6.4 求和方法（精讲）（教师版）VIP

6.4求和方法（精讲）一．公式法：直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和．1.等差数列的前n项和公式Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d．2.等比数列的前n项和公式Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1（1－qn）,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))二．裂项相消法1.通项特征（1）分式：分为可拆成偶数个同类因式相乘（2）根式：利用平方差公式进行有理化2.解题思路三．错位相减法1.通项特征或2.解题思路四．分组转化求和法1.通项特征(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和．(2)若an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(bn，n为奇数，,cn，n为偶数，))且数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．2.解题思路五．并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和1.通项特征形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．2.解题思路五．倒序相加法如果一个数列{an}的前n项中，与首末两端等“距离”的两项的和相等，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解1．并项求和时不能准确分组；2．用错位相减法求和时易出现符号错误，不能准确“错项对齐”；3．在应用裂项相消法求和时，要注意消项的规律具有对称性，即前面剩多少项，后面就剩多少项，且前后对应项的符号相反．考法一裂项相消求和【例1-1】（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知等差数列的公差为正数，且，若分别是等比数列的前三项．(1)分别求数列、的通项公式；(2)求数列的前项之和．【答案】(1)(2)【解析】（1）设等差数列的公差为，因为，，是等比数列的前三项，所以，即，化简得，又，所以．得．由（1），可得数列的前三项分别为，，，显然该等比数列的公比为3，首项为3．所以．综上，两数列的通项公式分别为．（2）．则【例1-2】（2023·广东广州·统考三模）已知数列的前项和为，且，，．(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和，求证：．【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）因为，所以，因为，所以，即，所以．即，又，所以数列是首项为，公比为的等比数列．所以.（2），故数列的前项和，因为，所以，所以．【例1-3】（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式;(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【解析】（1）因为，当时，，当时，，所以，即，又因为，满足上式，所以是以为首项，为公比的等比数列，则.（2）因为，所以.【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）定义：对于任意一个有穷数列，第一次在其每相邻的两项间都插人这两项的和，得到的新数列称之为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和称之为二阶和数列，以此类推可以得到n阶和数列，如的一阶和数列是，设它的n阶和数列各项和为．(1)试求的二阶和数列各项和与三阶和数列各项和，并猜想的通项公式（无需证明）；(2)若，求的前n项和，并证明：．【答案】(1)，，(2)，证明见解析【解析】（1）由题意得，，，，，…，由等比数列的前n项和公式可得，，所以的通项公式．（2）由于，所以，则，因为，所以，所以，又随n的增大而减小，所以当时，取得最大值，故．2．（2023·福建厦门·厦门外国语学校校考模拟预测）已知数列满足．(1)证明为等差数列，并的通项公式；(2)设，求数列的前项和．【答案】(1)证明见解析，(2)【解析】（1）证明：因为，所以，即所以是以为首项，为公差的等差数列，则，所以；（2）.3．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）数列中，(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，证明.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）因为，即，所以当时，，将以上各式相加，得，则，当时也符合上式，故.（2）由题意.所以4．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）设为数列的前项和，已知，且满足．(1)求数列的通项公式；(2)设为数列的前项和，当时，．若对于任意，有，求的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】（1），∴，，∴,∴当时，；当时，也符合上式，∴．（2），∵，∴，当时，满足，当时，存在，（其中，表示不超过的最大整数），使得，则，∴，不满足条件，∴．考法二错位相减求和【例2】（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考模拟预测）已知数列满足，（）.记(1)求证：是等比数列；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）由已知，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴易知数列中任意一项不为，∴，∴数列是首项为，公比为的等比数列.（2）由第（1）问，，∴，∴设数列的前项和为，则①，①得，②，①②得，，∴，∴.∴数列的前项和为.【一隅三反】1．（2023·河北沧州·沧县中学校考模拟预测）已知数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【解析】（1）因为，所以当时，，所以，又当时，，解得，所以，所以，所以是首项为､公比为的等比数列，所以的通项公式为.（2）由（1）知，所以，所以，两式相减，得，所以.2．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知正项数列的前项和为，满足，数列的前项积为!.(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项和.【答案】(1)，(2)【解析】（1）因为，①当时，可得，当时，，②由①②得，因为，所以，所以为常数，所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以；由于数列的前项的乘积为!，当时，得；当时，得.又因为符合通项，所以.（2）由（1）可知，，则，①即，②则①-②得：，即.3．（2023·广东佛山·校联考模拟预测）记正项数列的前项和为，已知点在函数的图象上，且，数列满足，．(1)求数列，的通项公式；(2)设，求数列的前项和．【答案】(1)；(2)【解析】（1）因为点在函数的图象上，所以，当时，，所以，解得或，因为，所以，当时，，，两式相减得：，即，因为，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以；由知，是以为公比的等比数列，又，所以.①（2）因为，，，两式相减可得所以.考法三分组转化求和【例3-1】（2023秋·宁夏银川·高三校考期末）已知数列是等差数列，，．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【解析】（1），故，故.（2），.【例3-2】（2023·广东深圳·统考模拟预测）已知等差数列满足，．(1)求；(2)数列满足，为数列的前项和，求．【答案】(1)(2)【解析】（1）设等差数列的公差为d，因为，．则，解得，所以．（2）由（1）可得，则，所以.【一隅三反】1．（2023·湖北咸宁·校考模拟预测）设为公差不为0的等差数列的前项和，若成等比数列，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【解析】（1）设等差数列的公差为由成等比数列可得，所以，所以，因为，所以.①又，所以，②所以，联立①②得，所以数列的通项公式.（2）由（1）知，所以.2．（2023·广东深圳·校考二模）已知是等差数列，，，且，，成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)令，记，求.【答案】(1)(2)【解析】（1）因为是等差数列，，，且，，成等比数列，所以，即，解得或（舍去），所以．（2）由题意知，，所以．当为偶数时，，当为奇数时，．综上．3．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知数列的前项和满足，且．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【解析】（1）因为，当时，所以，即，所以，所以，即是常数数列，又，所以，则.（2）因为，当为偶数时，；当为奇数时，；综上可得.考法四并项求和【例4-1】（2023·广东韶关·统考模拟预测）设等比数列的前项和为，已知，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【解析】（1）设等比数列的公比为，①，，当时，有，当时，②，由①②得，即，，，，；（2）由（1）得，则，，，，．【例4-2】（2023春·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）在数列中，，当时，(1)求证：数列是等差数列；(2)设，数列的前n项和为，求【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）因为，所以，两边同除以，得，所以是以为首项，1为公差的等差数列.（2）由（1）知，，整理得：，则，当n为偶数时，，当n为奇数时，，所以.【例4-3】（2023·江苏苏州·校联考三模）已知数列是公差不为0的等差数列，，且成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前2023项和.【答案】(1)(2)1012【解析】（1）设等差数列的公差为，由题意可知，即解得，所以；（2）由（1）可知，，对于任意，有，所以，故数列的前2023项和为.【一隅三反】1．（2023·江苏镇江·江苏省镇江第一中学校考模拟预测）已知数列的前项和，其中，且.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前2023项和.【答案】(1)(2)【解析】（1）因为，则，由，可得，当时，则，整理得，即；当时，则，可得，整理得，因为，则，可得，即，故数列是以首项为1，公差为2的等差数列，所以.（2）由（1）可得：，当为偶数时，则，所以，即.2．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知的面积为1，点D，E，F分别为线段，，的中点，记的面积为；点G，H，I分别为线段，，的中点，记的面积为；…；以此类推，第n次取中点后，得到的三角形面积记为．(1)求，，并求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【解析】（1）由题意可知,，...，由此可知，故是以公比为的等比数列，所以.（2）由得，，当为偶数时，，当为奇数时，，故.3．（2023·河南南阳·南阳中学校考三模）记为数列的前项和，已知，且满足.(1)证明：数列为等差数列；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）方法1：，时，，累加得：，时也成立，.，是等差数列方法2：，，为常数数列，，，，是等差数列.方法3：当时，①，②，②-①可得：，是等差数列，因为.（2）由（1）知，所以，方法1：并项求和当为偶数时，，方法2：错位相减求和①②①-②：考法五倒序相加求和【例5】（2023春·广西防城港·高三统考阶段练习）高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称．小学进行的求和运算时，他这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法．已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据以上提示探求：若，则（

）A．2023 B．4046 C．2022 D．4044【答案】B【解析】根据等比数列的下标性质由，∵函数