为：.15．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作直线分别交双曲线左支和一条渐近线于点（在同一象限内），且满足．联结，满足．若该双曲线的离心率为，求的值．【答案】【解析】不妨设，由得，化简得（1），在双曲线上，∴，即，代入（1）解得，，，又在渐近线上，，即．两边平方得（2），将和代入（2）得，化简得，解得或（舍去），即，化简得.故答案为：.16．已知，则不等式的解集为.【答案】【解析】不等式可化为：，当时，，又，；令，则，，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减；当时，，，，即当时，，，即不等式的解集为.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（10分）已知函数的图象过点，且.(1)求，的值；(2)求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积.【解析】（1）由，得，由题意可得，，解得；（2）由（1）得，，，∴，，∴曲线在点处的切线方程为，即.取，得，取，得.∴曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积.18．（12分）已知点，曲线上任意一点均满足.(1)求的轨迹方程；(2)过点的直线与交于两点，证明：．【解析】（1）设的坐标，由，得，化简，得，即.故的轨迹方程为.（2）当与轴垂直时，为的垂直平分线，所以当与轴不垂直时，设的方程为，，将代入得.所以，.则直线的斜率之和为由得.则.从而，故的倾斜角互补，所以.综上，方法二：当与轴重合时，.当与轴不重合时，设的方程为，，将代入得.所以，.则直线的斜率之和为.由得.则.从而，故的倾斜角互补，所以.综上，.方法三：由题意，，所以，在中由正弦定理知①②因为，所以，①②得，又，所以.19．（12分）已知数列的前n项和为，且，数列为等差数列，，.(1)求，的通项公式；(2)求数列的前n项和.【解析】（1）当时，，解得.当时，,，两式相减得，即，所以是首项、公比均为2的等比数列，故.设等差数列的公差为d，由，可得，又，所以，解得，故.（2）令，由（1）知，则，①，②①—②，得，所以.20．（12分）双曲线：的渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1.(1)求的方程；(2)是否存在直线，经过点且与双曲线于A，两点，为线段的中点，若存在，求的方程；若不存在，说明理由.【解析】（1）令，所以，又由题意可知双曲线的焦点到渐近线的距离，所以双曲线的标准方程为：；（2）假设存在，由题意知：该直线的斜率存在，设，，直线的斜率为，则，，又有，，两式相减得，即即，所以，解得，所以直线的方程为，即，联立直线与双曲线方程得：，即直线与双曲线有两个交点，满足条件，所以存在直线，其方程为.21．（12分）已知椭圆C：的左焦点为，点在C上.(1)求椭圆C的标准方程.(2)过F的两条互相垂直的直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，若线段AB，PQ的中点分别为M，N，且过F作直线MN的垂线，垂足为D，证明：存在定点H，使得为定值.【解析】（1）解法一，由题意知，又，所以，把点代入椭圆方程得，解得，故椭圆C的标准方程为；解法二，因为椭圆C的左焦点为，所以，设C的右焦点为，则，椭圆上点与点的横坐标相同，所以点到点的距离为通径长的一半，由得知，，又，所以，得，，故椭圆C的标准方程为；（2）解法一，当直线AB，PQ的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为，，，由，消去y得，则，.所以，所以.同理用代换可得.若，则，此时直线MN的斜率不存在，且直线MN的方程为，过点.若，则直线MN的斜率为，可得直线MN的方程为，化简得，所以直线MN过定点，当直线AB，PQ的斜率一个不存在，一个为0时，直线MN的方程为，直线MN过定点，所以直线MN过定点.令H为FT的中点，则，若D与T，F均不重合，则由题设知FT是的斜边，故.若D与T或F重合，则.综上，存在定点，使得为定值.解法二，当直线AB，PQ的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为，，，由，消去y得，则，.所以，所以.同理用代换可得.若，则，此时直线MN的斜率不存在，且直线MN的方程为，过点.下面证明动直线MN过定点.因为，，所以，即T，M，N三点共线，所以直线MN过定点.当直线AB，PQ的斜率一个不存在，一个为0时，直线MN的方程为，直线MN过定点.所以直线MN过定点.令H为FT的中点，则，若D与T，F均不重合，则由题设知FT是的斜边，故.若D与T或F重合，则.综上，存在定点，使得为定值.22．（12分）已知函数.(1)当时，求函数的零点个数.(2)若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围并证明.【解析】（