作业05立体几何初步（8大题型巩固提升练能力培优练拓展突破练仿真考场练）原卷版

完成时间：月日天气：作业05立体几何初步（8大题型巩固提升练+能力培优练+拓展突破练+仿真考场练）一、空间图形的表面积与体积1．主要考查多面体、旋转体的表面积，旋转体的侧面展开图，柱体、锥体、台体的体积，球的表面积和体积，不规则空间图形常用转换法、分割法、补形法等进行求解．2.关于空间图形的体积、表面积首先要明确空间图形的基本量，如球的半径，空间图形的高、棱长等，其次是准确代入相关的公式计算．在计算中应注意各数量之间的关系，特别是特殊的柱体、锥体、台体，要注意其中矩形、直角三角形及梯形等重要的平面图形的作用．二、空间中的平行关系1．空间中的平行主要有线线平行、线面平行、面面平行，主要考查在空间图形中证明线面平行、面面平行以及线线平行．2.线线平行、线面平行、面面平行的关系线线平行、线面平行、面面平行这三种关系是紧密相连的，可以进行任意转化，相互间的转化关系如下：三、空间中的垂直关系1．主要考查空间中线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理，以及线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的联系与转化．2.线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化四、空间角的求法1．空间角包括异面直线所成的角、线面角及二面角，主要考查空间角的定义及求法，求角时要先找角，再证角，最后在三角形中求角．2.(1)求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角)．(2)求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影)．(3)二面角的平面角的作法常有三种：①定义法；②三垂线法；③垂面法一．棱柱的结构特征（共5小题）1．（2024春•海安市校级期中）如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点，则下列说法中正确的有A．直线与为相交直线 B．异面直线与所成角为 C．若是棱上一点，且，则、、、四点共面 D．平面截该长方体所得的截面可能为六边形2．（2024春•玄武区校级月考）设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中，2，，，为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．已知在直四棱柱中，底面为菱形，，则下列结论正确的是A．直四棱柱在其各顶点处的离散曲率都相等 B．若，则直四棱柱在顶点处的离散曲率为 C．若，则直四棱柱在顶点处的离散曲率为 D．若四面体在点处的离散曲率为，则平面3．（2023春•大丰区校级月考）如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是A．、、、四点共面 B．平面平面 C．直线与所成的角为 D．平面4．（2023春•常州月考）正方体的棱长为2，点，分别是棱，的中点，若点在正方体的表面上运动，满足平面，则点的轨迹所构成的周长为；若点在正方体的表面上运动，满足，则点的轨迹所构成的周长为．5．（2023春•崇川区校级月考）已知直四棱柱，底面为平行四边形，，，，，以为球心，半径为2的球面与侧面的交线的长度为．二．棱柱、棱锥、棱台的体积（共7小题）6．（2024春•玄武区校级月考）已知四面体的各个面均为全等的等腰三角形，且．设为空间内任一点，且，，，，五点在同一个球面上，则A．四面体的面积为 B．四面体的体积为 C．当时，点的轨迹长度为 D．当三棱锥的体积为时，点的轨迹长度为7．（2024•建湖县校级开学）香囊，又名香袋、花囊，是我国古代常见的一种民间刺绣工艺品，香囊形状多样，如图1所示的六面体就是其中一种，已知该六面体的所有棱长均为2，其平面展开图如图2所示，则下列说法正确的是A． B．直线与直线所成的角为 C．该六面体的体积为 D．该六面体内切球的表面积是8．（2024春•玄武区校级月考）正四棱台，其上、下底面的面积分别为，，该正四棱台的外接球表面积为，则该正四棱台的体积为．9．（2024春•海门区校级月考）近年来，纳米品的多项技术和方法在水软化领域均有重要应用．纳米晶体结构众多，如图是一种纳米晶的结构示意图，其是由正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为的几何体，则该结构的纳米晶个体的体积为．10．（2024春•溧阳市期末）如图，在直三棱柱中，，，，，点是的中点．（1）求证：平面；（2）求证：；（3）求三棱锥的体积．11．（2024春•新吴区校级期中）如图正方体的棱长为2，是线段的中点，平面过点、、．（1）画出平面截正方体所得的截面，并简要叙述理由或作图步骤；（2）求（1）中截面多边形的面积；（3）平面截正方体，把正方体分为两部分，求较小的部分与较大的部分的体积的比值．12．（2024春•邗江区校级月考）如图所示，在三棱柱中，侧面为菱形，，，侧面为正方形，平面平面．点为的中点，点为的中点．（1）证明：平面；（2）求三棱柱的体积．三．球的体积和表面积（共5小题）13．（2024•建湖县校级开学）已知正三棱锥中，，，该三棱锥的外接球球心到侧面距离为，到底面距离为，则A． B． C． D．14．（2024春•邗江区校级月考）已知三棱锥，，，点到平面的距离是，则三棱锥的外接球表面积为．15．（2024春•江阴市校级月考）在三棱锥中，，，两两垂直，，，为棱上一点，于点，则当的面积取最大值时，三棱锥的外接球表面积为．16．（2024春•相城区校级月考）在棱长为2的正方体中，则它的外接球的表面积为；若为的中点，则过、、三点的平面截正方体所得的截面面积为．17．（2024春•新吴区校级期中）如今中国在基建方面世界领先，可谓是逢山开路，遇水架桥．公路里程、高铁里程双双都是世界第一．建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先．如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体体积为，则模型中最大球的体积为，模型中九个球的表面积之和为．四．平面的基本性质及推论（共5小题）18．（2023春•响水县校级期中）如图，在正方体中，的中点为，过，，三点的截面是A．三角形 B．矩形 C．菱形 D．梯形19．（2023春•雨花台区校级月考）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为正方体内部及其表面上的一动点，且，则满足条件的所有点构成的平面图形的面积是A． B． C．4 D．20．（2024春•梁溪区校级期中）在四面体中，，，，，分别为，，，，的中点，则下列说法中正确的是A．，，，四点共面 B． C． D．四边形为梯形21．（2023春•宿迁期中）如图，在正方体中，为、的交点，直线交平面于点，则下列结论正确的是A．、、、四点共面 B．直线与直线为异面直线 C．直线与直线相交 D．、、、四点共面22．（2024春•江阴市校级月考）如图所示，在棱长为1的正方体中，，分别为线段，上的动点，为的中点，则的周长的最小值为A． B． C． D．五．空间中直线与直线之间的位置关系（共4小题）23．（2023春•滨海县期中）如图，在正方体中，，分别是，的中点，则下列说法正确的是A．与垂直 B．与垂直 C．与平行 D．与平行24．（2023春•邳州市校级月考）如图，在长方体中，，，、分别为棱、的中点，则下列说法中正确的有A． B．直线与为相交直线 C．若是棱上一点，且，则、、、四点共面 D．平面截该长方体所得的截面可能为六边形25．（2023春•泗阳县校级月考）已知两个不同平面，和三条不重合的直线，，，则下列命题：（1）若，，则（2）若，在平面内，且，，则（3）若，分别经过两异面直线，，且，则必与或相交（4）若，，是两两互相异面的直线，则存在无数条直线与，，都相交其中正确的命题是．（请写上正确命题的序号）26．（2023春•镇江月考）如图，在四棱锥中，面，，，，，，是的中点．（1）求异面直线与所成角的正切值；（2）求证：．六．空间中直线与平面之间的位置关系（共3小题）27．（2024春•溧阳市期末）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则28．（2024春•南通月考）已知空间3条不同的直线，，和平面，则下列说法正确的是A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则29．（2024春•邗江区校级月考）设是空间中的一个平面，，，是三条不同的直线，则A．若，，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则七．直线与平面平行（共8小题）30．（2024春•南通月考）在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，则下列正确的是A．平面 B．平面 C．多面体是棱台 D．平面截正方体所得截面的面积为31．（2024春•姑苏区校级月考）如图，在直角梯形中，，，且为的中点，，分别是，的中点，将三角形沿折起，则下列说法正确的是A．不论折至何位置（不在平面内），都有平面 B．不论折至何位置（不在平面内），都有 C．不论折至何位置（不在平面内），都有 D．在折起过程中，一定存在某个位置，使32．（2024春•江苏月考）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，为的中点，在上，，若平面，则的值为．33．（2024春•如皋市月考）如图，正方体中，为底面的中心，为棱上一点．（1）证明：平面；（2）若平面，求证：为棱的中点．34．（2024春•江阴市期中）在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型．点在棱上，满足，点在棱上，满足，要求同学们按照以下方案进行切割：（1）试在棱上确定一点，使得平面；（2）过点，，的平面交于点，沿平面将四棱锥模型切割成两部分，在实施过程中为了方便切割，需先在模型中确定点的位置，请求出的值．35．（2024春•梁溪区校级期中）如图所求，四棱锥，底面为平行四边形，为的中点，为中点．（1）求证：平面；（2）已知点在上满足平面，求的值．36．（2024春•锡山区校级月考）如图，在三棱柱中，平面平面，侧面是矩形，点，分别为，的中点．求证：（1）；（2）平面．37．（2023春•南京期末）如图，已知斜三棱柱中，平面平面，与平面所成角的正切值为，所有侧棱与底面边长均为2，是边中点．（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成的角；（3）是边一点，且，若，求的值．八．平面与平面垂直（共4小题）38．（2024春•泗阳县校级月考）已知平面，，，，则“”是“且”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件39．（2024春•泗阳县校级月考）如图（1），在矩形中，，是的中点，沿将折起，使点到达点的位置，并满足，如图（2），则A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面40．（2024春•泗阳县校级月考）如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，平面，点为棱的中点．求证：（1）平面；（2）平面平面．41．（2024春•玄武区校级月考）如图所示，在斜三棱柱中，底面是等腰三角形，，是的中点，侧面底面．（1）求证：；（2）过侧面的对角线的平面交侧棱于点，若，求证：截面侧面；（3）若截面平面，则成立吗？请说明理由．一．多选题（共4小题）1．（2024春•邗江区校级月考）如图，是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则下列说法正确的有A．当在平面内运动时，四棱锥的体积不变 B．当在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C．使得直线与平面所成的角为的点的轨迹长度为 D．若是棱的中点，当在底面上运动，且满足平面时，的最小值是2．（2023春•天宁区校级期末）长方体中，，，，点，点分别线段，的中点，点，点分别为线段，上的动点，则下列说法正确的是A．存在，，使得 B．三棱锥体积的最大值为10 C．若的周长为10，则 D．的最小值为73．（2023春•海陵区校级月考）已知正四棱台的所有顶点都在球的球面上，，为内部（含边界）的动点，则A．平面 B．球的表面积为 C．的最小值为 D．与平面所成角的最大值为4．（2023春•玄武区校级月考）如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，，为圆柱上下底面的圆心，为球心，为底面圆的一条直径，若球的半径，则下列各选项正确的是A．球与圆柱的体积之比为 B．四面体的体积的取值范围为 C．平面截得球的截面面积最小值为 D．若为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为二．解答题（共6小题）5．（2024春•新吴区校级期中）在直四棱柱中，底面为平行四边形，，，，分别为线段，，的中点．（1）证明：；（2）证明：平面平面；（3）若，，当与平面所成角的正弦值最大时，求四棱锥的体积．6．（2024春•铜山区月考）如图，在三棱锥中，平面平面，是等边三角形，，且，、分别是，的中点．（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积．7．（2023春•秦淮区校级月考）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为的中点．（1）若，求证：平面；（2）若平面平面，且，点在线段上，且，求三棱锥的体积．8．（2023春•镇江月考）在四棱锥中，，，，，为的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面．9．（2023春•锡山区校级期末）已知是内一点，．（1）若是的外心，求的余弦值；（2）若是的垂心，是平面外一点，且平面，当四面体外接球体积最小时，求的值．10．（2023春•玄武区校级月考）如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，．（1）求证：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值；（3）若点在线段上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的取值范围．一．选择题（共7小题）1．（2024•甲卷）已知、是两个平面，、是两条直线，．下列四个命题：①若，则或②若，则，③若，且，则④若与和所成的角相等，则其中，所有真命题的编号是A．①③ B．②③ C．①②③ D．①③④2．（2024•上海）空间中有两个不同的平面，和两条不同的直线，，则下列说法中正确的是A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若