7.4 空间距离（精讲）（教师版）

7.4空间距离（精讲）一．点到线的距离1.概念：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离；设AP＝，直线l的一个单位方向向量为，则向量AP在直线l上的投影向量AQ＝，在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝|AP|2-|AQ二．两异面直线间的距离：即两条异面直线公垂线段的长度.三．点到平面的距离：已知平面α的法向量为，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是AP在直线l上的投影向量QP的长度.因此四．直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离；五．两个平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.一．求点面距常见方法方法一：作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离方法二：等体积法方法三：向量法二.向量法求两异面直线的距离分别以这两条异面直线上任意两点为起点和终点的向量为，与这两条异面直线都垂直的法向量为，则两条异面直线间的距离就是在方向上的正射影向量的模，设为d，从而由公式求解.考点一点线距【例1-1】（2023春·江西南昌）如图，是棱长为的正方体，若在正方体内部且满足，则到的距离为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】以A为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，，，且为锐角，，点到的距离.故选：D.【例1-2】（2023·江苏徐州·校考模拟预测）在空间直角坐标系中，直线的方程为，空间一点，则点到直线的距离为（

）A． B．1 C． D．【答案】D【解析】根据题意，直线的方程为，即，则直线的方向向量为，又因为过点，，，则，故在上的射影为：，故点到直线的距离为：.故选：D.【一隅三反】1．（2023春·广东茂名·高三校考阶段练习）菱形的边长为4，，E为AB的中点（如图1），将沿直线DE翻折至处（如图2），连接，，若四棱锥的体积为，点F为的中点，则F到直线BC的距离为（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】连接，因为四边形为菱形，且，所以为等边三角形，因为E为AB的中点，所以，所以，因为，平面，所以平面，因为菱形的边长为4，所以，所以直角梯形的面积为，设四棱锥的高为，则，得，所以，所以平面，所以以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，所以，所以所以，所以F到直线BC的距离为，故选：A

2．（2023·广东佛山·统考模拟预测）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是a，且，，E为的中点，则点E到直线的距离为（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】在平行六面体中，不妨设，，．,，，，所以，，，所以E到直线的距离为，故选：A考点二线线距【例2】（2023·全国·高三专题练习）长方体中，，，为的中点，则异面直线与之间的距离是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，设与的公垂线的一个方向向量为，则，取，得，，即，又，所以异面直线与之间的距离为．故选：D．【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图所示，以为原点，所在直线为轴如图建立空间直角坐标系则设直线与的公垂线的方向向量为则不妨令又则异面直线与之间的距离故选：D2．（2023·全国·高三专题练习）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为1的正方体中，直线与之间的距离是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设为直线上任意一点，过作，垂足为，可知此时到直线距离最短设，，则，，，，即，，即，，，，当时，取得最小值，故直线与之间的距离是.故选：B.3．（2023·全国·高三专题练习）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则，则，，设和的公垂线的方向向量，则，即，令，则，，.故选：D.考点三点面距【例3-1】（2023·浙江·校联考模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为的正三角形，平面平面，．

(1)求证：平行四边形为矩形；(2)若为侧棱的中点，且平面与平面所成角的余弦值为，求点到平面的距离．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）取中点，连接，为正三角形，则，面面，面面，面，则面，

面，故，又，面，，所以面，面，故，则平行四边形为矩形.（2）如下图，以为原点，为轴，为轴建立坐标系，设，则，，，，，所以，，

设面的法向量为，则，令，则，设面的法向量为，则，令，则，由，解得，则面的法向量为，，点到平面的距离.【例3-2】（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）如图，在四面体中，．点为棱上的点，且，三棱锥的体积为．

(1)求点A到平面的距离；(2)求平面与平面夹角的余弦值．【答案】(1)(2)【解析】（1）取中点，连接，因为，所以，又平面，所以平面，而平面，所以，由已知，所以，由平面平面，得平面平面，因此在平面内的射影就是直线，设在面的射影为，则在直线上，由题意知,则,所以，所以，又因为，所以与重合，所以平面，以为原点，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，

所以点坐标为，．设平面的一个法向量是，则，取，则，即，所以点A到平面的距离．（2）设平面的法向量为，则，取，则，故，所以，由于平面与平面夹角范围为，所以平面与平面夹角的余弦值是．【一隅三反】1．（2022秋·山东青岛·高三统考期中）如图，四棱锥中，底面ABCD为正方形，为等边三角形，面底面ABCD，E为AD的中点.

(1)求证：；(2)在线段BD上存在一点F，使直线AP与平面PEF所成角的正弦值为.①确定点F的位置；②求点C到平面PEF的距离.【答案】(1)证明见解析(2)①点的位置是线段上靠近的三等分点；②【解析】（1）取中点，连接，,为等边三角形,,面底面，面底面，面，面，，，，又，面，面，，

（2）①如图以为原点，为轴，为轴建立空间

直角坐标系.设，，，，,,，，，，，设是平面的一个法向量则有，令解得：因为直线与平面所成角的正弦值为即解得，所以点的位置是线段上靠近的三等分点，②，，，点到平面的距离.2．（2023·江苏苏州·模拟预测）在如图所示的圆锥中，已知为圆锥的顶点，为底面的圆心，其母线长为6，边长为的等边内接于圆锥底面，且.

(1)证明：平面平面；(2)若为中点，射线与底面圆周交于点，当二面角的余弦值为时，求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）因为为圆锥的顶点，为底面的圆心，所以面.又因为面，所以，即.因为为外接圆圆心，且为正三角形，所以.又因为且，面，所以面，因为面，所以面面.（2）作交于，取中点为.因为，，所以.因为面，，面，所以，.如图，以点为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系.因为，，所以，，所以，，，，.由，得，，，，.设面的法向量为，则，取，则，，所以.设面的法向量为，则,取，则，，所以.由，且，解得，所以，.又因为，所以，所以到面的距离.

考点四面面距【例4】（2023·全国·高三专题练习）在棱长为的正方体中，则平面与平面之间的距离为A． B．C． D．【答案】B【解析】建立如图所示的直角坐标系，则，，，，所以，，，设平面的一个法向量，则，即，解得，故，显然平面平面，所以平面与平面之间的距离．【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，、、分别是、、的中点．求：(1)直线与平面的距离；(2)平面与平面的距离．【答案】(1)(2)【解析】1）解：因为平面，四边形为正方形，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、，因为、分别为、的中点，则，平面，平面，平面，因为且，、分别为、的中点，则且，所以，四边形为平行四边形，，平面，平面，平面，，、平面，平面平面，平面，平面，设平面的法向量为，，，则，取，可得，，所以，直线与平面的距离为.（2）解：因为平面平面，则平面与平面的距离为.2．（2023·全国·高三专题练习）直四棱柱中，底面为正方形，边长为，侧棱，分别为的中点，分别是的中点．

(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面的距离．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）法一:证明：连接分别为的中点，分别是的中点，，平面，平面，平面，平行且等于，是平行四边形，，平面，平面，平面，，平面平面；法二:如图所示，建立空间直角坐标系，

则，，，，，，平面，平面，平面，平面，平面，平面，又，平面平面，（2）法一:平面与平面的距离到平面的距离．中，，，，由等体积可得，．法二:设平面的一个法向量为，则，则可取，，平面与平面的距离为3．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知正方体的棱长为2，E，F，G分别为AB，BC，的中点．(1)求证：平面平面EFG；(2)求平面与平面EFG间的距离．【答案】(1)证明见详解；(2)﹒【解析】（1）∵E是AB中点，F是BC中点，∴连接AC得，EF∥AC，∵是平行四边形，∴，又平面平面，∥平面，同理，连接可得，可得EG∥平面，与平面EFG，∴平面∥平面EFG﹒（2）如图：以D为原点，DA、DC、分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz﹒则∴，设平面的法向量为，则，取，则平面与平面EFG间的距离为﹒4．（2023·全国·高三专题练习）底面为菱形的直棱柱中，分别为棱的中点.(1)在图中作一个平面，使得，且平面.（不必给出证明过程，