7.5 空间几何的外接球（精练）（教师版）

7.5空间几何的外接球（精练）1．（2023秋·贵州铜仁）在三棱锥中，平面ABC，，，则三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图：∵平面ABC，，∴，AC，AP两两互相垂直，，把三棱锥补成为正方体，则正方体的外接球即三棱锥的外接球，正方体的体对角线长为，即其外接球直径，∴三棱锥外接球的表面积为.故选：B．

2．（2023春·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知四棱锥的体积是，底面是正方形，是等边三角形，平面平面，则四棱锥外接球表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】

设正方形的边长为，在等边三角形中，过点作于E，由于平面平面，∴平面．由于是等边三角形，则，∴，解得．设四棱锥外接球的半径为，为正方形ABCD中心，为等边三角形PAB中心，O为四棱锥P－ABCD外接球球心，则易知为矩形，则，，，∴外接球表面积．故选：C．3．（2023春·甘肃酒泉）一个到球心距离为1的平面截球所得截面的面积为π，则它的体积为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】

作出球的截面示意图，如图是平面截球所得小圆的直径，是小圆圆心，是球心，设小圆半径为，依题意得，解得，由，得到，又即为球心到小圆所在平面距离，故，为球的半径，根据球的体积公式，体积为：.故选：D4．（2023春·辽宁大连）已知某圆锥的底面半径为2，其体积与半径为1的球的体积相等，则该圆锥的母线长为（

）A．2 B． C．5 D．【答案】D【解析】根据题意，圆锥的底面半径为，设圆锥的高为h，圆锥体积与半径为1的球的体积相等，则，解得，所以母线长为．故选：D．5．（2023春·陕西榆林）若正三棱锥的高为，，其各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】已知正三棱锥的底面边长为，高为，且三棱锥的四个顶点都在同一球面上，如图所示：

，设点为的中心，为外接球的球心，可能在三棱锥内部，也可能在外部，，即，解得．该球的表面积为．故选：C6．（2023春·广东韶关）已知三棱锥的顶点都在球的球面上，平面，若球的体积为，则该三棱锥的体积的最大值是（

）A． B．5 C． D．【答案】A【解析】因为，易知三角形为等腰直角三角形，又平面，所以为三棱锥的高，则可将三棱锥放入长方体内，如图，

长方体的体对角线即为外接球直径，即为球直径，，解得，又，解得，，所以所以三棱锥的体积，故选：A7．（2023春·湖南）2022年卡塔尔足球世界杯吸引了全世界许多球迷的关注，足球最早起源于我国古代“蹴鞠”，被列为国家级非物质文化，蹴即踢，鞠即球，北宋《宋太祖蹴鞠图》描绘太祖、太宗和臣子们蹴鞠的场景．已知某“鞠”的表面上有四个点A，B，C，D，连接这四点构成三棱锥如图所示，顶点A在底面的射影落在△BCD内，它的体积为，其中△BCD和△ABC都是边长为的正三角形，则该“鞠”的表面积为（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，取的中点，连接，作于点，因为△BCD和△ABC都是正三角形，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，因为平面，所以平面，则，即，解得，，则，设外接圆的圆心为，三棱锥外接球的球心为点，则平面，外接圆的半径，，设外接球的半径为，，则，，故，解得，所以，所以该“鞠”的表面积为.故选：B.

8．（2023春·山西太原）已知正方体的内切球(球与正方体的六个面都相切)的体积是，则该正方体的体积为（

）A．4 B．16 C．8 D．64【答案】D【解析】根据球的体积公式，，解得.因为正方体的内切球直径等于正方体的棱长，所以正方体的棱长为，故正方体的体积为.故选：D.9．（2023·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）已知四棱锥的底面是矩形，高为，，，，，则四棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，在矩形中，连接对角线，记，则点为矩形的外接圆圆心，取的中点，连接，记的外接圆圆心为，易知，且共线.因为，平面，所以平面，所以平面，平面，，，平面，所以平面，所以，所以，易得，所以由正弦定理得的外接圆半径为，即.过作平面，且，连接，由平面，可知，则四边形为矩形，所以，则平面.根据球的性质，可得点为四棱锥的外接球的球心，因为，所以四棱锥的外接球的表面积为.

故选：C10．（2023·全国·高三专题练习）如图，该几何体为两个底面半径为1，高为1的相同的圆锥形成的组合体，设它的体积为，它的内切球的体积为，则（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可得，因为上下两个圆锥大小相同，所以组合体内切球的球心为，半径等于点到的距离，设半径为，则，所以，所以，故选：D11．（2023秋·广东深圳·高三校联考开学考试）已知一个圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥内切球的表面积与圆锥的表面积之比为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意得，设圆锥的底面圆半径为，则，则圆锥的的侧面积为，故圆锥的表面积为，设圆锥的内切球球心为，过点作⊥于点，设内切球的半径为，则，因为，所以，即，解得，故内切球的表面积为，则圆锥内切球的表面积与圆锥的表面积之比为.

故选：B12．（2023春·广西南宁）在三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在中，，，，则，设外接圆半径为，则，即，令外接圆圆心为，

三棱锥外接球球心为，半径为，有平面，由平面，得，又，取中点，于是四边形为矩形，则球心到平面的距离，因此，所以三棱锥外接球的表面积.故选：C13．（2023春·重庆江津）如图，已知棱长为1的正方体中，下列命题正确的是（

）

A．正方体外接球的半径为B．点在线段上运动，则四面体的体积不变C．与所有12条棱都相切的球的体积为D．是正方体的内切球的球面上任意一点，则长的最小值是【答案】D【解析】选项A：连接，则为正方体外接球的直径，又，则正方体外接球的直径为，故A错误；选项B：为边长是的等边三角形，面积为定值，点在线段上运动，，与平面相交，所以与平面相交，所以四面体的高是变化的，所以四面体的体积是变化的，故B错误；选项C：与所有12条棱都相切的球的半径为，该球体积为，则与所有12条棱都相切的球的体积为，故C错误；选项D：正方体的内切球的半径为，球心为中点，是球面上任意一点，则长的最小值是,故D正确.故选:D.14．（2023春·陕西安康·高三校考阶段练习）如图，在三棱锥中，已知，，，，平面平面，三棱锥的体积为，若点，，，都在球的球面上，则球的表面积为（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】取的中点，连接，因为，，所以，所以，所以为三棱锥外接球的球心，设，则，，因为，，所以为等腰直角三角形，且，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为，，，所以，所以，解得，所以球的表面积为，故选：B

15．（2023春·山东济宁）在三棱锥中，，是边长为6的等边三角形，若平面平面，则该三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】取的中点，的中点，连接，，如图所示，

由，有，则，所以点为的外心，因为为等边三角形，取的外心，分别过点，作平面，平面，且，则点为三棱锥的外接球的球心，设外接球的半径为，连接，则为外接球的半径，由题可知，又平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以，所以四边形为矩形，所以，又，所以，所以三棱锥的外接球的表面积．故选：B．16．（2023秋·浙江丽水）在四面体PABC中，，是边长为2的等边三角形，若二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设正的重心为，则是正的外接圆的圆心，取的中点，因为，所以是的外接圆的圆心，过作平面，过作平面，，如图，

则为四面体的外接球的球心，又二面角的大小为，则，又在正中，，则在中，，设四面体PABC的外接球的半径为，则，所以四面体PABC的外接球的表面积为.故选：C.17．（2023春·四川宜宾）在矩形中，，为的中点，将和沿，翻折，使点与点重合于点，若，则三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可知，.

又平面PAD，平面PAD，所以MP⊥平面PAD.设△ADP的外接圆的半径为r，则由正弦定理可得，即，所以，设三棱锥M-PAD的外接球的半径为R，则，所以外接球的表面积为.故选：B18．（2023秋·江苏常州·高三华罗庚中学校考阶段练习）在三棱锥中，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为．【答案】/【解析】取的中点，连接，因为，所以和都是等边三角形，所以，所以是二面角的平面角，即，设球心为，和的中心分别为，则平面，平面，因为，公共边，所以≌，所以，因为，所以，所以，所以三棱锥的外接球的表面积为故答案为：

19（2023春·贵州黔西·高一校考阶段练习）我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”（如图所示），其中底面，，，，则该“阳马”的外接球的表面积为．

【答案】【解析】如图，以为棱作长方体，则长方体的对角线即为该“阳马”的外接球的直径，设直径为，则，所以，所以该“阳马”的外接球的表面积为.故答案为：.

20．（2023春·四川成都）已知圆锥的底面半径为2，高为，则该圆锥的内切球表面积为.【答案】【解析】如图，作出该圆锥与其内切球的轴截面图形，

设该内切球的球心为，内切球的半径为，为切点，所以，，由已知得，，所以，在中，，即，解得，所以，该圆锥的内切球表面积为故答案为：.20．（2023春·辽宁沈阳）已知四面体中，，，则该四面体外接球的表面积为．【答案】【解析】对于四面体中，因为，，所以可以把四面体放入一个长方体，如图：

设从同一个顶点出发的三条边长分别为、、，则有：，解得，点、、、均为长、宽、高分别为，，的长方体的顶点，且四面体的外接球即为该长方体的外接球，于是长方体的体对角线即为外接球的直径，不妨设外接球的半径为，∴，∴外接球的表面积为.故答案为：.21．（2023·全国·高三专题练习）已知点均在球的球面上运动，且满足，若三棱锥体积的最大值为，则球的体积为.【答案】【解析】如图所示，当点位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的体积为.

故答案为：22．（2023春·河北承德）已知三棱锥的各侧棱长均为，且，则三棱锥的外接球的表面积为.【答案】【解析】如图：

过P点作平面ABC的垂线，垂足为M，则都是直角三角形，又，同理可得，，所以M点是的外心；又，是以斜边的直角三角形，在底面的射影为斜边的中点，如下图：

则，设三棱锥外接球的球心为，半径为，则在上，则，即，得，外接球的表面积为；故答案为：23．（2023春·江西赣州）如图，在等腰直角三角形ABC中，点P为线段AB的中点，，，将沿所在直线进行翻折，得到三棱锥，当时，此三棱锥的外接球表面积为．

【答案】【解析】因为是等腰直角三角形，点P为线段AB的中点，，，所以，，则，因为，所以，则，所以将该三棱锥补成正方体，如下图所示：

则三棱锥的外接球就是边长为的正方体的外接球，所以该外接球的直径为正方体的体对角线，即，所以外接球表面积为.故答案为：.24．（2023春·福建福州·高一福建省福州屏东中学校考期末）已知正三棱锥的顶点都在球O的球面上，其侧棱与底面所成角为，且，则球O的表面积为【答案】【解析】如图，正三棱锥中，设点Q为的中心，则PQ⊥平面ABC，

∴，∴，PQ＝3．球心O在直线PQ上，连接AO，设球O的半径为r，则，，在中，，即，解得，∴球O的表面积为．故答案为：.1．（2024秋·甘肃武威·高三民勤县第一中学校联考开学考试）在三棱锥中，为等边三角形，，则三棱锥外接球的表面积的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：如图所示：由题意可得，，所以，则，又，所以，即.又平面，所以平面.设，则，取正的外心为，三棱锥外接球的球心，连接，则平面，底面外接圆的半径，所以三棱锥外接球的半径.当时，有最小值为，所以三棱锥外接球表面积的最小值为.故选：B.2．（2023秋·广东阳江·高三统考开学考试）在三棱锥中，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球表面积的最小值为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】当D在△ACD的外接圆上动的时候，该三棱锥的外接球不变，故可使D点动到一个使得DA=DC的位置，取AC的中点M，连接，因为，DA=DC，所以，，故即为二面角的平面角，△ACB的外心为O1，过O1作平面ABC的垂线，过△ACD的外心M作平面ACD的垂线，两条垂线均在平面BMD内，它们的交点就是球心O，画出平面BMD，如图所示；在平面ABC内，设，则，，因为，所以，所以，所以

令，则，所以，当且仅当时取等，故选:B3．（2023春·江西赣州）已知正四面体的棱长为12，先在正四面体内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及正四面体的三个侧面都相切，则球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】

如图，正四面体，设点是底面的中心，点是的中点，连接.则由已知可得，平面，球心在线段上，球切平面的切点在线段上，分别设为.则易知，，设球的半径分别为.因为，根据重心定理可知，.，，，，.由可得，，即，解得，，所以.由可得，，即，解得，所以，球的体积为.故选：A.4．（2023春·贵州遵义）已知三棱锥中，，，，三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥体积的最大值为（

）A．2 B． C． D．【答案】D【解析】设三棱锥外接球的半径为，则，解得，又，，即为直角三角形，则外接圆的直径即为直角三角形的斜边，且，即外接圆的半径，所以为外接球中的大圆，即为三棱锥外接球的直径，设的中点为，则即为球心，设，，则，所以，当且仅当时取等号，即，此时，且，又，则且，所以，则且，，平面，所以平面，所以，所以，即三棱锥体积的最大值为.故选：D5．（2023春·浙江丽水）如图，在三棱柱中，底面，，，，在上底面（包括边界）上运动，则三棱锥的外接球体积的最大值为（

）

A． B．C． D．【答案】C【解析】

如图，取中点为，中点为，连接，取的中点为，连接.因为为直角三角形，所以外接圆的圆心即为.同理，外接圆的圆心即为.所以，当位于顶点时（不妨假设点与点重合），三棱锥的外接球的球心恰好与三棱柱的外接球的球心重合，即三棱锥的外接球的半径等于三棱柱的外接球的半径，此时体积有最大值.因为分别为的中点，根据三棱柱的性质可知，，且，所以，四边形是平行四边形，所以，且，.根据三棱柱的性质可知平面，所以平面.又分别为以及外接圆的圆心，所以，线段的中点即为三棱柱的外接球的球心，所以，三棱柱的外接球的半径即等于.又，所以，.因为平面，平面，所以，即，所以，，所以，三棱锥的外接球体积的最大值为.故选：C.6．（2023春·山东聊城）（多选）已知正三棱锥的侧棱长为，底面边长为6，则（

）A．正三棱锥的高为6B．正三棱锥的表面积为C．正三棱锥的体积为D．正三棱锥的外接球的体积为【答案】AC【解析】如图，在正三棱锥中，过作交于，过作面，为外接球球心，易知在上，连接.对于A，，，，故，即正三棱锥的高为6，故A正确；对于B，正三棱锥的表面积为，故B错误；对于C，正三棱锥的体积为，故C正确；对于D，设外接球半径为，，由，可得，解得，故外接球的体积为，故D错误.故选：AC.7．（2023春·浙江金华）（多选）在三棱锥中，两两垂直，，点分别在侧面和棱上运动且为线段的中点，则下列说法正确的是（

）

A．三棱锥的内切球的半径为B．三棱锥的外接球的表面积为C．点到底面的距离的最小值为D．三棱锥的体积的最大值为【答案】BC【解析】对于A，因为两两垂直，，所以，，，所以，设三棱锥的内切球的半径为，则，所以，解得，所以A错误，对于B，因为两两垂直，所以将三棱锥补成如图所示的长方体，则长方体的体对角线等于三棱锥外接球的直径，设三棱锥外接球半径为，则，解得，所以三棱锥的外接球的表面积为，所以B正确，

对于C，因为，，平面，所以平面，因为平面，所以，所以，因为为线段的中点，所以，所以点的轨迹是以为球心，1为半径的球面上，设点到平面的距离为，因为，所以，所以，解得，所以点到底面的距离的最小值为，所以C正确，

对于D，由选项C可知点的轨迹是以为球心，1为半径的球面上，因为的面积为定值，所以当点到底面的距离最大值时，三棱锥的体积最大，设球面分别交于点，因为，所以当点与点或重合时，点到底面的距离最大，设为，则有，得，所以三棱锥的体积的最大值为，所以D错误，故选：BC

8．（2023春·湖北武汉）（多选）如图，在四边形中，和是全等三角形，，，，．下面有两种折叠方法将四边形折成三棱锥．折法①；将沿着折起，得到三棱锥，如图1．折法②：将沿着折起，得到三棱锥，如图2．下列说法正确的是（

）．

A．按照折法①，三棱锥的外接球表面积恒为B．按照折法①，存在满足C．按照折法②﹐三棱锥体积的最大值为D．按照折法②，存在满足平面，且此时与平面所成线面角正弦值为【答案】ACD【解析】由题意知，取的中点,由于和是直角三角形且全等，故,故在折法①的折叠过程中,三棱锥的外接球的球心为,半径为1,故该球的表面积恒为,故A选项正确；按照折法①,在折起过程中,点在平面内的投影在线段上(不包括端点),而线段(不包括端点)不存在使得，故不存在满足，故B选项错误；按照折法②，取的中点，，当平面平面时，三棱锥体积取得最大值，此时体积,故C选项正确;当时，，，故此时,,又因为平面,故平面,故为与平面所成线面角,则，故D选项正确.故选:ACD.

9（2023春·江苏南通）（多选）如图，圆锥内有一个内切球，球与母线分别切于点.若是边长为2的等边三角形，为圆锥底面圆的中心，为圆的一条直径（与不重合），则下列说法正确的是（

）

A．球的表面积与圆锥的侧面积之比为B．平面截得圆锥侧面的交线形状为抛物线C．四面体的体积的取值范围是D．若为球面和圆锥侧面的交线上一点，则最大值为【答案】ABD【解析】对选项A，设圆锥的底面半径为，球的半径为，圆锥的母线长为，因为是边长为2的等边三角形，则，，连接，，，由条件可知，，，且，则，所以，则，即，所以球的表面积，圆锥的侧面积，所以球的表面积与圆锥的侧面积之比为，故选项A正确；

因为平面与母线VB平行，所以截得圆锥侧面的交线形状为抛物线，故选项B正确；对选项C，由题意是的中点，所以四面体的体积等于，设点到平面的距离为，当，处于，时，，当，处于弧中点时，最大，为1，所以，如图作交于，由对选项A可知，，则，，所以，从而，所以的面积，所以，因为，所以，故，所以四面体的体积的取值范围是，故选项C不正确；

对选项D，由题意得球面和圆锥侧面的交线为以为直径的圆，以为坐标原点，所在直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，设，则，，所以，所以即，所以当时，有最大值，故选项D正确.故选：ABD.

10．（2023秋·全国·高三校联考开学考试））在三棱锥中，平面平面，底面是边长为3的正三角形，若该三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥体积的最大值为.【答案】【解析】依题意，点是三棱锥外接球的球心，设球的半径为是外接圆的圆心，设圆的半径为，点到底面的距离为，由题