专题3.4 二次函数与幂函数（解析版）

专题3.4二次函数与幂函数题型一二次函数的图象题型二二次函数的单调性题型三二次函数在区间上的最值问题题型四二次函数恒成立问题题型五幂函数的定义题型六判断幂函数的图象题型七根据幂函数的单调性比较大小题型八根据幂函数的单调性求参数题型九根据幂函数的单调性解不等式题型一 二次函数的图象例1．（2023春·河南南阳·高二校考阶段练习）已知a，b，c成等比数列，则二次函数的图像与x轴的交点个数是___________.【答案】1【分析】根据题意有，再借助二次函数的判别式判断交点个数【详解】a，b，c成等比数列,则，，则二次函数的图像与x轴有1个交点，故答案为：1.例2．（2021秋·上海徐汇·高三上海市第二中学校考阶段练习）二次函数的图像如图所示，则下列结论中正确的个数是____．（1）异号；（2）当和时，函数值相等；（3）；（4）当时，的取值只能为0.【答案】3【分析】根据二次函数的图象得到对称轴即可结合二次函数的性质求解.【详解】根据图象可知：是二次函数与的两个交点，所以可得对称轴方程为，故对称轴为，故异号且，（1）（3）正确；因为对称轴为，故当和时，函数值相等，当时，的取值为0和4，故（2）正确，（4）错误；故正确的个数是3.故答案为：3.练习1．（2022秋·辽宁·高三校联考阶段练习）若二次函数的图像如图所示，则一元二次不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据图像求得，进而求得一元二次不等式的解集.【详解】由图像可得当时，，所以二次函数，由于二次函数图像过点，所以，解得，所以一元二次不等式，即的解集为.故选：C练习2．（2022秋·四川遂宁·高三遂宁中学校考期中）若函数恒满足对称，则实数m的取值为______【答案】【详解】根据确定函数图象的对称轴，结合二次函数对称轴方程即可求得答案.函数恒满足对称，则图象关于直线对称，则，故答案为：练习3．（2022秋·江苏宿迁·高三校考阶段练习）（多选）二次函数的图像恒在轴上方的一个必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】先由二次函数图象性质得出图像恒在轴上方的充要条件，再根据必要条件定义即可求.【详解】二次函数的图像恒在轴上方的充要条件为，又，所以必要条件为、.故选：BD练习4．（2020秋·浙江温州·高三校考阶段练习）已知，且是方程的两根，则大小关系可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意画出函数图象，根据函数图象即可得答案.【详解】，由题意得，，而，借助图象可知，的大小关系可能是，故选：D.练习5．（2022秋·安徽合肥·高三中国科技大学附属中学校考阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则（

）A． B．6 C． D．3【答案】C【分析】由图可得方程的两根为2和4，利用根与系数的关系结合列式求得的值，则答案可求.【详解】由直线，，知，又由二次函数的对称性和图象知顶点为，所以，解得，由得，，则．故选：C.题型二 二次函数的单调性例3．（2021秋·江苏苏州·高三统考期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，利用二次函数的单调性可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围.【详解】当时，函数在上单调递增，合乎题意；当时，则二次函数图象的对称轴方程为，若函数在上单调递增，则，解得.综上所述，实数的取值范围是.故选：B.例4．（2022秋·江西宜春·高一校考阶段练习）设是定义在上偶函数，则在区间上是（

）A．增函数 B．减函数 C．先增后减函数 D．与，有关，不能确定【答案】B【分析】根据偶函数的特点解出，然后根据二次函数的图像和性质进行判断即可.【详解】是定义在上偶函数，∴定义域关于原点对称，即，∴，则，由，即，解得，∴，函数图像抛物线开口向下，对称轴为，则函数在区间上是减函数．故选：B．练习6．（2022·全国·高三专题练习）若函数在区间单调递减，则实数的取值范围为__．【答案】【分析】根据一元二次函数单调性，结合条件，可知，然后求出的取值范围即可.【详解】易知二次函数的单调递减区间为，又因为函数在区间单调递减，所以，即，解得.故答案为：.练习7．（2022秋·海南·高三嘉积中学校考期中）已知在上为减函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由一次函数、二次函数的性质及分段函数的单调性列不等式组求参数范围.【详解】由在上递减，要使在R上递减，所以，可得.故选：B练习8．（2023秋·吉林·高三吉林市田家炳高级中学校考期末）已知函数在区间上是单调函数，则实数k的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据二次函数的性质可得或，解出即可得出实数k的取值范围.【详解】函数的对称轴为.若函数在区间上单调递减，则应有，所以；若函数在区间上单调递增，则应有，所以.综上所述，实数k的取值范围是或.故选：C.练习9．（2022秋·江苏连云港·高三统考期中）（多选）已知函数，则（

）A．是上的偶函数 B．是上的偶函数C．在区间上单调递减 D．当时，的最大值是4【答案】BCD【分析】由条件求出函数的解析式，根据偶函数的定义判断A，根据二次函数的性质判断函数的单调性，判断C，求函数在上的值域，判断D，根据偶函数的定义判断函数的奇偶性.【详解】因为，将变换为可得，因为，，，所以函数不是上的偶函数，A错误；因为，由二次函数性质可得函数在区间上单调递减，C正确；由，可得，所以，所以当时，，所以函数在上的最大值是4，D正确，设，则，所以，所以函数是上的偶函数，B正确；故选：BCD.练习10．（2023春·广西南宁·高三校考开学考试）函数的单调减区间为______；【答案】【分析】先求解原函数的定义域，然后根据复合函数单调性分析求解即可.【详解】解：令，则可以看作是由与复合而成的函数.令，得或.易知在上是减函数，在上是增函数，而在上是增函数，所以的单调递减区间为.故答案为：.题型三 二次函数在区间上的最值问题例5．（2022·高三单元测试）已知函数R)．当时，设的最大值为，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题设在上递增，在上递减，讨论m与区间的位置关系求的最大值，进而判断最大值的最小值.【详解】由，故在上递增，在上递减，当，则上递减，故最大值，当，则最大值，当，则上递增，故最大值，综上，的最小值为.故选：C例6．（2023·全国·高一专题练习）函数在区间上的最大值为．求的解析式；【答案】【分析】首先求函数的对称轴，再讨论对称轴和定义域端点的关系，再结合函数的单调性求函数的最大值，即可求解.【详解】当，即时，在区间上为增函数，当，即时，；当时，在区间上为减函数，综上所述，.练习11．（2023秋·河北承德·高三统考期末）已知函数的最大值为0，关于的不等式的解集为，则______，的值为______.【答案】【分析】由题知，根据二次函数在对称轴处取得最大值即可化简求出；根据不等式的解集为，可得的解集为，然后利用韦达定理表示出，再利用即可出结果.【详解】因为函数的最大值为0，所以当时，函数有最大值，即，化简得出.不等式的解集为，即的解集为，设方程的两根为，则，所以，即，即，所以.故答案为：；.练习12．（2022秋·河北沧州·高三统考期中）（多选）已知函数则（

）A．为偶函数 B．在区间上单调递减C．的最大值为 D．的最小值为【答案】BCD【分析】作出在区间上的图象逐项判断.【详解】解：作出在区间上的大致图象如图所示：的定义域不关于原点对称，不是偶函数，故A错误；由图象可知，在区间上单调递减，故B正确；当或时，，当时，，故正确.故选：BCD练习13．（2021秋·广东云浮·高三统考期末）（多选）若函数满足，，则（

）A． B．C．图像的对称轴是直线 D．的最小值为【答案】ABD【分析】根据已知求出，再利用二次函数的性质判断得解.【详解】由题得，即，解得，所以.对于A项，因为，故A正确；对于B项，因为，故B正确；对于C项，因为的对称轴为，故C项错误；对于D项，因为，所以的最小值为，故D项正确.故选：ABD.练习14．（2023秋·江苏淮安·高三淮阴中学校考期末）已知函数的值域为，则函数定义域可能为（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】利用函数的奇偶性，以及单调性，分别判断每个选项，可得答案.【详解】由于为偶函数，其图象如图示：故当时，，则；当时，此时递增，则；当时，此时递减，，当时，，故函数的值域为，则函数定义域可能为，，故选：练习15．（2023·全国·高三专题练习）设二次函数在上有最大值，最大值为，当取最小值时，（

）A．0 B．1 C． D．【答案】A【分析】根据二次函数的性质求出，然后利用基本不等式即得.【详解】在上有最大值，且当时，的最大值为，即且，当且仅当时，即时，有最小值2，故选：A．题型四 二次函数恒成立问题例7．（2019秋·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）若命题“，”是真命题，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分离参数，将问题转化为，恒成立，结合基本不等式求解最值即可得解.【详解】若命题“，”是真命题，则，，即恒成立，，当且仅当时等号成立，∴，即实数的取值范围是.故选：C．【点睛】此题考查根据全称命题的真假求参数的取值范围，利用分离参数，将问题转化为求函数最值求解范围，需要注意等价变形.例8．（2022秋·广东广州·高三广东实验中学越秀学校校考期中）已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可知，命题“，”是真命题，分和两种情况讨论，结合参变量分离法可求得实数的取值范围.【详解】由题意可知，命题“，”是真命题.当时，则有，不合乎题意；当时，由，可得，则有，，当且仅当时，等号成立，所以，.综上所述，实数的取值范围是.故选：C.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.练习16．（2023·全国·高三专题练习）p：，为真命题的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题设命题为真，结合不等式恒成立求参数a的范围，再由充分、必要性的定义确定充分不必要条件.【详解】由题设命题为真，即在上恒成立，所以，故A为充分不必要条件，B为充要条件，CD必要不充分条件.故选：A练习17．（2020秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）“，”是真命题，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题意确定，根据全称命题的真假，可得，即可求得答案.【详解】由题意知，，故“，”是真命题，则，则，故选：A练习18．（2023秋·湖南衡阳·高三统考期末）命题p：，的否定为___________；使命题p成立的一个x的值为___________．【答案】，【分析】由特称命题的否定为全称命题得第一空的答案；验证时，命题p成立，即得第二空答案.【详解】解：因为命题p：，，所以命题p：，；当时，成立，所以命题p成立的一个x的值为1.故答案为：，，1.练习19．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）若命题“”为假命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意，写出全称命题的否定，根据其真假性以及一元二次方程的性质，可得答案.【详解】命题“”为假命题，”是真命题，方程有实数根，则，解得，故选：A.练习20．（2023·全国·高三专题练习）若“，”是假命题，则实数的取值范围是______．【答案】【分析】求出给定命题的否定，再由所得命题为真命题，求解作答.【详解】命题“，”的否定是：，，依题意，命题“，”为真命题，当时，成立，则，当时，不等式恒成立，则，解得，综上得：，所以实数的取值范围是.故答案为：题型五 幂函数的定义例9．（2021秋·高三课时练习）下列函数为幂函数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据幂函数的定义即可求解.【详解】由幂函数的定义可知：是幂函数，，和的系数不为1，故不是幂函数，故选：D例10．（2023春·辽宁本溪·高三校考阶段练习）若幂函数在区间上单调递增，则（

）A． B．3 C．或3 D．1或【答案】A【分析】根据幂函数的概念和单调性可求出结果.【详解】因为函数为幂函数，且在区间上单调递增，所以且，由，得或，当时，，满足题意；当时，足，不符合题意.综上.故选：A.练习21．（2022秋·高三单元测试）（多选）已知函数为幂函数，则实数的可能性取值为（

）A．1 B．-2 C．3 D．-4【答案】AD【分析】根据幂函数定义得到方程，求出实数，检验后得到答案.【详解】由题意得，解得或，当时，，当时，，均满足要求.故选：AD练习22．（2023春·湖北宜昌·高三校联考期中）已知点在幂函数的图象上，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据幂函数的定义求出a，将已知点的坐标代入解析式即可求解.【详解】函数是幂函数，，即点在幂函数的图象上，2，即，故.故选：D.练习23．（2023春·安徽·高一合肥市第八中学校联考开学考试）已知幂函数的图象过点，且，则的取值范围是______.【答案】【分析】设幂函数，将点代入求出的值，再利用幂函数的单调性求解即可.【详解】设幂函数，，因为幂函数的图象过点，所以，解得，所以，的定义域为，且在上单调递减，因为，所以，解得，故答案为：练习24．（2023春·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）已知幂函数的图像过点，则的值为___________．【答案】【分析】设幂函数为，代入点计算，从而得函数解析式，再代入计算即可.【详解】设幂函数为，由题意，，解得，所以幂函数解析式为，所以.故答案为：练习25．（2022秋·黑龙江大庆·高三大庆中学校考期中）函数是幂函数，且在上单调递增，则（

）A． B．C．或 D．或【答案】B【分析】由幂函数的性质得出解析式，再求函数值.【详解】由题意可知，，解得，.故选：B题型六 判断幂函数的图象例11．（2023·山东临沂·高三校考期末）下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是（

）A．①，②，③，④B．①，②，③，④C．①，②，③，④D．①，②，③，④【答案】A【分析】根据幂函数的图像特征，对照四个选项一一验证，即可得到答案.【详解】函数为奇函数且定义域为R，该函数图像应与①对应；函数，且该函数是偶函数，其图像关于y轴对称，该函数图像应与②对应；的定义域、值域都是，该函数图像应与③对应；，其图像应与④对应．故选：A．例12．（2023秋·湖北·高三校联考期末）（多选）下列关于幂函数说法不正确的是（

）A．一定是单调函数 B．可能是非奇非偶函数C．图像必过点 D．图像不会位于第三象限【答案】AD【分析】根据幂函数随着变化的图像与性质，即可判断正误.【详解】幂函数的解析式为.当时，，此函数先单调递减再单调递增，则都是单调函数不成立，A选项错误；当时，，定义域为，此函数为偶函数，当时，，定义域为，此函数为非奇非偶函数，所以可能是非奇非偶函数，B选项正确；当时，无论取何值，都有，图像必过点，C选项正确；当时，图像经过一三象限，D选项错误.故选：AD.练习26．（2019·全国·高三专题练习）对于函数y＝x2，y＝x有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增；③它们的图像关于直线y＝x对称；④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；⑥两个函数的图像都是抛物线型．其中正确的有________．【答案】①②⑤⑥【分析】根据幂函数的图像和性质可以得到①②⑤⑥都是正确的，因为的函数图像关于对称后得到的图形的方程是，所以该图形不是函数的图像，而且也不是偶函数，故可得正确结论的序号．【详解】幂函数的一般的形式是，故和都是幂函数，且它们在是增函数，所以①②正确．的图像关于对称后的图形不是函数的图像，故③错．的定义域为，故该函数是非奇非偶函数，故④错．当时，，当时，所以两个函数的图像都经过，故⑤正确．从图像的形状上看，的图像是抛物线的一部分，故而⑥正确，所以填①②⑤⑥．【点睛】研究幂函数的性质，一般是先研究其在上的性质，然后利用函数的奇偶性讨论其在上的性质．注意当时，在是减函数，当时，在是增函数．练习27．（2023秋·上海徐汇·高三统考期末）当时，函数的图象恒过定点A，则点A的坐标为________．【答案】【分析】根据幂函数恒过定点即可求解.【详解】由于对任意的，恒经过点，所以函数的图象恒过定点,故答案为：练习28．（2021秋·青海·高二统考学业考试）如图，①②③④为选项中的四个幂函数的图象，其中①对应的幂函数可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由幂函数的图像性质可得①对应的幂函数可能是.【详解】由幂函数的图像性质可得，选项中的四个幂函数的图象①②③④分别对应的解析式依次为：，，，.则其中①对应的幂函数可能是.故选：B练习29．（2022春·浙江·高二统考学业考试）（多选）图象经过第三象限的函数是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】结合常见的幂函数图象，数形结合得到答案.【详解】由幂函数的图象可知，A中，过第一、二象限；B中，过第一、三象限；C中，且定义域为R，过第一、二象限；D中，过第一、三象限.故选：BD练习30．（2021秋·新疆巴音郭楞·高三校考阶段练习）（多选）下列说法正确的是（

）A．若幂函数的图像经过点，则解析式为B．所有幂函数的图象均过点C．幂函数一定具有奇偶性D．任何幂函数的图象都不经过第四象限【答案】AD【解析】根据幂函数的解析式，研究幂函数的性质，依次分析，得到结果.【详解】若幂函数的图象经过点，则解析式为，所以A正确；函数的图象不经过点，所以B不正确；为奇函数，是偶函数，是非奇非偶函数，所以幂函数不一定具有奇偶性，所以C不正确；因为对于幂函数，当时，一定成立，所以任何幂函数的图象都不经过第四象限，所以D正确；故选：AD.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关幂函数的问题，解题方法如下：（1）明确幂函数的解析式的形式，利用待定系数法求得函数解析式，对命题判断正误；（2）明确随着幂指数的变化，图象走向以及函数的定义域要明确，进而清楚函数的奇偶性以及图象所过的象限，从而判断命题的正误.题型七 根据幂函数的单调性比较大小例13．（2021春·陕西延安·高二校考期末）已知，下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用不等式的性质结合对数函数、幂函数的性质求解.【详解】若，则，A错误；因为，所以，所以，B错误；若，则，C错误；因为幂函数在单调递增，所以时一定有，D正确，故选:D.例14．（2023·浙江·高三专题练习）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用中间值比较a,b的大小，再让b，c与中间值比较，判断b,c的大小，即可得解.【详解】，又因为通过计算知，所以，即，又，所以，所以.故选：B练习31．（2021秋·上海黄浦·高三上海市大同中学校考期中）若，则下列不等关系中，不能成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】采用作差法可判断AD;举反练习可判断B;根据函数的单调性判断C【详解】对于选项：因为，则，所以，故选项正确；对于选项：取，满足，但，故选项错误；对于选项：因为函数为单调增函数，所以时，，故选项正确；对于选项：因为，所以，故选项正确．故选：．练习32．（2021秋·河南新乡·高三校考阶段练习）若，则下列不等式①，②，③，④中，正确的有（

）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】由判断出①正确；结合的单调性得到②错误；作差法得出③正确；由的单调性得到④错误.【详解】因为，所以，故，①正确；因为在R上单调递增，且，所以，②错误；因为，所以，且，故，③正确；当时，在上单调递减，所以，④错误.故选：B练习33．（2022秋·广东佛山·高三佛山市荣山中学校考期中）（多选）若，则（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】函数的单调性及不等式的性质一一判定即可.【详解】对于A项，由在上单调递增可得时，即A正确；对于B项，因为，所以，即B正确；对于C项，由于的正负不确定，故时有，即C错误；对于D项，若时，此时D错误.故选：AB练习34．（2022秋·福建龙岩·高三上杭一中校考期末）设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由指数运算得出，再由幂函数的单调性得出大小关系.【详解】因为，所以，又函数在上单调递增，所以.故选：B练习35．（2022秋·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考阶段练习）已知函数，则的大小关系为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据函数的解析式以及单调性的性质可得函数在上单调递增，再利用指数函数、幂函数、构造函数研究自变量大小关系即可．【详解】解：函数在上单调递增，函数在上单调递减，所以函数在上单调递增，因为函数在上单调递减，所以；又函数在上单调递增，所以；构造，易知在单调递增，且，，，所以，故，又因为在上递增，所以.故选：D.题型八 根据幂函数的单调性求参数例15．（2022秋·广东河源·高三校考阶段练习）幂函数在区间上单调递增，则实数m的值为______.【答案】1【详解】利用幂函数的定义求出实数m，然后利用单调性进行取舍【分析】因函数是幂函数，则，解得或，又函数在上单调递增，则，所以实数m的值为1.故答案为：1例16．（2023秋·辽宁鞍山·高三统考期末）函数是幂函数，对任意，且，满足，若，且，，则的值（

）A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断【答案】A【分析】确定函数在上单调递增，根据幂函数得到或，验证单调性得到，代入数据计算得到答案.【详解】对任意的，且，满足，函数是单调增函数，是幂函数，可得，解得或，当时，；当时，，不满足单调性，排除，故，．，，故恒成立．故选：A练习36．（2023春·湖北孝感·高三统考开学考试）已知，若幂函数为奇函数，且在上是严格减函数，则取值的集合是______．【答案】【分析】由幂函数为奇函数，且在上递减，得到是奇数，且，由此能求出的值．【详解】∵，幂函数为奇函数，且在上递减，∴是奇数，且，∴．故答案为：练习37．（2022秋·上海长宁·高三上海市延安中学校考期末）幂函数在区间上为严格减函数，则__________．【答案】2【分析】根据幂函数的定义及其图像与性质，求的值即可.【详解】因为函数是幂函数，所以，解得：或，当时，，满足函数在区间上严格减函数，当时，，不满足函数在区间上严格减函数，所以.故答案为：2.练习38．（2023秋·河南许昌·高三校考期末）已知函数是幂函数，且在上是增函数，则实数的值为______．【答案】1【分析】先由幂函数的定义可得，求出的值，再由在上是增函数，可得答案.【详解】因为函数是幂函数，则，解得或，又因为在上是增函数，所以，所以.故答案为：1练习39．（2023秋·四川内江·高三统考期末）已知在区间上是单调增函数，则a的取值范围为______.【答案】【分析】已知在区间上是单调增函数，根据单调递增的条件，列不等式组求a的取值范围.【详解】由在区间上是单调增函数，有，解得，则a的取值范围为.故答案为：练习40．（2023秋·广东深圳·高三校考期末）“”是“函数在