7.5 空间几何的外接球（精讲）（教师版）

7.5空间几何的外接球（精讲）考点一汉堡模型【例1】（2023春·重庆）设直三棱柱的所有顶点都在一个球面上，且球的表面积为，，则此直三棱柱的高是（

）A．1 B．2 C． D．4【答案】D【解析】设外接圆得圆心为，半径为，直三棱柱得高为，直三棱柱外接球得球心为，半径为，则，且平面，由正弦定理得，所以，因为，所以，所以，所以，即直三棱柱得高为.故选：D.【一隅三反】1．（2023春·安徽宣城）在三棱锥中，△ABC是边长为3的等边三角形，侧棱PA⊥平面ABC，且，则三棱锥的外接球表面积为．【答案】【解析】根据已知，底面是边长为3的等边三角形，平面，可得此三棱锥外接球，即以为底面以为高的正三棱柱的外接球．设正三棱柱的上下底面的中心分别为，则外接球的球心为的中点，的外接圆半径为，，所以球的半径为，所以四面体外接球的表面积为，故答案为：．2．（2023春·广东韶关）三棱锥中,平面,,,,则三棱锥外接球的体积是．【答案】【解析】如图,将三棱锥还原成直三棱柱,设三棱柱的外接球球心为,分别为上下底面的外心,则为的中点,为底面外接圆的半径,所以球心O到面的距离为,由正弦定理有:,所以,.故答案为:.3．（2023春·江苏扬州）已知正四棱柱中，，直线与平面所成角的正切值为2，则该正四棱柱的外接球的表面积为.【答案】【解析】连接，在正四棱柱中，平面，所以为直线与平面所成角，因为在等腰直角三角形中，，所以，在直角三角形中，，所以，，又正四棱柱的外接球的直径为，则半径.所以球的表面积为：.故答案为：考法二墙角模型【例2】（2023春·天津河北）长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意得长方体的对角线长为，又长方体的外接球的直径是长方体的对角线，所以长方体的外接球的直径，所以长方体的外接球的表面积为.故选：C【一隅三反】1．（2023春·山西朔州）长方体的长、宽、高分别为4，3，2，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设球的半径为，由于长方体的体对角线为球的直径，则，所以，因此，球的表面积为.故选：A2．（2023春·贵州黔东南）在三棱锥中，平面，则三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，在三棱锥中，平面，故将该三棱锥置于一个长方体中，如图所示，则体对角线即为外接球得直径，，故外接球的半径，所以三棱锥的外接球的表面积为.故选：B.3．（2023春·广东深圳）如图，在长方体中，四边形是边长为1的正方形，，则该长方体的外接球表面积是（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可知长方体的体对角线长为,故该长方体的外接球的半径为，该长方体的外接球表面积为，故选：D考法三斗笠模型【例3-1】（2023春·北京海淀）已知侧棱长为的正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且三个侧面两两垂直，则这个球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图可将正三棱锥放到棱长为的正方体中，则正方体的外接球即为三棱锥的外接球且正方体的外接球的直径为正方体的体对角线，设外接球的半径为，则，即，即（负值舍去），所以外接球的表面积.

故选：C【例3-2】（2023·贵州贵阳·校联考三模）已知一圆锥内接于球，圆锥的表面积是其底面面积的3倍，则圆锥与球的体积之比是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图所示，设圆锥的底面圆圆心为点，延长与球面交于.设圆锥底面半径为r，母线为l，则，得，圆锥的高设球半径为R，则中，有，即，即，，故，故选：B.

【一隅三反】1．（2023春·江西）在正四棱锥中，，若该棱锥的所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，过点作平面于点，由，得，显然球心在上，设球的半径为，则，解得，所以球的表面积，故选：C.

2．（2022·湖北武汉·高三开学考试）已知正三棱锥的各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为，则该正三棱锥体积的最大值为___________.【答案】【解析】因为，所以正三棱锥外接球半径，正三棱锥如图所示，设外接球圆心为，过向底面作垂线垂足为，因为是正三棱锥，所以是的中心，所以，,又因为，所以，所以，令，解得所以在递增，在递减，故当时，取最大值，.故答案为：.3．（2023·江西）正三棱锥P－ABC底面边长为2，M为AB的中点，且PM⊥PC，则三棱锥P－ABC外接球的体积为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由图，设，则，而，因为PM⊥PC，所以由勾股定理得即解得，由对称性可知：三棱锥P－ABC外接球的球心在三棱锥P－ABC的高PD上，假设为O点，则，因为,所以，又由于点D是三角形ABC的外心，且三角形ABC为等边三角形，所以,在三角形ODC中，由勾股定理得,即，解得，所以三棱锥P－ABC外接球的体积为.故选：C考点四L模型【例4】（2023·黑龙江大庆·统考二模）如图，边长为的正方形ABCD所在平面与矩形ABEF所在的平面垂直，，N为AF的中点，，则三棱锥外接球的表面积为（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】由可知，，，可求，，，因为平面平面ABEF，平面平面，又，平面，所以平面ABEF，平面ABEF，所以，由，，得，又，同理可得得，又，所以，所以.所以MC为外接球直径，在Rt△MBC中，即，故外接球表面积为．故选：A．【一隅三反】1．（2023春·山东枣庄）已知三棱锥底面ABC是边长为2的等边三角形，顶点S与AB边中点D的连线SD垂直于底面ABC，且，则三棱锥S－ABC外接球的表面积为（

）A． B． C．12π D．60π【答案】B【解析】如图：

设底面正三角形的外心为，三角形的外心为，分别过、作所在面的垂线相交于，则为三棱锥外接球的球心，再设底面正三角形外接圆的半径为，则.由已知求得，可得也为边长是的正三角形，所以外接圆的半径为，则.所以三棱锥外接球的半径满足：.则三棱锥外接球的表面积为.故选：B.2．（2023秋·四川泸州已知三棱锥的底面是正三角形，侧面底面，且，，若该三棱锥的外接球的表面积为，则AB的值为（

）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】设的外接圆的圆心为，连，并延长交与，则为的中点，设为的中点，因为侧面底面，，平面平面，平面，所以底面，又底面，所以，所以为三角形的外接圆的圆心，设该三棱锥的外接球的球心为，连，，则平面，平面，取的中点，则，因为底面，所以平面，所以，因为平面，平面，所以，因为平面，平面，所以，所以四边形为矩形，所以，因为三棱锥的外接球的表面积为，所以，得，设，则，，因为，，，所以，所以，由，得，得，即.

故选：C.3．（2023春·广东广州）已知三棱锥所在顶点都在球的球面上，且平面，若，则球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在中，，由余弦定理得，令外接圆圆心，则平面，且，而平面，因此，取中点，连接，有，又平面，即有，，于是四边形为平行四边形，则，球的半径，体积为.

故选：A考点五棱台外接球【例5】（2023春·黑龙江）（多选）已知四棱台上下底面均为正方形，其中，，，则下述正确的是（

）A．该四棱台的高为 B．该四棱台外接球的表面积为C．与所在直线的夹角为 D．该四棱棱台的表面积为26【答案】ABC【解析】将四棱台的侧棱延长，相交于点，形成四棱锥，设正方形和的中心分别为，由于，，则分别为中点，则，，则，则，该四棱台的高为，故A正确；由于上下底面都是正方形，则外接球的球心在上，在平面上中，由于，，则，即点到点与点的距离相等，则外接球半径，该四棱台外接球的表面积为，故B正确；因为，则与所在直线的夹角为，故C正确；该四棱台的表面积为，故D错误.故选：ABC．【一隅三反】1．（2023秋·湖北）在正三棱台中，侧棱长均为，侧棱与底面所成的角60°，，则该三棱台的外接球的体积＝.

【答案】【解析】设中心为，中心为，连接，如图，

因为正三棱台，所以平面，∥，在四边形中，过作于，则∥，，所以平面，所以为侧棱与底面所成的角，即，所以，又正三角形和中，，所以，即，，所以，，即，根据正三棱台对称性，可知到各顶点距离相等，则点为正三棱台外接球的球心.所以，，故答案为：2．（2023春·黑龙江绥化）正四棱楼台的上、下底面的面积分别为，，若该正四棱台的体积为，则其外接球的表面积为．【答案】【解析】设正四棱台的高为cm，则，解得cm．如图，取正方形的中心为，正方形的中心为，则cm，故该正四棱台的外接球的球心在上，设为点，连接，易知正四棱台的上、下底面边长分别为，，故cm，cm，设cm，则cm，由勾股定理得，，故，解得，故外接球半径为，表面积为．故答案为：3．（2023春·广东广州）在正四棱台中，上、下底面边长分别为、，该正四棱台的外接球的球心在棱台外，且外接球的表面积为，则该正四棱台的高为．【答案】【分析】求出外接球半径，找到球心的位置，根据外接球的球心在棱台外，求出高.【解析】

设正四棱台的外接球的半径为，则，解得，连接相交于点，连接相交于点，连接，则球心在直线上，连接，因为正四棱台的外接球的球心在棱台外，则球心在的延长线上，由条件可得，，因为上､下底面边长分别为，所以，由勾股定理得，，此时该正四棱台的高为.故答案为：考点六最值【例6】（2023·河南开封·统考三模）在三棱锥中，，平面ABC，，，则三棱锥外接球体积的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据题意三棱锥可以补成分别以为长、宽、高的长方体，其中为长方体的对角线，则三棱锥的外接球球心即为的中点，要使三棱锥的外接球的体积最小，则最小．设，则，，，所以当时，，则有三棱锥的外接球的球半径最小为，所以．故选：A【一隅三反】1．（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）在正三棱柱中，，点D在棱BC上运动，若的最小值为，则三棱柱的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，将与矩形展开至同一平面，易知.设，由题意知的最小值为，即.由余弦定理可得，即，解得或（舍去）.取的中心分别为M，N，连接MN，则MN的中点O为三棱柱的外接球的球心，设的外接圆的半径为r，