2024-2025学年辽宁省重点高中高一（上）第一次月考数学试卷

一、单选题1．设集合U＝{x∈N*|x≤5}，A＝{1，3}，B＝{1，2，4}，，＞A．有最小值2B．有最大值2C．有最小值﹣2D．有最大值﹣24．若不等式ax2﹣x﹣c＞0的解集为{x|﹣1＜x则函数f（x）＝cx2﹣x﹣a的图象可以为()B.C．D.5．已知a，b为互不相等的正实数，则下列四个数中最大的数是()6．已知集合M＝{x|x2﹣3x+2＝0}，N＝{x|x2﹣ax+3a﹣5＝0}，若M∪N＝M，则实数a的取值集合是()A.∅B．{2}C．{a|2＜a＜10}D．{a|2≤a＜10}7．手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”，它是手机外观设计中一个重要参数，其值通常在（0，1）之间．设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新的手机外观，则该手机“屏占比”和升级前比有什么变化()8．已知命题p：∃x∈[1，3]，x2﹣ax+4＜0是真命题，则p的一个必要不充分条件是()A．a＜5B．a＞3C．a＜4D．a＞4二、多选题（多选）9．已知a＞b，c＞d＞0，则()A．a﹣d＞b﹣cB．ac＞bdC．ac2＞bc2D.>（多选）10．若关于x的不等式x2﹣2x+m≤0的解集中恰有3个整数，则实数m的取值可以是()（多选）11．已知a，b为正实数，且ab+2a+b＝16，则()A．ab的最大值为8B．2a+b的最小值为8C．a+b的最小值为63−3D．的最小值为三、填空题12．已知集合A＝{1}，集合B＝{x∈N|x＜3}，则满足关系A⊆P⊆B的所有集合P为13．对班级40名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成，另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A、B都赞成的学生有人.14．正实数a、b满足：a2﹣b2＝2，且则的取值范围为；实数c的最小值四、解答题（1）若A∩B≠∅,求实数a的取值范围；（2）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围.16．根据要求完成下列问题：（1）解关于x的不等式（m+1）x2﹣2mx+m﹣1≥0（m∈R（2）若不等式（m+1）x2﹣（m﹣1）x+m﹣1≥0（m∈R）对任意恒成立，求实数m的取值范围.17．要在墙上开一个上半部为半圆形、下部为矩形的窗户（如图所示在窗框为定长的条件下，要使窗户能够透过最多的光线，窗户应设计成怎样的尺寸？18．如图，铁路线上AB段长100千米，工厂C到铁路的距离CA为20千米．现要在AB上某一点D处，向C修一条公路，已知铁路每吨千米的运费与公路每吨千米的运费之比为3：5．为了使原料从供应站B运到工厂C的运费最少，D点应选在何处？19．根据要求完成下列问题：（1）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，集合B＝{x|x2+2x﹣8＞0}，集合C＝{x|x2﹣4tx+3t2<0}，且（A∩B）⊆C，求实数t的取值范围；（2）关于x的二次方程x2+（m﹣1）x+1＝0在区间[0，2]内有实数解，求实数m的取值范围.20．已知集合A为非空数集．定义：S＝{x|x＝a+b，a，b∈A}，T＝{x|x＝|a﹣b|，a，b∈A}.(Ⅲ)若集合．A⊆{x|0≤x≤2024，x∈N}，S∩T=∅,记|A|为集合A中元素的个数，求|A|的最大值.一、单选题1．设集合U＝{x∈N*|x≤5}，A＝{1，3}，B＝{1，2，4}，）＝故选：A.2．命题p：∀x∈I，＞0，则¬p是【解答】解：由全称命题的否定是特称命题知：原命题的否定为∃x∈I，≤0或x﹣1＝0.故选：D.A．有最小值2B．有最大值2C．有最小值﹣2D．有最大值﹣2【解答】解：∵a＜0，则≤﹣2，即函数有最大值﹣2故选：D.4．若不等式ax2﹣x﹣c＞0的解集为{x|﹣1＜x则函数f（x）＝cx2﹣x﹣a的图象可以为()B.D.【解答】解：根据题意，不等式ax2﹣x﹣c＞0的解集为{x|﹣1＜x则方程ax2﹣x﹣c＝0的解为x1=﹣1或x2=，且a＜0，则有解可得函数f（x）＝cx2﹣x﹣a=﹣x2﹣x+2，是开口向下，对称轴为的二次函数，故选：C.5．已知a，b为互不相等的正实数，则下列四个数中最大的数是()∴下列四个数中最大的数是故选：B.6．已知集合M＝{x|x2﹣3x+2＝0}，N＝{x|x2﹣ax+3a﹣5＝0}，若M∪N＝M，则实数a的取值集合是A.∅B．{2}C．{a|2＜a＜10}D．{a|2≤a＜10}【解答】解：方程x2﹣3x+2＝0的根为x＝1或x＝2，即M＝{1，2}，若M∪N＝M，则N⊆M，当N=∅时，有Δ=a2﹣4（3a﹣5）＜0，解得2＜a＜10；当时，有5=2，方程组无解；综上可得，实数a的取值集合为{a|2≤a＜10}.故选：D.7．手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”，它是手机外观设计中一个重要参数，其值通常在（0，1）之间．设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新的手机外观，则该手机“屏占比”和升级前比有什么变化()【解答】解：设原来手机屏幕面积为b，整机面积为a，则屏占比设手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量为m（0＜m＜1升级后屏占比即该手机“屏占比”和升级前比变大.故选：C.8．已知命题p：∃x∈[1，3]，x2﹣ax+4＜0是真命题，则p的一个必要不充分条件是()A．a＜5B．a＞3C．a＜4D．a＞4【解答】解：因为∃x∈[1，3]，x2﹣ax+4＜0，所以当时，a＞min，因为当且仅当即x＝2时，等号成立，所以a＞4是p的充要条件，因为a＞4⇒a＞3，但a＞3不能推出a＞4，所以a＞3是p的一个必要不充分条件，故选：B.二、多选题（多选）9．已知a＞b，c＞d＞0，则()A．a﹣d＞b﹣cB．ac＞bdC．ac2＞bc2D.【解答】解：对于A，由已知条件得a＞b且﹣d＞﹣c，相加得a﹣d＞b﹣c，故A正确，对于B，当a=﹣1，b=﹣2，c＝2，d＝1时ac＞bd不成立，故B错误，对于C，因为a＞b，c2＞0，所以ac2＞bc2，故C正确，abac−bdab对于，当a=﹣1，b=﹣2，c＝2，d＝1时d＞c不成立，故abac−bdab（多选）10．若关于x的不等式x2﹣2x+m≤0的解集中恰有3个整数，则实数m的取值可以是()【解答】解：函数f（x）＝x2﹣2x+m，图像抛物线开口向上，对称轴方程为x＝1，当x＝1时，f（x）取最小值，不等式x2﹣2x+m≤0的解集中恰有3个整数，这3个整数为0，1，2，所以2+m＞0，解得﹣3＜m≤0，实数m的取值范围是(﹣3，0].故选：BC.（多选）11．已知a，b为正实数，且ab+2a+b＝16，则()A．ab的最大值为8B．2a+b的最小值为8C．a+b的最小值为63−3D．+的最小值为【解答】解：对于A，因为16=ab+2a+b≥ab+22ab，当且仅当2a＝b时取等号，即ab+22ab−16≤0，当且仅当2a＝b时取等号，解得−42≤ab≤22，当且仅当2a＝b时取等号，又因为a，b为正实数，所以0＜ab≤8，故ab的最大值为8，当且仅当2a＝b时取等号，故选项A正确；对于B，由16＝ab+2a+b得：b=当且仅当，即a＝2时取等号，此时取得最小值8，故选项B正确；当且仅当a+1=，即a=3时取等号，故选项C不正确；当且仅当a+1＝b+2时取等号，此时取得最小值，故选项D正确.故选：ABD.三、填空题12．已知集合A＝{1}，集合B＝{x∈N|x＜3}，则满足关系A⊆P⊆B的所有集合P为{1}，{0，1}，{1，【解答】解：∵集合B＝{x∈N|x＜3}，若集合A＝{1}，且A⊆P⊆B，13．对班级40名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成，另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A、B都赞成的学生有18人.【解答】解：赞成A的人数是=24人，赞成B的人数为24+3＝27人，设对A、B都赞成的学生数为x，则对A、B都不赞成的学生数为，设40名学生组成的集合为U，赞成A的学生全体为集合A，赞成集合B的学生全体为集合B，作出韦恩图得：由韦恩图得x+1+24−x+x+27−x=40，解得x＝18.故答案为：18.14．正实数a、b满足：a2﹣b2＝2，且则的取值范围为（0，1实数c的最小值为2.解：令0有a2﹣a2•t2＝2，则a2=得到1﹣t2＞0，解得0＜t＜1，所以的取值范围为（0，1t2+2t+，t∈（0，1设二次函数根据二次函数性质可知＜y＜2，故＜2，所以c≥2，即实数c的最小值为2.故答案为0，12.四、解答题（1）若A∩B≠∅,求实数a的取值范围；（2）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围.【解答】解1）不等式<−1，即＜0，解得2＜x＜3，所以A＝{x|2＜x不等式恒成立，所以a2+2＞a，故解集为{x|a＜x＜a2+2}，即B＝{x|a＜x＜a2+2}，若A∩B=∅,则有a≥3或a2+2≤2，解得解集为M＝{a|a＝0或a≥3}，因为A∩B≠∅,所以a的取值范围是∁UM＝{a|a＜0或0＜a＜3}.（2）由q是p的必要条件，可得p⇒q，所以A⊆B，A＝{x|2＜x＜3}，B＝{x|a＜x＜a2+2}，所以≥3，解得a≤﹣1或1≤a≤2，16．根据要求完成下列问题：（1）解关于x的不等式（m+1）x2﹣2mx+m﹣1≥0（m∈R（2）若不等式（m+1）x2﹣（m﹣1）x+m﹣1≥0（m∈R）对任意恒成立，求实数m的取值范围.【解答】解1）因为（m+1）x2﹣2mx+m﹣1≥0，当m+1＝0时，即m=﹣1时，原不等式可化为2x﹣2≥0，解得x≥1，所以原不等式的解集为[1，+∞);当m+1≠0时，即m=﹣1时，原不等式可化为[（m+1）x﹣（m﹣1）]（x﹣1）≥0，当m+1＞0时，即m1时，因为所以原不等式的解集为当m+1＜0时，即m<﹣1时，因为所以原不等式的解集为[1，；（2）因为（m+1）x2﹣（m﹣1）x+m﹣1≥0，即m•（x2﹣x+1）≥﹣x2﹣x+1，因为x2−x+1=＞0恒成立，所以所以m≥−1+−1对于一切t∈恒成立，因为t+≥2，当且仅当t＝1时取等号，所以max=1，所以m≥1，且仅当x＝0时取等号，即实数m的取值范围为[1，+∞).17．要在墙上开一个上半部为半圆形、下部为矩形的窗户（如图所示在窗框为定长的条件下，要使窗户能够透过最多的光线，窗户应设计成怎样的尺寸？【解答】解：∵窗框的用料是am，∴假设AD＝2x，AB=∴窗子的面积为：S＝2x•πx2＝x2+ax，当时，此时面积最大，窗户能够透过最多的光线.∴半圆直径与矩形的高的比为2：1，窗户能够透过最多的光线.18．如图，铁路线上AB段长100千米，工厂C到铁路的距离CA为20千米．现要在AB上某一点D处，向C修一条公路，已知铁路每吨千米的运费与公路每吨千米的运费之比为3：5．为了使原料从供应站B运到工厂C的运费最少，D点应选在何处？【解答】解设|DA|＝x（千米铁路吨千米运费为3a，公路吨千米运费为5a，从B到C的总运费为y，则依题意，得y=3a(100−x)+5a400+x2，x∈(0，100).平方，整理得16x2﹣6tx+10000﹣t2＝0由Δ=36t2﹣4×16（10000﹣t2）≥0，得|t|≥80.将t＝80代入方程（1解得x＝15，这时t最小，y最小.即当D点选在距A点15千米处时，总运费最省.19．根据要求完成下列问题：（1）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，集合B＝{x|x2+2x﹣8＞0}，集合C＝{x|x2﹣4tx+3t2<0}，且（A∩B）⊆C，求实数t的取值范围；（2）关于x的二次方程x2+（m﹣1）x+1＝0在区间[0，2]内有实数解，求实数m的取值范围.【解答】解1）A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|（x+2x﹣30}＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|x2+2x﹣8＞0}＝{x|（x+4x﹣20}＝{x|x<﹣4或x＞2}，则A∩B＝{x|2＜x＜3}；C＝{x|x2﹣4tx+3t2＜0}＝{x|（x﹣tx﹣3t0}，因为（A∩B）⊆C，当t＝0时，C=∅,不合题意，舍去；当t＜0时，C＝{x|3t＜x＜t}，不合题意，舍去；当t＞0时，C＝{x|t＜x＜3t}，由（A∩B）⊆C可得{x|t≤2且3t≥3，解得1≤t≤2，综上所述，实数t的取值范围为{t|1≤t≤2}；（2）设函数f（x）＝x2+（m﹣1）x+1，①若x2+（m﹣1）x+1＝0有唯一实数解时，Δ=（m﹣1）2﹣4＝0，即m2﹣2m﹣3m﹣3m+10，解得m=﹣1或m＝3，当m=﹣1时，原方程可化为x2﹣2x+1x﹣1）2＝0，解得x＝1，符合题意；当m＝3时，原不等式可化为x2+2x+1x+1）2＝0，解得x=﹣1，不合题意舍去，②若x2+（m﹣1）x+1＝0有两个不相等的实数解