9.2 椭圆（精练）（教师版）

9.2椭圆（精练）1．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知离心率为的椭圆的方程为，则（

）A．2 B． C． D．3【答案】C【解析】由题意，，即，可得，则.故选：C2．（2022秋·四川绵阳·高三盐亭中学校考阶段练习）椭圆​的左、右焦点分别为​，焦距为​，若直线​与椭圆​的一个交点为​在​轴上方，满足​，则该椭圆的离心率为（

）A．​ B．​C．​ D．​【答案】A【解析】由直线可知：过定点，斜率，即，则，解得，又因为，可得，结合椭圆的定义可得，整理得.故选：A.

3．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知椭圆四个顶点构成的四边形的面积为，直线与椭圆C交于A，B两点，且线段的中点为，则椭圆C的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】设，，则，，两式作差并化简整理得，因为线段AB的中点为，所以，，所以，由，得，又因为，解得，，所以椭圆C的方程为．故选：A．4．（2023·全国·高三专题练习）椭圆的右焦点为，上顶点为，若存在直线与椭圆交于不同两点，重心为，直线的斜率取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设椭圆的半焦距为，由已知，，设，因为重心为，所以，所以，又，所以，所以，所以直线的斜率，当且仅当时等号成立，又，所以直线的斜率取值范围是，故选：B.5．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的上顶点为B，斜率为的直线l交椭圆于M，N两点，若△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，的中点为，因为都在椭圆上，所以，作差可得，即，所以，即，因为，所以，又因为为△BMN的重心，所以，所以，则，所以，整理得，即，所以，则，所以离心率.故选:A.6．（2023·贵州贵阳·校联考三模）已知椭圆，直线与椭圆交于两点，分别为椭圆的左､右两个焦点，直线与椭圆交于另一个点，则直线与的斜率乘积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】直线过原点，可设，则，；，，，.故选：B.7．（2023·全国·高二专题练习）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相输出垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆C：的离心率为，则椭圆C的蒙日圆的方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为椭圆：的离心率为，则，解得，即椭圆的方程为，于是椭圆的上顶点，右顶点，经过两点的椭圆切线方程分别为，，则两条切线的交点坐标为，显然这两条切线互相垂直，因此点在椭圆的蒙日圆上，圆心为椭圆的中心O，椭圆的蒙日圆半径，所以椭圆的蒙日圆方程为.故选：B8．（2023春·内蒙古赤峰）在椭圆上求一点，使点到直线的距离最大时，点的坐标为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】如下图所示：

根据题意可知，当点在第三象限且椭圆在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离取得最大值，可设切线方程为，联立，消去整理可得，，因为，解得，所以，椭圆在点处的切线方程为，因此，点到直线的距离的最大值为,联立，可得点的坐标为.故选：B.9．（2023秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）（多选）已知点为椭圆C：的左焦点，点P为C上的任意一点，点的坐标为，则下列正确的是（

）A．的最小值为B．的最大值为7C．的最小值为D．的最大值为1【答案】ABD【解析】依题意，，所以，的最小值，即是的长，当点在位置时取到，所以的最小值为，故A正确；设椭圆的右焦点为，所以，则当点在位置时取到最大值，所以的最大值为，故B正确；的最小值当在位置时取到，即的最小值为，故C错误；由，则当点在位置时取到最大值，所以的最大值为，故D正确.故选:ABD

10．（2023·广东·校联考模拟预测）（多选）已知椭圆的焦点在轴上，且分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，则下列结论正确的是（

）A．B．的离心率为C．存在，使得D．面积的最大值为【答案】ACD【解析】A选项，椭圆的焦点在轴上，故，解得，A正确；B选项，设，则，故的离心率为，B错误；C选项，以为直径的圆的方程为，与椭圆联立得，，整理得，因为，所以，当时，，故，满足要求，故存在，使得，C正确；D选项，因为，故当点位于上顶点或下顶点时，面积取得最大值，故最大面积为，因为，所以当时，面积取得最大值，最大值为，D正确.故选：ACD11．（2023秋·贵州铜仁·高三贵州省思南中学校考阶段练习）（多选）已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（

）A．当时，曲线C是椭圆 B．当或时，曲线C是双曲线C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则【答案】BCD【解析】对于A，当时，，则曲线是圆，A错误；对于B，当或时，，曲线是双曲线，B正确；对于C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，C正确；对于D，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，D正确．故选：BCD12．（2023秋·课时练习）（多选）以坐标轴为对称轴，两焦点的距离是，且过点的椭圆的标准方程是（

）A． B．C． D．【答案】AB【解析】椭圆的焦点在轴上，则，得，此时椭圆方程是；若焦点在轴上，则，则，此时椭圆方程是．故选：AB13．（2023秋·重庆）（多选）已知圆与圆的一个交点为M，动点M的轨迹是曲线C，则下列说法正确的是（

）A．曲线C的方程式B．曲线C的方程式C．过点且垂直于x轴的直线与曲线C相交所得弦长为D．曲线C上的点到直线的最短距离为【答案】BCD【解析】对A,B，由题意知,,所以,所以点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，且,,即,所以,所以曲线的方程为,故A错误，B正确；对C，过点,且垂直于轴的直线为,它与曲线相交于两点,所以弦长为,故C正确；对D，设与直线平行的直线，，由，得，令，解得，此时直线与椭圆相切，易得，此时切点到直线的距离距离最短，直线的方程为，此时两平行线的距离为，故曲线上的点到直线的最短距离为，故D正确.故选：BCD.14．（2022秋·福建漳州）（多选）以下四个命题表述正确的是（

）A．椭圆上的点到直线的最大距离为B．已知圆C：，点P为直线上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，AB为切点，直线AB经过定点C．曲线：与曲线：恰有三条公切线，则m＝4D．圆上存在4个点到直线l：的距离都等于1【答案】ABC【解析】对于A:设直线与椭圆相切，联立方程得：，因为直线与椭圆相切，所以，得当时，直线与距离最大，最大距离为故A正确.对于B:设点，因为AB为切点，所以，，连接，根据圆周角与圆直径关系可知，AB两点在以为直径的圆上，圆的方程为，两圆公共弦AB所在直线方程为，联立方程得，令，则故B正确.对于C:曲线：，曲线:，因为两圆有三条公切线，所以两圆外切，故，得故C正确.对于D:直线与圆相切，且与距离为1，因此圆上存在3个点到直线l：的距离都等于1故D错误.故选:ABC15．（2023秋·贵州贵阳·高三贵阳一中校考期末）已知点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且的最小值为3，则椭圆C的离心率是．【答案】【解析】由，则在椭圆内，若是椭圆左焦点，

所以，仅当共线且在之间时取等号，故，即，而且，则，故，此时，故.故答案为：16．（2023秋·四川达州·高三校考开学考试）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为.【答案】/【解析】由题意椭圆C：，M为椭圆C上任意一，N为圆E：上任意一点，

故，当且仅当共线时等号成立，故，当且仅当共线时等号成立，而，故，即的最小值为，故答案为：17．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知椭圆的上、下焦点分别为、，焦距为，与坐标轴不垂直的直线过且与椭圆交于、两点，点为线段的中点，若，则椭圆的离心率为．【答案】/【解析】因为点为线段的中点，，则，所以，为等腰直角三角形，

设，则，由椭圆的定义可得，所以，，所以，，由勾股定理可得，即，整理可得，因此，该椭圆的离心率为.故答案为：.18．（2023·江西鹰潭·统考一模），是椭圆E：的左，右焦点，点M为椭圆E上一点，点N在x轴上，满足，，则椭圆E的离心率为.【答案】【解析】因为，所以，则是的角平分线，所以，又因为，所以，设，由椭圆定义得，即，解得，则，则，所以，则，故答案为：19．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第一二二中学校校考开学考试）已知椭圆的离心率为，则椭圆的短轴长为．【答案】2【解析】题意可得，所以离心率，故，故短轴长为，故答案为：220．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知，是椭圆（）的左右焦点，是其右顶点，过点作直线轴交椭圆于，两点，若，则椭圆的离心率是．【答案】【解析】因为轴，不妨设，，又，，由得：，即，故．故答案为：.21．（2024秋·广东广州·高三华南师大附中校考开学考试）直线与圆和椭圆同时相切，请写出一条符合条件的的方程【答案】或或（只需写一条）【解析】圆的圆心坐标为，半径为，椭圆中，，它们的图象如下图：

由图可知，或与圆和椭圆同时相切，即符合条件的的方程可以为或假设公切线斜率存在且不为零时方程为，由图可知所以①由得由得②由①②解得故答案为：或或（只需写一条）22（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知为坐标原点，双曲线：（，）的左，右焦点分别为，，过左焦点作斜率为的直线与双曲线交于，两点（在第一象限），是的中点，若是等边三角形，则直线的斜率为．【答案】【解析】

设双曲线的半焦距为，，根据题意得．又，∴．在中，由余弦定理得，，即，解得，则．设，，则，，两式相减可得，所以．设，因为是线段的中点，所以，，又，所以．故答案为：.23．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，则椭圆上的一动点M到直线AB距离的最大值为．【答案】【解析】由椭圆，可得，故直线AB的方程为，与AB平行且与椭圆相切的直线可设为，代入椭圆方程整理，得，则，解得，当时，与之间的距离为；当时，与间的距离为，故椭圆上的一动点M到直线AB距离的最大值为，故答案为：24．（2022·高二课时练习）曲线上点到直线距离的最小值为．【答案】/【解析】令与相切，联立整理可得，所以，可得，当，此时与的距离，当，此时与的距离，所以曲线到直线距离的最小值为.故答案为：25．（2022秋·安徽芜湖·高二安徽师范大学附属中学校考期中）已知椭圆C：（）与x轴分别交于、点，N在椭圆上，直线，的斜率之积是．(1)求椭圆C的方程；(2)求点N到直线l：的最大距离．【答案】(1)(2)【解析】（1）由题意，设，则，，因为直线，的斜率之积是，所以．整理得椭圆方程为；（2）由（1）中结论可得，椭圆方程为，设直线，则当点N既在椭圆C上又在直线上时，此时点Ｎ到直线l有最大距离，设直线：，联立方程，得，则，解得或，因为要求点到直线l的最大距离，所以直线为，故最大距离为．

1．（2023秋·安徽·高三宿城一中校联考阶段练习）已知椭圆C：（）的左焦点为，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于A，B两点，且，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，，，过点所作直线的倾斜角为，所以该直线斜率为，所以直线方程可写为，联立方程，可得，，根据韦达定理：，，因为，即，所以，所以，即，所以，联立，可得，.故选：C2．（2023·河南·河南省内乡县高级中学校考模拟预测）A，B是椭圆上两点，线段AB的中点在直线上，则直线AB与y轴的交点的纵坐标的取值范围是（

）.A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意可知，直线AB的斜率必然存在，设直线AB的方程为，则直线AB与y轴的交点的纵坐标为m，设点，，将直线AB的方程与椭圆方程联立并化简得，，化简得，即.由韦达定理可得，所以，将等式两边平方得，所以.当且仅当时，等号成立，由于，解得或.因此，直线AB与y轴的交点的纵坐标的取值范围是.故选：A3．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆，离心率为，过的直线分别与相切于，两点，则直线方程为（

）A．或 B．C． D．或【答案】A【解析】首先证明椭圆上一点处的切线方程为：，①当切线斜率存在时,设过点的切线方程为，联立方程，得，，即，，又，把代入中，得，，化简得.②当切线斜率不存在时，过的切线方程为，满足上式.综上，椭圆上一点的切线方程为：.再证明若点是椭圆外一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，则切点弦的方程为．这是因为在，两点处，椭圆的切线方程为和．两切线都过点，所以得到了和，由这两个“同构方程”得到了直线的方程；因为椭圆，离心率为，若焦点在轴，则，，所以，所以，解得，所以椭圆，所以过作椭圆的两条切线方程，切点弦方程为；若焦点在轴，则，，所以，所以，解得，所以椭圆，所以过作椭圆的两条切线方程，切点弦方程为，即；综上可得直线方程为或.故选：A4．（2023·全国·高二专题练习）若直线l：与曲线C：有两个公共点，则实数m的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】当时，曲线C的方程为，轨迹为椭圆的右半部分；当时，曲线C的方程为，轨迹为双曲线的左半部分，其渐近线为，作出图象如下图，直线l（图中虚线）是与直线平行的直线，平行移动直线，可得直线l，如图可知，当直线l介于直线和（与l平行且与椭圆相切，切点在第一象限）之间时，直线l与曲线C有两个公共点．设的方程为，，则有，联立，消去x并整理得，由，解得或（舍），故m的取值范围为．故选：B．5．（2023·山西运城·山西省运城中学校校考二模）（多选）已知是圆上不同的两点，椭圆的右顶点和上顶点分别为，直线分别是圆的两条切线，为椭圆的离心率.下列选项正确的有（

）A．直线与椭圆相交B．直线与圆相交C．若椭圆的焦距为两直线的斜率之积为，则D．若两直线的斜率之积为，则【答案】BCD【解析】对于A中，当时，点的坐标可以为，可得直线为，即，由，整理得，此时，所以直线与椭圆无交点，所以A错误；对于B中，因为，所以，设原点到直线的距离为，由点到直线的距离公式，可得，所以直线与圆相交，所以B正确；对于C中，椭圆的焦距为，可得，即，不妨设，则直线，由原点到直线的距离等于1，可得，解得，同理可得，因为，即，解得，又由，解得，所以离心率，所以C正确；对于D中，不妨设，则,，所以，解得，所以，因为，可得，所以，所以D正确.故选：BCD.

6．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）（多选）在平面直角坐标系中，由直线上任一点向椭圆作切线，切点分别为、，点在轴的上方，则（

）A．当点的坐标为时，B．当点的坐标为时，直线的斜率为C．存在点，使得为钝角D．存在点，使得【答案】AD【解析】设点、，先证明出椭圆在其上一点处的切线方程为，由题意可得，联立可得，即，即方程组只有唯一解，因此，椭圆在其上一点处的切线方程为，同理可知，椭圆在其上一点处的切线方程为，因为点为直线上一点，设点，则有，即，所以，点、的坐标满足方程，所以，直线的方程为，对于A选项，当点的坐标为，即，此时直线的方程为，由可得，即点，此时，A对；对于B选项，当的坐标为时，即时，此时，直线的斜率为，B错；对于C选项，联立可得，，由韦达定理可得，，，同理，所以，，因此，恒为锐角，C错；对于D选项，若点为椭圆的上顶点，则轴，此时，所以，点不是椭圆的上顶点，线段的中点为，所以，，，存在点，使得，则，则，化简可得，因为，，所以，，即，因为，解得，因此，存在点，使得，D对.故选：AD.7．（2023·重庆·统考模拟预测）（多选）在平面直角坐标系中，由直线上任一点P向椭圆作切线，切点分别为A，B，点A在x轴的上方，则（

）A．恒为锐角 B．当垂直于x轴时，直线的斜率为C．的最小值为4 D．存在点P，使得【答案】ABD【解析】对于A项，设切线方程为联立得：，∵直线与椭圆相切，故则，∴切线PA的方程为，同理切线PB的方程为而P点在上，故，又满足该方程组，故，显然过定点即椭圆左焦点.以为直径的圆半径最大无限接近，但该圆与一直相离，即始终为锐角，A正确；对于B项，由A得，轴时，，易得，，故B正确；对于C项，由B知轴时，此时，故C错误；对于D项，取中点，若则，即为等腰三角形，，化简得，由A知：，整理得：，显然存在P满足题意，故D正确；故选：ABD8．（2024秋·广东广州·高三华南师大附中校考开学考试）已知椭圆的两焦点分别为，A是椭圆上一点，当时，的面积为.(1)求椭圆的方程；(2)直线与椭圆交于两点，线段的中点为，过作垂直轴的直线在第二象限交椭圆于点S，过S作椭圆的切线，的斜率为，求的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】（1）由题意得，

由椭圆定义可得，又，由余弦定理可得：，所以，又，解得，所以，故椭圆的方程为.（2）直线，设，

联立与得，所以，恒成立，所以，故，设直线为，，联立，所以，由可得，所以，则，所以得，所以，则，由于函数在上为减函数，所以函数在上为增函数，所以函数在上为减函数，所以，所以.9．（2024秋·安徽·高三合肥市第八中学校联考开学考试）已知椭圆的上顶点到右顶点的距离为，点在上，且点到右焦点距离的最大值为3，过点且不与轴垂直的直线与交于两点.(1)求的方程；(2)记为坐标原点，求面积的最大值.【答案】(1)(2)【解析】（1）由题意得，，解得，故的方程为.（2）设，直线，联立，整理得：.由得，且，，点到直线的距离，，

令，故，故，当且仅当，即时等号成立，故面积的最大值为.10．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为．(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB．【答案】(1)或．(2)证明见解析【解析】（1）由已知得，直线l的方程为x＝1．l的方程与C的方程联立可得或．∴直线AM的方程为