5.3 导数在研究函数中的应用（十七大题型）（原卷版）

5.3导数在研究函数中的应用课程标准学习目标（1）能利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间，利用导数研究函数增长快慢．能将函数单调性问题转化为导数的运算和导数正负的判断问题，发展数学运算素养．（2）能用自己的语言解释函数极值的意义，能利用导数求某些函数的极值以及最大（小）值，体会数形结合思想、函数与方程思想，发展逻辑推理索养．（3）会利用导数研究函数的图象，得出函数的最大（小）值、值域、零点等性质；会利用函数的最大（小）值，证明与函数有关的一些简单不等式；会用导数研究实际问题中的优化问题．体会数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想，发展直观想象、逻辑推理、数学建模等素养．（1）结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间．（2）借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值；体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系．（3）会利用导数解决一些实际生活中的优化问题．知识点01单调性一、函数的单调性与导数的关系导数的符号与函数的单调性：一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上，①若，则在这个区间上单调递增；②若，则在这个区间上单调递减；③若恒有，则在这一区间上为常函数．反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）．知识点诠释：1、因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上，即切线斜率为正时，函数在这个区间上单调递增；当在某区间上，即切线斜率为负时，函数在这个区间上单调递减；即导函数的正负决定了原函数的增减．2、若在某区间上有有限个点使，在其余点恒有，则仍单调递增（减函数的情形完全类似）．即在某区间上，在这个区间上单调递增；在这个区间上单调递减，但反之不成立．3、在某区间上单调递增在该区间；在某区间上单调递减在该区间．在区间内，．．（或）是在区间内单调递增（或减）的充分不必要条件！例如：，，，而在R上递增．4、只有在某区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数．5、注意导函数图象与原函数图象间关系．二、利用导数研究函数的单调性利用导数判断函数单调性的基本方法设函数在区间内可导，（1）如果恒有，则函数在内单调递增；（2）如果恒有，则函数在内单调递减；（3）如果恒有，则函数在内为常数函数．知识点诠释：（1）若函数在区间内单调递增，则，若函数在内单调递减，则．（2）或恒成立，求参数值的范围的方法——分离参数法：或．三、利用导数求函数单调区间的基本步骤（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）在函数的定义域内解不等式或；（4）确定的单调区间．或者：令，求出它在定义域内的一切实数根．把这些实数根和函数的间断点（即的无定义点）的横坐标按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间，判断在各个小区间内的符号．知识点诠释：1、求函数单调区间时，要注意单调区间一定是函数定义域的子集．2、求单调区间常常通过列表的方法进行求解，使解题思路步骤更加清晰、明确．四、讨论单调区间问题类型一：不含参数单调性讨论（1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）；（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；（3）求根做图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）；（4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）；（5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）；（6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）；求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．（7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）；类型二：含参数单调性讨论（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）；（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；（3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根；（4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）；（5）导数图像定区间；【即学即练1】（2023·湖北·高二统考期末）函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．知识点02极大值和极小值（一）函数的极值的定义：一般地，设函数在点及其附近有定义，（1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作；（2）若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称极值．在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值．知识点诠释：由函数的极值定义可知：（1）在函数的极值定义中，一定要明确函数在及其附近有定义，否则无从比较．（2）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小．（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系．即一个函数的极大值未必大于极小值．极小值不一定是整个定义区间上的最小值．（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．（二）用导数求函数极值的的基本步骤：①确定函数的定义域；②求导数；③求方程的根；④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则在这个根处取得极大值；如果左负右正，则在这个根处取得极小值．（最好通过列表法）知识点诠释：①可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．即是可导函数在点取得极值的必要非充分条件．例如函数，在处，，但不是函数的极值点．②可导函数在点取得极值的充要条件是，且在两侧的符号相异．【即学即练2】（2023·辽宁大连·高二大连八中校考阶段练习）已知函数(1)当时，求的极值；知识点03最大值和最小值（一）函数的最大值与最小值定理若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如．知识点诠释：①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得．②函数的极值可以有多个，但最值只有一个．（二）求函数最值的的基本步骤：若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数在内的导数；（2）求方程在内的根；（3）求在内使的所有点的函数值和在闭区间端点处的函数值，；（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值．知识点诠释：①求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可．②若在开区间内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值．（三）最值与极值的区别与联系①函数的最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的（具有绝对性），是整个定义域上的整体性概念．最大值是函数在整个定义域上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义域上所有函数值中的最小值．函数的极大值与极小值是比较极值点附近两侧的函数值而得出的（具有相对性），是局部的概念；②极值可以有多个，最大（小）值若存在只有一个；极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值；③有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值．【即学即练3】（2023·安徽亳州·高二涡阳县第二中学校联考期末）已知函数．(1)若，，求函数斜率为的切线方程；(2)若，讨论在的最大值．题型一：利用导数求函数的单调区间例1．（2023·河北沧州·高二校考阶段练习）函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．例2．（2023·高二课时练习）函数的单调递减区间是（

）A．, B．, C．, D．,例3．（2023·黑龙江双鸭山·高二双鸭山一中校考期末）函数​的单调递增区间是（

）A．​B．​和​C．​D．​变式1．（2023·福建龙岩·高二福建省连城县第一中学校考阶段练习）函数的单调递减区间为（

）A． B．C． D．变式2．（2023·陕西汉中·高二校考期中）函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．【方法技巧与总结】（1）求函数的单调区间常用解不等式，函数在解集与定义域的交集上单调递减．解不等式，函数在解集与定义域的交集上为单调递增．（2）注意写单调区间时，不是连续的区间一般不能用并集符号“”．题型二：函数图象与导函数图象的关系例4．（2023·四川乐山·高二校考期中）已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（

）

A． B．C． D．例5．（2023·陕西西安·高二统考期末）是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是下列选项中的（

）

A．

B．

C．

D．

例6．（2023·内蒙古乌兰察布·高二校考阶段练习）已知是函数的导数．若的图象如图所示，则的图象最有可能是（

）

A．

B．

C．

D．

变式3．（2023·陕西西安·高二期中）若函数的导函数图象如图所示，则（

）

A．是函数的极小值点B．是函数的极小值点C．函数的单调递减区间为D．的解集为变式4．（2023·内蒙古赤峰·高二校考阶段练习）下面四个图象中，至少有一个是函数（其中）的导函数的图象，则等于（

）A． B． C．或 D．或变式5．（2023·高二课时练习）已知函数的导函数的图象如图，则下列结论正确的是（

）

A．函数在区间上单调递增B．函数在区间上单调递减C．函数在区间上单调递增D．函数在区间上单调递增【方法技巧与总结】（1）函数的单调性与其导函数的正负之间的关系：在某个区间内，若，则在上单调递增；如果，则在这个区间上单调递减；若恒有，则是常数函数，不具有单调性．（2）函数图象变化得越快，的绝对值越大，不是的值越大．题型三：已知单调性求参数的取值范围例7．（2023·广西南宁·高二宾阳中学校联考期末）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（

）A． B． C． D．例8．（2023·湖北武汉·高二校联考期中）已知函数在上为减函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．例9．（2023·甘肃武威·高二民勤县第一中学校考阶段练习）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．变式6．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（

）A． B．C． D．m>1变式7．（2023·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）若函数的单调递减区间为，则实数k的值为（

）A．1 B． C．3 D．变式8．（2023·北京·高二北京五十五中校考阶段练习）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．变式9．（2023·四川成都·高二成都外国语学校校考阶段练习）若函数有三个单调区间，则实数a的取值范围是(

)A． B． C． D．变式10．（2023·山东济宁·统考一模）若函数且在区间内单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【方法技巧与总结】（1）利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即（或）恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．②先令（或），求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时是否满足题意．（2）理清运算对象，选择运算方法，求得运算结果，充分体现数学运算的数学核心素养．题型四：判断、证明函数的单调性例10．（2023·全国·高二随堂练习）讨论函数在区间内的单调性．例11．（2023·高二课时练习）证明：函数在上严格增．例12．（2023·广东揭阳·高二校考阶段练习）利用导数判断下列函数的单调性:(1)；(2).变式11．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.讨论在上的单调性；变式12．（2023·高二课时练习）证明：(1)函数在定义域上是减函数；(2)函数在区间上是增函数．【方法技巧与总结】判断、证明函数的单调性的步骤：1、求导；2、变形（分解或配方）；3、判断导数式的符号，下结论．题型五：含参数单调性讨论例13．（2023·全国·高二随堂练习）求函数的单调区间．例14．（2023·山东淄博·高二校考阶段练习）（1）已知函数，.在区间内是减函数，求的取值范围；（2）已知函数.讨论的单调性.例15．（2023·广东佛山·高二佛山市高明区第一中学校考阶段练习）已知函数．(1)当时，求函数的单调区间；(2)求函数的单调区间．变式13．（2023·广东江门·高二校考期中）已知函数．(1)当时，求函数的单调增区间．(2)当时，讨论函数的单调性．变式14．（2023·陕西西安·高二统考期末）已知函数．(1)求曲线在处的切线方程；(2)讨论函数在区间上的单调性．变式15．（2023·高二课时练习）讨论函数的单调性．变式16．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知函数.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)讨论的单调性.变式17．（2023·全国·高二专题练习）讨论函数的单调性；变式18．（2023·全国·高二专题练习）已知，．讨论的单调性；变式19．（2023·全国·高二专题练习）已知函数．求函数的单调区间；变式20．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.讨论函数的单调性；变式21．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，讨论函数的单调性．变式22．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.讨论的单调性．【方法技巧与总结】1、关于含参函数单调性的讨论问题，要根据导函数的情况来作出选择，通过对新函数零点个数的讨论，从而得到原函数对应导数的正负，最终判断原函数的增减．（注意定义域的间断情况）．2、需要求二阶导的题目，往往通过二阶导的正负来判断一阶导函数的单调性，结合一阶导函数端点处的函数值或零点可判断一阶导函数正负区间段．3、利用草稿图像辅助说明．题型六：求函数的极值例16．（2023·陕西咸阳·高二统考期中）函数的极小值是.例17．（2023·高二课时练习）函数的极小值为．例18．（2023·广东广州·高二执信中学校考阶段练习）函数的极大值为.变式23．（2023·高二单元测试）已知函数在处有极值，其图象在处的切线平行于直线，则的极大值与极小值之差为．变式24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的极小值为．变式25．（2023·辽宁锦州·高二校考期中）已知函数的极值点为1，且（为的导函数），则的极小值为.变式26．（2023·上海浦东新·高二上海市建平中学校考期中）函数的极大值为.【方法技巧与总结】函数极值和极值点的求解步骤（1）确定函数的定义域．（2）求方程的根．（3）用方程的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．（4）由在方程的根左右的符号，来判断在这个根处取极值的情况．题型七：由极值求参数的值或取值范围例19．（2023·天津·高二统考期中）已知函数在时有极值为0，则.例20．（2023·陕西咸阳·高二统考期中）若函数在区间上存在极值，则实数a的取值范围是．例21．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知，函数在上存在两个极值点，则的取值范围为．变式27．（2023·上海黄浦·高二格致中学校考阶段练习）已知函数在处有极值0，则.变式28．（2023·上海浦东新·高二上海市川沙中学校考阶段练习）函数既存在极大值也存在极小值，则实数的取值范围是．变式29．（2023·高二单元测试）函数在内有极小值，则实数的取值范围是．变式30．（2023·河南南阳·高二镇平县第一高级中学校考阶段练习）若函数在上有且仅有一个极值点，则a的取值范围是．变式31．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数，，若与中恰有一个函数无极值，则的取值范围是．变式32．（2023·河南郑州·高二校考阶段练习）若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是变式33．（2023·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）已知是函数的极大值点，则的取值范围是.【方法技巧与总结】已知函数的极值求参数的方法（1）对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号．注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件．（2）对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为或在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立．题型八：利用函数极值解决函数零点（方程根）问题例22．（2023·高二课时练习）函数有两个零点，且极大值小于，则实数的取值范围是.例23．（2023·湖南·高三校联考阶段练习）已知函数的零点恰好是的极值点，则.例24．（2023·四川·高二双流中学校考开学考试）若函数恰有2个不同的零点，则实数m的值是.变式34．（2023·湖北襄阳·高二统考期中）若函数有三个零点，则实数a的取值范围是.变式35．（2023·福建厦门·高二启悟中学校考阶段练习）函数仅有一个零点，则实数的取值范围是．变式36．（2023·江西吉安·高二统考期末）已知函数若函数仅有2个零点，则实数的取值范围为.【方法技巧与总结】（1）利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．（2）解决这类问题，一个就是注意借助几何图形的直观性，另一个就是正确求导，正确计算极值．题型九：不含参函数的最值问题例25．（2023·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考期中）函数的最大值为（

）A． B． C．0 D．例26．（2023·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考阶段练习）函数是（

）A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2C．奇函数；且最大值为 D．偶函数；且最大值为3例27．（2023·甘肃兰州·高二兰州一中校考阶段练习）定义在上的函数在区间上的最大值为，则的值为（

）A．7 B． C．9 D．变式37．（2023·安徽池州·高二校联考期中）当时，函数的最大值为（

）A． B． C．0 D．1变式38．（2023·吉林长春·高二长春外国语学校校考阶段练习）函数的最小值为（

）A．1 B． C．0 D．变式39．（2023·陕西西安·高二期中）函数在点（

）处取得最小值.A． B． C．2 D．变式40．（2023·河北邢台·高二统考阶段练习）函数在上的最小值为（

）A． B． C．0 D．【方法技巧与总结】求函数最值的步骤（1）求函数的定义域．（2）求，解方程．（3）列出关于，，的变化表．（4）求极值、端点处的函数值，确定最值．注意：不要忽略将所求极值与区间端点的函数值进行比较．题型十：含参函数的最值问题例28．（2023·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考阶段练习）已知函数(1)当时，求极值：(2)当时，求函数在上的最大值．例29．（2023·辽宁鞍山·高二校联考阶段练习）已知函数．(1)求函数的单调递增区间；(2)求函数在区间上的最小值．例30．（2023·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）已知函数，求函数在区间上的最小值.变式41．（2023·天津静海·高二静海一中校考阶段练习）已知函数，．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若函数在上的最小值是，求a的值．(3)讨论在上的最大值【方法技巧与总结】含参数的函数最值问题的两类情况（1）能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题．（2）对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．题型十一：由函数的最值求参数问题例31．（2023·广东江门·高二校考期中）函数（m为常数）在上有最大值，那么．例32．（2023·河南许昌·高二统考期末）函数在区间上有最小值，则的取值范围是.例33．（2023·北京·高二校考期中）若函数在区间上既存在最大值，也存在最小值，则实数的取值范围是.变式42．（2023·河南南阳·高二校联考阶段练习）已知函数，且的最小值为0，则的值为．变式43．（2023·陕西西安·高二长安一中校考期末）若函数在上有最小值，则实数的取值范围是.变式44．（2023·河南商丘·高二商丘市实验中学校联考期中）若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围是．变式45．（2023·吉林长春·高二长春吉大附中实验学校校考阶段练习）已知函数在上的最大值为2，则．变式46．（2023·安徽合肥·高二校联考阶段练习）若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围是.【方法技巧与总结】已知函数在某区间上的最值求参数的值（或范围）是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程（不等式）解决问题．题型十二：导数在解决实际问题中的应用例34．（2023·全国·高二课堂例题）如图所示，现有一块边长为的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，然后做成一个长方体形的无盖容器，则容器的容积是截下的小正方形边长的函数．

(1)写出函数的解析式．(2)为了使容器的容积最大，截去的小正方形边长应为多少？例35．（2023·全国·高二课堂例题）已知某型号手机总成本C元是月产量Q万件的函数，且．将Q看成能取区间内的每一个值，求月产量Q为多少时，才能使每件产品的平均成本最低？最低平均成本为多少？例36．（2023·全国·高二随堂练习）工厂需要围建一个面积为512的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁．我们知道，砌起的新墙的总长度y（单位：m）是利用原有墙壁长度x（单位：m）的函数．(1)写出y关于x的函数解析式，并确定x的取值范围；(2)随着x的变化，y的变化有何规律？(3)当堆料场的长、宽比为多少时，需要砌起的新墙用的材料最省？变式47．（2023·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第二高级中学校考阶段练习）某汽车公司生产一种品牌汽车，上年度成本价为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5万辆．本年度公司为了进一步扩大市场占有量，计划降低成本，实行降价销售．设本年度成本价比上年度降低了，本年度出厂价比上年度降低了．(1)若本年度年销售量比上年度增加了倍，问在什么取值范围时，本年度的年利润比上年度有所增加？(2)若本年度年销售量关于的函数为，则当为何值时，本年度年利润最大？【方法技巧与总结】解决最优问题应从以下几个方面入手（1）设出变量，找出函数关系式，确定定义域．（2）在实际应用问题中，若函数在定义域内只有一个极值点，则它就是最值点．题型十三：利用导数研究函数的极值与最值问题例37．（2023·四川雅安·高二校考阶段练习）已知，．(1)若函数在上是增函数，求实数a的取值范围；(2)令，（e是自然对数的底数）.求当实数a等于多少时，可以使函数取得最小值为3？例38．（2023·浙江嘉兴·高二校联考期中）已知函数，.(1)求函数在点处的切线方程；(2)当时，，记函数在上的最大值为，证明：．例39．（2023·福建泉州·高二校联考阶段练习）已知是函数的一个极值点．(1)求的单调区间；(2)求在区间上的最值．变式48．（2023·吉林白城·高二校考期中）已知函数，为自然对数的底数.(1)当且时，求的最小值；(2)若函数在上存在极值点，求实数的取值范围.变式49．（2023·四川眉山·高二统考期末）已知函数在处有极值10．(1)求实数，的值;(2)若方程在区间内有解，求实数的取值范围．变式50．（2023·四川泸州·高二统考期末）设函数，，其中e是自然对数的底数.(1)若曲线在处的切线与曲线相切，求a的值：(2)若存在两个极值点，求a的取值范围.变式51．（2023·天津西青·高二统考期末）已知函数在处有极值(1)求的值并判断是极大值点还是极小值点；(2)求函数在区间上的最值．【方法技巧与总结】（1）已知极值点求参数的值后，要代回验证参数值是否满足极值的定义．（2）讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即的正负．（3）将函数的各极值与端点处的函数值进行比较，最大的那个值是最大值，最小的那个值是最小值．题型十四：利用导数研究恒成立问题例40．（2023·山西晋中·高二祁县中学校考阶段练习）已知函数.(1)若，求的单调区间；(2)若在上恒成立，求a的取值范围.例41．（2023·山东淄博·高二校考阶段练习）（1）已知对于恒成立，求实数的取值范围；（2）已知函数，若不等式在R上恒成立，试求a的取值范围.例42．（2023·陕西西安·高二统考期末）已知函数．(1)求的单调递减区间；(2)若对于恒成立，求的取值范围．变式52．（2023·重庆永川·高二重庆市永川北山中学校校考阶段练习）已知函数，，k为常数，e是自然对数的底数．(1)当时，求的极值；(2)若，且对于任意，恒成立，试确定实数k的取值范围．变式53．（2023·陕西宝鸡·高二统考期末）已知函数，若的最大值为(1)求的值；(2)若在上恒成立，求b的取值范围.【方法技巧与总结】解决不等式恒成立问题，有两种求解方法．一种是转化为求最值，另一种是分离参数．分离参数求解不等式恒成立问题的步骤题型十五：利用导数研究不等式问题例43．（2023·江西抚州·高二金溪一中校考阶段练习）设是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（

）A． B．C． D．例44．（2023·安徽黄山·高二统考期末）定义在上的函数的导数为，若对任意实数都有，且函数为奇函数，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．例45．（2023·西藏拉萨·高三拉萨中学校考阶段练习）设函数是奇函数的导函数，，当时，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．变式54．（2023·安徽合肥·高三合肥市第十中学校联考期中）定义域为R的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．变式55．（2023·贵州黔东南·高三天柱民族中学校联考阶段练习）函数的定义域为，对任意，则的解集为（

）A． B． C． D．变式56．（2023·河南·高三校联考期中）已知定义在上的函数的导函数为，且，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【方法技巧与总结】解决不等式问题，通常先构造新函数，然后再利用导数研究这个函数的单调性，从而使不等式问题得以解决．题型十六：利用导数证明不等式例46．（2023·高二校考课时练习）证明：.例47．（2023·北京·高二北京二十中校考期中）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求证：.例48．（2023·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第二高级中学校考期中）已知函数.(1)若在处的切线过原点，求切线的方程；(2)令，求证：.变式57．（2023·浙江杭州·统考一模）已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)当时，证明：对任意的，．变式58．（2023·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考阶段练习）证明：当时，．变式59．（2023·河南南阳·高二校联考阶段练习）已知，，．(1)当时，求函数的极值；(2)当时，求证：．变式60．（2023·山东菏泽·高二统考期中）已知函数.(1)求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；(2)证明：f（x）≥1.变式61．（2023·河北邢台·高二邢台市第二中学校考阶段练习）已知函数.(1)若在上有2个零点，求a的取值范围；(2)证明：.【方法技巧与总结】利用导数证明不等式（比较大小）常与函数最值问题有关．因此，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考察这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解．题型十七：利用导数研究零点问题例49．（2023·浙江丽水·高二统考期末）已知函数．(1)求函数的单调递减区间；(2)若函数有三个零点，求的取值范围．例50．（2023·江西·高二校联考阶段练习）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若在内有且只有一个零点，求的值．例51．（2023·天津武清·高二天津市武清区城关中学校联考阶段练习）已知，函数，.(1)当时，求函数在点处的切线方程；(2)若函数的减区间是，求a的值；(3)若函数在上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围.变式62．（2023·河南郑州·高二郑州市第二高级中学校考阶段练习）已知函数.(1)求的单调性；(2)若关于的方程在上有两个不相等的零点，求的取值范围.变式63．（2023·四川资阳·高二校考期中）已知三次函数的极大值是，其导函数的图象经过点，如图所示，求(1)，，的值；(2)若函数有三个零点，求的取值范围．变式64．（2023·广西河池·校联考模拟预测）已知函数(1)当时，求函数在处的切线方程；(2)若函数与直线在上有两个不同的交点，求实数的取值范围．变式65．（2023·安徽·高三砀山中学校联考阶段练习）已知函数.(1)若，求曲线在处的切线方程；(2)若x=0为函数的极值点，且函数有两个零点，求实数的取值范围.变式66．（2023·广东佛山·高二校考阶段练习）已知函数.(1)求的单调区间和极值.(2)若关于的方程有唯一的实数根，求实数的取值范围.【方法技巧与总结】解决零点问题，有两种求解方法．一种是直接法，另一种是分离参数转化为两图像交点问题．一、单选题1．（2023·湖北·高二统考期末）函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．2．（2023·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考期中）函数的最大值为（

）A． B． C．0 D．3．（2023·福建·高二校联考期中）函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（