9.4 抛物线（精讲）（教师版）

9.4抛物线（精讲）一．抛物线的概念(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹．(2)焦点：点F叫做抛物线的焦点．(3)准线：直线l叫做抛物线的准线．2.抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O(0，0)对称轴y＝0x＝0焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))离心率e＝1准线方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下一．抛物线的定义及标准方程1.由抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可相互转化．2.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．二．与抛物线有关的最值问题1.将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决．2.将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．三．常用的结论1．与焦点弦有关的常用结论如图，倾斜角为θ的直线AB与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，F为抛物线的焦点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则有(1)x1·x2＝eq\f(p2,4).(2)y1·y2＝－p2.(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α是直线AB的倾斜角).(4)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)为定值(F是抛物线的焦点).（5）以弦AB为直径的圆与准线相切；以AF或BF为直径的圆与y轴相切．（6）．若A，B为抛物线y2＝2px(p＞0)上两点，且OA⊥OB，则直线AB过定点(2p，0)．考点一抛物线的定义及标准方程【例1-1】（2023秋·北京丰台·高三北京丰台二中开学考试）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为3，则（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【解析】如下图所示：

根据题意可得抛物线的准线方程为，若到直线的距离为，则到抛物线的准线的距离为，利用抛物线定义可知.故选：A【例1-2】（2023·新疆·统考三模）已知抛物线上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意抛物线上任意一点到焦点F的距离与它到直线的距离相，因此，，抛物线方程为．故选：C．【一隅三反】1．（2023秋·福建福州·高三统考开学考试）已知点在抛物线C：上，则P到C的准线的距离为（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】抛物线的准线为，将代入得，故P到准线的距离为2，故选：C．2．（2023秋·山东青岛·高三统考开学考试）设抛物线：的焦点为，在上，，则的方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】抛物线的开口向上，由于在上，且，根据抛物线的定义可知，所以抛物线的方程为.故选：A3．（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知点是抛物线C：的焦点，点M在抛物线C上，点，且，则点M到y轴的距离为（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【解析】因为点是抛物线C：的焦点，所以，．又因为，所以，设，则，所以，故点M到y轴的距离为8．故选：B

考点二抛物线有关的最值问题【例2-1】（2023·四川成都·校联考二模）已知点是抛物线的焦点，点，且点为抛物线上任意一点，则的最小值为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】因为点是抛物线的焦点，所以，解得，所以抛物线的方程为：．由抛物线的定义知：点到点的距离等于点到准线的距离，结合点与抛物线的位置关系可知，的最小值是点到准线的距离，故的最小值为7．故选：C.

【例2-2】（2022秋·广东东莞·高三校考阶段练习）抛物线的顶点为原点，焦点为，则点到抛物线上动点的距离最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】抛物线的焦点为，所以抛物线的方程为，且，所以抛物线的方程为，设，则，所以当时，取得最小值为.故选：B【一隅三反】1．（2023·全国·专题练习）已知抛物线的焦点为F，点P在C上，若点，则周长的最小值为（

）．A．13 B．12 C．10 D．8【答案】A【解析】，故,记抛物线的准线为，则：，记点到的距离为，点到的距离为，则.故选：A.

2．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知抛物线，圆，P为E上一点，Q为C上一点，则的最小值为（

）A．2 B． C． D．3【答案】B【解析】由题意知,设，则,所以当时,，又因为圆的半径为1，所以.故选：B.

3．（2023春·四川南充）已知是抛物线上的一个动点，则点到直线和的距离之和的最小值是（

）A．3 B．4 C． D．6【答案】B【解析】由消去得，因为，所以方程无解，即直线与抛物线无交点；过点作于点，于点，记抛物线的焦点为，连接，因为点到直线的距离为,为抛物线的准线，根据抛物的定义可得，，则到直线和的距离之和为，若，，三点不共线，则有，当，，三点共线，且位于之间时，，则，又，所以，即所求距离和的最小值为.故选：.4．（2023·广东深圳·深圳中学校考模拟预测）已知为抛物线的焦点，直线与交于，两点，则的最小值是（

）A．10 B．9 C．8 D．5【答案】B【解析】设，，联立得，则.所以.当且仅当，即，时，上式取等号，故.故选：B考点三直线与抛物线的位置关系【例3-1】（2023秋·课时练习）（多选）已知直线l过定点，则与抛物线有且只有一个公共点的直线l的方程为（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】（1）当过点的直线l的斜率存在时，设其方程为，由方程组消去y得，①若，则，解得，此时直线与抛物线只有一个交点，直线l的方程为，A正确；②若，令，解得，此时直线与抛物线相切，只有一个交点，直线l的方程为，即，B正确.（2）当过点的直线l的斜率不存在时，方程为，与抛物线相切，只有一个交点，C正确．综上，直线l的方程为，或.故选：ABC.

【一隅三反】1．（2023秋·课时练习）已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（

）A．相交 B．相切C．相离 D．相交或相切【答案】D【解析】直线与抛物线的对称轴平行或与抛物线相切时有一个公共点，所以D选项正确.故选：D2．（2023秋·课时练习）（多选）设抛物线的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率可以是（）A． B．C．1 D．2【答案】BC【解析】抛物线的准线与x轴交于点Q，

准线为，Q点的坐标，又直线l过点Q，且斜率必存在，可设l：，联立，可得，当时，得，即交点为，当时，由得，即，解得，或，综上，k的取值范围是．故选：BC.3．（2023秋课时练习）过点与抛物线只有一个公共点的直线有条．【答案】3【解析】①当斜率不存在时，过点的直线为y轴，显然符合题意．②当斜率存在时，设直线方程为．联立得，当时，解得，此时方程有唯一实数解，符合题意；当时，由解得，此时方程有唯一实数解，符合题意．综上共有3条直线．故答案为：3

4．（2023秋云南）已知抛物线方程为，若过点的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是.【答案】【解析】依题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，由消去并化简得①，当时，①可化为，此时，即直线与抛物线相交于.当时，由于①有解，所以，即，解得且.综上所述，直线l的斜率的取值范围是.故答案为：考点四弦长【例4-1】（2023·北京大兴·校考三模）已知抛物线顶点在原点，焦点为，过作直线交抛物线于、两点，若线段的中点横坐标为2，则线段的长为【答案】6【解析】是抛物线的焦点，准线方程，设，线段的中点横坐标为2,.，线段的长为6.故答案为：6.【例4-2】（2023秋·辽宁鞍山·高三统考阶段练习）（多选）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于、两点，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则弦最短长度为4C．存在以为直径的圆与相交D．若直线，且点在轴的上方，则【答案】BD【解析】对于A，若，则，故，故A错误，对于B，若，则，则抛物线方程为，设过点的直线方程为，联立其与抛物线的方程可得，设，则故，故当时，此时弦最短长度为4，故B正确，对于C，设的中点为，设过点的直线方程为，联立其与抛物线的方程可得，设，因为，故，则点到准线的距离为，而，故以为直径的圆与相切，故C错误，对于D，联立与抛物线方程可得，解得或，由于点在轴的上方，所以故，又，则，所以，D正确，故选：BD

【一隅三反】1．（2023·湖南郴州·安仁县第一中学校联考模拟预测）经过抛物线的焦点，作斜率为的直线与抛物线交于两点，若，则（

）A． B．或3 C．或2 D．3【答案】C【解析】由题意可知直线的方程为，由，可得，解得或，或者.

故选：C.2．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）（多选）已知A，B是抛物线：上两动点，为抛物线的焦点，则（

）A．直线AB过焦点F时，最小值为4B．直线AB过焦点F且倾斜角为时，C．若AB中点M的横坐标为2，则最大值为5D．【答案】BC【解析】对于A项，过点分别作准线的垂线，垂足分别为，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，准线与轴的交点为，设直线的倾斜角为，画图为：

根据抛物线的定义：，从图可知，，，在中，，所以，同理，则，故当时，故最小值为，此时垂直于轴，所以A不正确；对于B项，由A可知，，故B正确；对于C项，，当且仅当直线过焦点时等号成立，所以最大值为5，故C正确；当直线过焦点时，，当直线不过焦点时，不是定值，举例当时，此时，，即，，，故D错误；故选：BC.3．（2023·江西九江·统考一模）已知点分别是抛物线和圆上的动点，点到直线的距离为，则的最小值为．【答案】【解析】如图所示：

由圆的标准方程为可知圆心，半径为，抛物线的焦点为，准线方程为，由抛物线定义可知，圆外一点到圆上点的距离满足，即；所以，当且仅当三点共线时，等号成立；即的最小值为．故答案为：考点五直线与抛物线的综合问题【例5】（2023秋·湖南·高三临澧县第一中学校联考开学考试）已知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为，且．(1)求的值；(2)若直线l与交于M，N两点，与交于P，Q两点，M，P在第一象限，N，Q在第四象限，且，证明：为定值．【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）由题意知，，所以，解得．（2）由（1）知，．设直线，，，，，根据题意结合图形可知，且．联立，得，则，同理联立，得，则．由可得，，又，，所以，即，化简得，即，又因为，，所以，再由，得．联立，解得，所以，，．故，所以为定值.【一隅三反】1．（2023秋·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）直角坐标系中，已知动点到定点的距离比动点到定直线的距离小1，记动点的轨迹为.(1)求轨迹的方程；(2)点是曲线上位于直线的上方的点，过点作曲线的切线交于点，若，证明：为定值.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）由题意，动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，满足抛物线定义，则，得，则的方程为；（2）设，则，，则.即，

由，有，过点的切线的斜率为，则切线的方程为，同理切线的方程为，联立方程组解得，由点是曲线上位于直线的上方的点，可知，则，，则代入，得，即为定值.2．（2023秋·广东深圳·高三校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，点在上，．(1)求；(2)过点作直线，与交于，两点，关于轴的对称点为．判断直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理出．【答案】(1)(2)过定点【解析】（1）因为点在上，所以①，因为，所以由焦半径公式得②，由①②解得（负值舍去），所以.（2）由（1）知抛物线的方程为，依题意直线的斜率存在，设直线的方程为，，，则，由消去得，，则，所以，，所以，则直线的方程为，即，即，即，令，可得，所以直线恒过定点.

3．（2023·全