第2章 圆与方程章末题型归纳总结（原卷版）

第2章圆与方程章末题型归纳总结目录模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题经典题型一：求圆的方程经典题型二：求轨迹方程经典题型三：直线与圆位置关系经典题型四：圆与圆的位置关系经典题型五：弦长、切线、切线长、切点弦问题经典题型六：圆中范围与最值问题经典题型七：面积问题模块三：数学思想方法①分类讨论思想②转化与化归思想③数形结合思想

模块一：本章知识思维导图

模块二：典型例题经典题型一：求圆的方程例1．（2023·陕西榆林·高二校联考期末）若圆经过点，，且圆心在直线：上，则圆的方程为（

）A． B．C． D．例2．（2023·全国·高二专题练习）已知圆经过抛物线与轴的交点，且过点，则圆的方程为.例3．（2023·安徽合肥·高二校考开学考试）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线：上，则圆的方程为.例4．（2023·浙江·高二浙江省普陀中学校联考期中）平面直角坐标系中，已知点，，，，当四边形的周长最小时，的外接圆的方程为．例5．（2023·河南平顶山·高二汝州市第一高级中学校考阶段练习）的三个顶点分别是，则的外接圆的方程为．例6．（2023·辽宁大连·高二大连八中校考期中）“大漠孤烟直，长河落日圆”体现了我国古代劳动人民对于圆的认知.已知，，则以为直径的圆的方程为（

）A． B．C． D．例7．已知O为原点，点为圆心，以为直径的圆的方程为（

）A． B．C． D．例8．（2023·全国·高二专题练习）已知圆，则圆关于点对称的圆的方程为（

）A． B．C． D．例9．（2023·全国·高二专题练习）过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（

）A． B．C． D．例10．（2023·全国·高二专题练习）已知一个圆的方程满足：圆心在点，且过原点，则它的方程为（

）A． B．C． D．经典题型二：求轨迹方程例11．（2023·高二课时练习）已知、两定点．若动点满足，求动点的轨迹方程．例12．（2023·高二课时练习）已知定点，动点在圆上，点在线段上，且，求点的轨迹方程．例13．（2023·高二课时练习）已知动直线（其中且为变动参数）和圆相交于、两点，求弦的中点的轨迹方程．例14．（2023·高二课时练习）的顶点B，C的坐标分别是，，顶点A在圆上运动，求的重心G的轨迹方程.例15．（2023·高二课时练习）从定点向圆任意引一割线交圆于P，Q两点，求弦PQ的中点M的轨迹方程.例16．（2023·高二单元测试）已知圆(1)若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线方程；(2)从圆C外一点向该圆引一条切线，切点为M，且有为坐标原点，点P的轨迹方程.例17．（2023·江苏南通·高二金沙中学校考阶段练习）已知点和圆为圆上的动点.(1)求的中点的轨迹方程；(2)若，求线段中点的轨迹方程.例18．（2023·云南红河·高二开远市第一中学校校考阶段练习）已知圆C经过点且圆心C在直线上.(1)求圆C方程；(2)若E点为圆C上任意一点，且点，求线段EF的中点M的轨迹方程.例19．（2023·全国·高二专题练习）已知圆的圆心在轴上，并且过，两点.(1)求圆的方程；(2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹方程.例20．（2023·高二课时练习）如图，已知点A(-1，0)与点B(1，0)，C是圆x2+y2=1上异于A，B两点的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|=|BC|，求线段AC与OD的交点P的轨迹方程.

例21．（2023·高二课时练习）已知线段AB的端点B的坐标为，端点A在圆C：上运动，求线段AB的中点P的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．例22．（2023·高二课时练习）已知圆：．(1)求圆的圆心坐标及半径；(2)设直线：①求证：直线与圆恒相交；②若直线与圆交于，两点，弦的中点为，求点的轨迹方程，并说明它是什么曲线．例23．（2023·全国·高二专题练习）已知圆.过原点的动直线与圆相交于不同的两点，求线段AB的中点M的轨迹方程.经典题型三：直线与圆位置关系例24．（2023·全国·高二专题练习）关于曲线C：，下列说法正确的是（

）A．曲线C可能经过点B．若，过原点与曲线C相切的直线有两条C．若，曲线C表示两条直线D．若，则直线被曲线C截得弦长等于例25．（2023·北京·高二中央民族大学附属中学校考期末）已知A，B（异于坐标原点）是圆与坐标轴的两个交点，则下列点M中，使得为钝角三角形的是（

）A． B． C． D．例26．（2023·四川成都·高二校联考期中）直线与圆的位置关系为（

）A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定例27．（2023·广东珠海·高二珠海市第二中学校考期中）已知圆，直线.下列说法正确的是（

）A．直线与圆可能相切B．圆被轴截得的弦长为C．直线恒过定点D．直线被圆截得弦长存在最小值，此时直线的方程为例28．（2023·全国·高二专题练习）对于任意实数，圆与直线的位置关系是（

）A．相交 B．相切C．相离 D．与的取值有关例29．（2023·高二课时练习）若圆C：上存在到的距离为1的点，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．例30．（2023·贵州黔东南·高二校考期中）若直线与圆总有两个不同的交点，则实数b的取值范围是（

）A． B． C．或 D．或例31．（2023·高二课时练习）若无论实数取何值，直线与圆相交，则的取值范围为（

）A． B． C． D．例32．（2023·全国·高二专题练习）已知平面直角坐标系内一动点P，满足圆上存在一点Q使得，则所有满足条件的点P构成图形的面积为（

）A． B． C． D．例33．（2023·四川广安·高二四川省广安代市中学校校考阶段练习）设点，若在圆上存在点，使得，则的取值范围是（）A． B． C． D．例34．（2023·贵州·高二校联考期末）圆：与直线：的位置关系为（

）A．相切 B．相离 C．相交 D．无法确定例35．（2023·全国·高二专题练习）直线与曲线的交点个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个例36．（2023·高二单元测试）若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则的取值不可能是（

）A．-2 B．0C．1 D．3例37．（2023·辽宁营口·高二校考阶段练习）已知曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．经典题型四：圆与圆的位置关系例38．（2023·福建福州·高二校联考期末）已知圆，圆，则下列不是，两圆公切线的直线方程为（）A． B．C． D．例39．（2023·全国·高二专题练习）已知直线是圆的切线，并且点到直线的距离是2，这样的直线有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条例40．（2023·四川南充·高二统考期末）已知点，，若点A到直线l的距离为1，点B到直线l的距离为4，则满足条件的有（

）条A．1 B．2 C．3 D．4例41．（2023·山西朔州·高二校考阶段练习）圆，圆，则两圆的公切线有（

）A．0条 B．1条 C．2条 D．3条例42．（2023·高二课时练习）圆和圆的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．内含例43．（2023·山西·高二山西大附中校考期中）以下四个命题表述正确的是（

）A．直线恒过定点B．两圆与的公共弦所在的直线方程为C．已知圆：，为直线上一动点，过点向圆引条切线，其中A为切点，则的最小值为D．圆：与圆：恰有三条公切线例44．（2023·广西河池·高二校联考阶段练习）已知圆A：与圆B：，则两圆的公切线的条数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3例45．（2023·内蒙古包头·高二统考期末）已知圆与圆交于两点，则（

）A． B． C． D．例46．（2023·全国·高二专题练习）已知圆：与圆：相内切，则与的公切线方程为（

）A． B．C． D．例47．（2023·全国·高二专题练习）已知圆与圆相交所得的公共弦长为，则圆的半径（

）A． B． C．或1 D．经典题型五：弦长、切线、切线长、切点弦问题例48．（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，过点作圆的两条切线，切点分别为．则直线的方程为（

）A． B．C． D．例49．（2023·全国·高二专题练习）已知过圆外一点做圆的两条切线，切点为两点，求所在的直线方程为（

）A． B．C． D．例50．（2023·高二课时练习）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M，N是锐角∠AQB的一边QA上的两点，试在QB边上找一点P，使得∠MPN最大．”如图，其结论是：点P为过M，N两点且和射线QB相切的圆与射线QB的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，，点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标是（

）A．1 B．－7 C．1或－7 D．2或－7例51．（2023·全国·高二专题练习）过点作圆的切线，则切线方程为（

）A． B．C． D．或例52．（2023·全国·高二专题练习）已知圆为圆O上位于第一象限的一点，过点M作圆O的切线l．当l的横纵截距相等时，l的方程为（

）A． B．C． D．例53．已知直线经过点，且与圆相切，则的方程为（

）A． B． C． D．例54．（2023·全国·高二专题练习）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（

）A． B． C． D．例55．（2023·全国·高二专题练习）过直线上一点向圆O：作两条切线，设两切线所成的最大角为，则（

）A． B． C． D．例56．（2023·江苏·高二南京市人民中学校联考开学考试）已知是上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，当直线与平行时，（

）A． B． C． D．4例57．（2023·全国·高二专题练习）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（

）A．1 B． C． D．例58．（2023·全国·高二专题练习）已知圆，直线上动点，过点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．2例59．（2023·全国·高二专题练习）设点为直线上任意一点，过点作圆的切线，切点分别为，则直线必过定点（

）A． B． C． D．例60．（2023·全国·高二专题练习）已知圆，直线的方程为，若在直线上存在点，过点作圆的切线，切点分别为点，使得为直角，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．例61．（2023·江苏扬州·高二统考开学考试）已知圆，直线则直线被圆截得的弦长的最小值为（

）A．5 B．4 C．10 D．2例62．（2023·广西南宁·高二南宁三中校考期末）已知圆：，直线：，直线与圆交于、，则的最大值为（

）A．1 B． C． D．例63．（2023·湖北随州·高二随州市曾都区第一中学校考期末）若直线与圆交于，两点，当最小时，劣弧的长为（

）A． B． C． D．例64．（2023·全国·高二专题练习）已知直线与圆交于两点，则（

）A． B． C． D．例65．（2023·江苏南通·高二江苏省如皋中学校考开学考试）当圆截直线所得的弦长最短时，实数（

）A． B． C． D．例66．（2023·江苏宿迁·高二校考阶段练习）直线与圆相交于P，Q两点．若，则实数k的取值范围是（

）A． B．C．[－1，1] D．[－，3]例67．（2023·高二单元测试）设，均为正实数，若直线被圆截得的弦长为2，则的取值范围是（

）A． B．C． D．例68．（2023·河北沧州·高二统考期末）直线与曲线交于A，B两点，若，则t的值有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个经典题型六：圆中范围与最值问题例69．（多选题）（2023·全国·高二专题练习）若实数、满足条件，则下列判断正确的是（

）A．的范围是 B．的范围是C．的最大值为1 D．的范围是例70．（2023·河南三门峡·高二统考期末）过作圆与圆的切线，切点分别为，，若，则的最小值为．例71．（2023·辽宁大连·高二大连八中校考阶段练习）圆上点到直线距离的最小值是．例72．（2023·全国·高二随堂练习）已知点与圆，P是圆C上任意一点，则的最小值是．例73．（2023·全国·高二专题练习）点在动直线上的投影为点M，若点，那么的最小值为.例74．（2023·上海浦东新·高二校考期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点、的距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系中，、，点满足，则的最小值为.例75．（2023·全国·高二专题练习）设、为正数，若直线被圆截得弦长为，则的最小值为.例76．（2023·安徽·高二马鞍山二中校联考阶段练习）已知，则的最小值为.例77．（2023·全国·高二专题练习）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知动点在圆上，若点，点，则的最小值为．例78．（2023·四川成都·高二校考阶段练习）若直线与圆相交于两点，则弦长的最小值为.例79．（2023·全国·高二专题练习）已知直线与圆有公共点，且与直线交于点，则的最小值是．例80．（2023·全国·高二专题练习）已知实数x，y满足方程，则（1）的最大值和最小值分别为和；（2）y－x的最大值和最小值分别为和；（3）的最大值和最小值分别为和．例81．（2023·江苏南京·高二南京市中华中学校考期中）已知直线与相交于点，过点作圆的切线，切点为，则的最大值为.例82．（2023·贵州·高二校联考阶段练习）已知圆：，为圆上任一点，则的最大值为.例83．（2023·全国·高二专题练习）已知实数，，，满足，，，则的最大值是．经典题型七：面积问题例84．（2023·全国·高二专题练习）直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围．例85．（2023·辽宁朝阳·高二校联考阶段练习）以原点O为圆心作单位圆O，直线l与直线平行，且过点，P为直线l上一动点，过点P作直线与圆O相切于点B，则面积的最小值为．例86．（2023·全国·高二期中）曲线围成的图形的面积是.例87．（2023·广东揭阳·高二校考期中）已知直线与圆交于两点，以线段为直径作圆，该圆的面积的取值范围为.例88．（2023·安徽芜湖·高二安徽省无为襄安中学校考期中）在中，为的角平分线，D在上，且，则面积的最大值为．例89．（2023·河北唐山·高二统考期末）已知圆：，圆：，过圆上的任意一点P作圆的两条切线，切点为A，B，则四边形面积的最大值为.例90．（2023·广东深圳·高二统考期末）已知圆，点在直线上运动，过作的两条切线，切点分别为、，当四边形的面积最小时，．例91．（2023·高二课时练习）已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为AC和BD，求四边形ABCD的面积．例92．（2023·安徽阜阳·高二安徽省阜南实验中学校考开学考试）已知圆方程：，圆相交点A、B．(1)求经过点A、B的直线方程.(2)求的面积.例93．（2023·全国·高二专题练习）已知是直线上的动点，，是圆的两条切线，，是切点．求四边形面积的最小值.例94．（2023·上海·高二专题练习）若点为圆的弦的中点．求：(1)直线的方程；(2)的面积．模块三：数学思想方法① 分类讨论思想例95．圆M：与两个坐标轴共有3个公共点，则实数m的值是（

）A．1或2 B．1或4 C．0或4 D．0或1例96．过点作与圆相切的直线l，则直线l的方程为（

）A． B．C．或