第12讲 第三章 圆锥曲线的方程 章末重点题型大总结（原卷版）

第12讲第三章圆锥曲线的方程章末重点题型大总结一、思维导图二、题型精讲题型01圆锥曲线的定义【典例1】（2023·全国·高二专题练习）－＝4表示的曲线方程为（

）A．－＝1(x≤－2) B．－＝1(x≥2)C．－＝1(y≤－2) D．－＝1(y≥2)【典例2】（2023·高三课时练习）已知点F（1，0），直线，若动点P到点F和到直线l的距离相等，则点P的轨迹方程是.【典例3】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，，动点与点关于原点对称，四边形的周长为8，记点的轨迹为曲线．求的方程.【变式1】（2023春·上海崇明·高二统考期末）在平面直角坐标系中，点到点、的距离之和为，则点的轨迹方程是.【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知P是平面上的动点，且点P与的距离之差的绝对值为．设点P的轨迹为曲线E．求曲线E的方程；【变式3】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知，点到直线的距离比到点的距离大2，记的轨迹为，求的方程；题型02圆锥曲线的标准方程【典例1】（2023春·湖南衡阳·高二统考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，A为椭圆C的左顶点，以为直径的圆与椭圆C在第一、二象限的交点分别为M，N，若直线AM，AN的斜率之积为，则椭圆C的标准方程为（

）A． B． C． D．【典例2】（2023秋·高二课时练习）顶点距离为6，渐近线方程是的双曲线方程是（

）A．或 B．或C． D．【典例3】（多选）（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（

）A． B． C． D．【变式1】（2023秋·云南丽江·高二统考期末）已知椭圆的中心在原点，离心率为且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则椭圆的方程为（

）A． B．C． D．【变式2】（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）若双曲线C：其中一条渐近线的斜率为2，且点在C上，则C的标准方程为（

）A． B． C． D．【变式3】（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）过点，且焦点在轴上的抛物线的标准方程是（

）A． B．C． D．题型03圆锥曲线的焦点三角形问题【典例1】（2023秋·高二课时练习）设分别为椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为（

）A．12 B．24 C． D．【典例2】（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，A是C上一点，，则的最大值为（

）A．7 B．8 C．9 D．11【典例3】（2023秋·高二单元测试）设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且，则的大小为．【变式1】（2023秋·高二单元测试）已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（

）A．6 B．12 C． D．【变式2】（2023春·河南·高二校联考阶段练习）已知双曲线，点为其两个焦点，点为双曲线上一点，若，则三角形的面积为（

）A．2 B． C． D．【变式3】（2023·全国·高三专题练习）已知是双曲线的左焦点，点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（

）A．9 B．5 C．8 D．4【变式4】（2023春·甘肃白银·高二校考期末）已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆在第一象限内的一点，若，则．题型04椭圆、抛物线中的离心率问题【典例1】（2023秋·高二课时练习）设分别是椭圆的左右焦点，若椭圆C上存在点P，使线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【典例2】（2023秋·浙江丽水·高二统考期末）已知椭圆的右焦点为，点，在椭圆上，为坐标原点，且，，则椭圆的离心率是．【典例3】（2023春·湖南邵阳·高二统考期末）已知双曲线的右焦点为，点在双曲线上，且关于原点对称.若的面积为，则双曲线的离心率为.【变式1】（2023春·福建泉州·高二校联考期中）已知双曲线的上下焦点分别为，点在的下支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，若恒成立，则的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式2】（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）直径为4的球放地面上，球上方有一点光源P，则球在地面上的投影为以球与地面的切点F为一个焦点的椭圆.若椭圆的长轴为，垂直于地面且与球相切，，则椭圆的离心率为.【变式3】（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若.则双曲线的离心率为.题型05直线与圆锥曲线的位置关系【典例1】（2023秋·湖北·高二统考期末）曲线与直线的公共点的个数为（

）A． B． C． D．【典例2】（2023春·上海徐汇·高二上海市徐汇中学校考期中）已知直线和双曲线，若l与C的右支交于不同的两点，则t的取值范围是．【典例3】（2023春·四川南充·高三四川省南充市高坪中学校考开学考试）已知双曲线的一条渐近线方程为，若直线与只有一个公共点，则实数的值为【变式1】（2023秋·高二单元测试）若直线与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则n的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式2】（2023·高二课时练习）如果直线y＝kx＋1与椭圆恒有公共点，那么实数m的取值范围为．【变式3】（2023秋·上海闵行·高二上海市七宝中学校考期末）过点作直线与抛物线有且仅有一个交点，这样的直线可以作出条.题型06圆锥曲线中的中点弦问题【典例1】（2023春·陕西榆林·高二统考期末）已知为双曲线上两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．【典例2】（2023春·上海长宁·高二上海市第三女子中学校考期中）已知焦点在轴上的椭圆被直线截得的弦的中点横坐标为，则正数.【典例3】（2023秋·宁夏银川·高二银川一中校考期末）已知椭圆，过M的右焦点作直线交椭圆于两点，若中点坐标为，则椭圆M的方程为.【典例4】（2023秋·辽宁·高二校联考期末）在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线的焦点，是抛物线C上一点，，且．(1)求抛物线C的方程；(2)若直线l与抛物线C交于A，B两点，且线段的中点坐标为，求直线l的方程．【变式1】（2023春·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期中）已知双曲线，过点作直线与双曲线交于两点，且点恰好是线段的中点，则直线的方程是（

）A． B．C． D．【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线，过点的直线与该双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程为（

）A． B．C． D．该直线不存在【变式3】（2023春·湖北·高三统考阶段练习）已知椭圆：，过点的直线与椭圆相交于，两点，且弦被点平分，则直线的方程为．【变式4】（2023春·陕西宝鸡·高二校联考阶段练习）已知抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，当轴时，．(1)求抛物线的方程；(2)当线段的中点的纵坐标为时，求直线的方程．题型07圆锥曲线中的弦长问题【典例1】（2023·河南安阳·统考三模）已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于、两点，且点到的距离为，则（

）A． B． C． D．【典例2】（2023春·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知点是椭圆C：上的一点，是椭圆的左、右焦点，且，则椭圆C的方程是.若圆的切线与椭圆C相交于M点，则的最大值是.【典例3】（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）已知直线过抛物线的焦点，设抛物线的准线与轴的交点为，过的直线与抛物线交于、两点，若以线段为直径的圆过点，则．【典例4】（2023秋·辽宁沈阳·高二沈阳二十中校联考期末）已知双曲线经过点，它的左焦点为，且到其渐近线的距离是．(1)求的方程；(2)过点的直线交左支于一点，且的斜率是，求长．【变式1】（2023·高二课时练习）过椭圆的左焦点F，作倾斜角为的弦AB，则．【变式2】（2023春·福建·高二校联考阶段练习）已知抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线交于两点，线段中点的纵坐标为，则.【变式3】（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，点在上，且，的面积为．(1)求的方程；(2)为坐标原点，若直线与相切与点，垂直，垂足为点，求的最大值．【变式4】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线，若直线和曲线相交于、两点，求．题型08圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题【典例1】（2023春·广西·高二校联考期中）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆C经过点．(1)求椭圆C的方程；(2)设O为坐标原点，过右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点．求使面积最大时直线l的方程．【典例2】（2023·高二课时练习）已知双曲线截直线所得的弦的长为．(1)求的值；(2)若轴上有一点，使的面积为，求点的坐标．【典例3】（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中中，动点到定点的距离比它到轴的距离大1，的轨迹为.(1)求曲线的方程；(2)已知点，分别为曲线上的第一象限和第四象限的点，且，求与面积之和的最小值.【变式1】（2023春·宁夏吴忠·高二吴忠中学校考期中）已知椭圆，、分别为其左、右焦点，短轴长为，离心率，过倾斜角为的直线，直线与椭圆交于、两点.(1)求椭圆的标准方程；(2)求的周长和面积.【变式2】（2023秋·山东烟台·高二统考期末）已知双曲线与有相同的渐近线，为上一点.(1)求双曲线的标准方程；(2)设双曲线的左、右焦点分别为、，过且倾斜角为的直线与相交于、两点，求的面积.【变式3】（2023·山东泰安·统考模拟预测）过点的直线与抛物线交于点（在第一象限），当直线的倾斜角为时，．(1)求抛物线的方程；(2)已知，延长交抛物线于点，当面积最小时，求点的横坐标．题型09圆锥曲线中的定点、定值问题【典例1】（2023春·上海浦东新·高二上海市建平中学校考期末）已知椭圆：，，，是椭圆上三个不同的点，原点为的重心.

(1)求椭圆的离心率；(2)如果直线和直线的斜率都存在，求证为定值；(3)试判断的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.【典例2】（2023·广东广州·统考模拟预测）已知双曲线，直线过的右焦点且与交于两点．(1)若两点均在双曲线的右支上，求证：为定值；(2)试判断以为直径的圆是否过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【典例3】（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）已知是抛物线上一点，过作圆的两条切线（切点为），交抛物线分别点且当时，.(1)求抛物线的方程;(2)判断直线的斜率是否为定值？若为定值，求出这个定值；若不是定值，说明理由.【变式1】（2023·北京海淀·北大附中校考三模）已知椭圆过点，长轴长为.(1)求椭圆的方程及其焦距；(2)直线与椭圆交于不同的两点，直线分别与直线交于点，为坐标原点且，求证：直线过定点，并求出定点坐标.【变式2】（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）已知双曲线的左、右顶点分别为A1，A2，动直线l：与圆相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为（，），（，）．

(1)求k的取值范围；(2)记直线P1A1的斜率为k1，直线P2A2的斜率为k2，那么是定值吗？证明你的结论．【变式3】（2023·全国·高三对口高考）在平面直角坐标中，设，，以线段为直径的圆经过原点O．(1)求动点P的轨迹W的方程；(2)过点作直线l与轨迹W交于A，B两点，点A关于y轴的对称点为，试判断直线是否恒过定点．题型10圆锥曲线中的定直线问题【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C：的离心率为，过点的直线l与C左右两支分别交于M，N两个不同的点（异于顶点）．(1)若点P为线段MN的中点，求直线OP与直线MN斜率之积（O为坐标原点）；(2)若A，B为双曲线的左右顶点，且，试判断直线AN与直线BM的交点G是否在定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由【典例2】（2023春·河北保定·高三校考阶段练习）已知椭圆的离心率为，且过点，．(1)求椭圆的方程；(2)直线与椭圆交于不同的，两点，且直线，，的斜率依次成等比数列．椭圆上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知，分别是双曲线的左，右顶点，直线（不与坐标轴垂直）过点，且与双曲线交于，两点.（1）若，求直线的方程；（2）若直线与相交于点，求证：点在定直线上.【变式2】（2023秋·辽宁葫芦岛·高二兴城市高级中学校考期末）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，折线与C交于M，N两点．(1)当m＝2时，求的值；(2)直线AM与BN交于点P，证明：点P在定直线上．【变式3】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线的距离为.（1）求抛物线的方程；（2）当过点的动直线与抛物线相交于不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上.题型12圆锥曲线中的向量问题【典例1】（2023春·江西宜春·高二江西省宜丰中学校考期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，焦距为2，点在椭圆上.(1)求椭圆的标准方程；(2)已知是直线上的一点，是否存在这样的直线，使得过点的直线与椭圆相切于点，且以为直径的圆过点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.【典例2】（2023·四川达州·统考二模）过抛物线C：上一点作C的切线，交C的准线于点.(1)求点M的坐标；(2)A，B是C上与M不重合的两点，，O为原点，当点O到直