专题16解答中档题型立体几何中线面关系的证明

专题16解答中档题型：立体几何中线面关系的证明1．（2223高一下·江苏无锡·期末）如图，在四棱锥中，，，，是棱上一点.

(1)若，求证：平面；(2)若平面平面，平面平面，求证：平面.【答案】见解析【分析】（1）利用平行线分线段成比例得到，从而利用线面平行的判定定理即可得证；（2）先利用面面垂直的性质定理推得，，再利用线面垂直的判定定理即可得证.【详解】（1）连接交于点，连接，如图，

因为，所以，因为，所以，所以，所以，又平面平面，所以平面.（2）因为平面平面，，平面平面平面，所以平面，又平面，所以，因为平面平面，平面平面平面，所以平面，又平面，所以，因为平面平面，所以平面．2．（2223高一下·江苏苏州·期末）如图，在三棱柱中，侧面是菱形，平面平面，，和分别是和的中点．

(1)求证：平面；(2)求证：．【答案】见解析【分析】（1）取中点为，易证得四边形为平行四边形，得到，由线面平行的判定可证得结论；（2）根据菱形的性质、面面垂直和线面垂直的性质可得，，由线面垂直的判定和性质可证得结论.【详解】（1）取中点为，连结，分别为中点，，，，，又为中点，，，，，四边形为平行四边形，，平面，平面，平面.（2）连结，四边形是菱形，，平面平面，平面平面，平面，，平面，又平面，，，平面，平面，平面，.

3．（2223高一下·江苏宿迁·期末）如图，在三棱台中，侧面底面，且，，底面为正三角形．

(1)求三棱台的体积；(2)过点作平面平行于平面，分别交，，于，，．求证：平面．【答案】(1)；(2)见解析【分析】（1）作交于，由面面垂直的性质可得平面，为三棱台的高，由三棱台体积公式计算可得答案；（2）连接，四边形为平行四边形，四边形为菱形，由线面垂直的庞大的了可得平面．【详解】（1）在三棱台，因为底面为正三角形，所以也为正三角形，因为，，所以，，因为，，所以四边形为等腰梯形，作交于，则，所以梯形高为，

由侧面底面，侧面底面，，，所以平面，所以为三棱台的高，由三棱台体积公式得；（2）连接，因为平面于平面，平面平面，平面平面，所以，同理：，由，

则四边形为平行四边形，又，，得，所以为中点，同理为中点，所以，，因为，，所以四边形为菱形，所以，

因为为菱形对角线交点，所以为中点，又，所以，又，则，

又，平面，平面，所以平面．

4．（2223高一下·江苏淮安·期末）如图，四棱锥的底面为正方形，平面.(1)求证：平面；(2)平面，平面交平面于，交底面于.求证：.【答案】见解析【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明之；（2）由线面平行的性质定理可得，，再由线线平行的传递性可得.【详解】（1）∵底面为正方形，∴.∵平面，平面，∴.又∵，，平面，平面，∴平面.（2）∵，平面，平面平面，∴.同理有，∴.5．（2223高一下·江苏泰州·期末）如图,在直三棱柱中,,为的中点,为的中点,.求证:

(1)∥平面;(2).【答案】见解析【分析】（1）连接,根据三角形的中位线可得,再根据线面平行的判定定理证明即可;（2）根据已知条件证明平面,从而得到,再根据线面垂直的判定定理证明平面,则四边形为菱形即可得到结论.【详解】（1）连接,如图,

因为四边形为平行四边形,所以为的中点,又为的中点,所以在中,,因为平面,平面,所以∥平面.（2）因为,即,又,且,平面,平面,所以平面,因为,所以平面,因为平面,所以,又平面,平面,所以平面,因为平面,所以,则四边形为菱形,所以.6．（2223高一下·江苏扬州·期末）如图，在棱长为1的正方体中，E为棱的中点，.

(1)求证：//平面EAC；(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)见解析；(2)【分析】（1）根据线面平行的判定定理分析证明；（2）根据锥体的体积公式运算求解.【详解】（1）因为底面ABCD为正方形，所以F为BD中点因为E为棱的中点，所以//，且平面，平面，所以//平面.（2）因为平面ABCD，底边ABCD为正方形则为直角三角形，且所以三棱锥的体积.7．（2223高一下·江苏南通·期末）如图，在三棱锥中，平面分别为的中点．

(1)证明：∥平面；(2)证明：平面平面．【答案】见解析【分析】（1）由三角形中位线定理可得∥，再由线面平行的判定定理可证得结论；（2）由（1）知∥，而，则有，再由已知的线面垂直可得，则由线面垂直的判定定理可得平面，从而利用面面垂直的判定定理可证得结论.【详解】（1）证明：在中，因为分别为的中点，所以∥．又因为平面平面，所以∥平面．（2）证明：由（1）可知∥，又因为，所以．因为平面平面，所以．又因为平面，所以平面．因为平面，所以平面平面．8．（2223高一下·江苏徐州·期末）如图，四棱锥的底面为梯形，，，底面，平面平面，点在棱上，且.

(1)证明：平面；(2)证明：.【答案】见解析【分析】（1）过作交于点，连接，利用线面平行的判定定理证明即可.（2）利用线面垂直的性质定理，面面垂直的性质定理证明即可.【详解】（1）在平面中，过作交于点，连接，因为，所以.又，所以.又，所以，所以四边形为平行四边形.所以，又平面，平面，所以平面.

（2）因为底面，平面，所以.在平面中，过点作，交于点，因为平面平面，平面，平面平面，所以平面，又平面，所以.又平面，平面，，所以平面.又平面，所以.9．（2223高一下·江苏盐城·期末）《九章算术》是中国古代的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”，已知四面体是“鳖臑”，，，，分别为，的中点，在线段上，且.(1)求证：平面；(2)求四面体内切球的表面积.【答案】(1)见解析；(2)【分析】（1）连接与相交于点，连接、，依题意可得且，根据三角形相似得到，即可得到，从而得证；（2）依题意可得，，再判断，即可得到平面，则，求出各个面的面积，利用等体积法求出内切球的半径，即可得解.【详解】（1）连接与相交于点，连接、，因为，分别为，的中点，则且，所以，所以，又，所以，所以，则，所以，又因为平面，平面，所以平面.（2）由题意四面体是“鳖臑”，，，显然可得，，，平面，所以平面，又平面，所以，又，，若，则，此时，则不是直角三角形，不符合题意，又，所以，，平面，所以平面，平面，所以，符合题意.则，所以，，，，又，设内切球的半径为，所以，即，解得，所以.10．（2122高一下·江苏南京·期末）如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，点F为侧棱PC上一点．

(1)若PF＝FC，求证：PA∥平面BDF；(2)若BF⊥PC，求证：平面BDF⊥平面PBC．【答案】见解析【分析】（1）设AC，BD的交点为O，所以PA∥OF，利用线面平行的判定定理即可证得结论；（2）由题意得BD⊥AC，BD⊥PA，所以BD⊥平面PAC，则BD⊥PC，又BF⊥PC，所以PC⊥平面BDF，利用面面垂直的判定定理可得结论.【详解】（1）设AC，BD的交点为O，连OF，

因为底面ABCD为菱形，且O为AC中点，PF＝FC，所以PA∥OF，又PA平面BDF，OF平面BDF，故PA∥平面BDF．（2）因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC，因为PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以BD⊥PA，又ACBD＝O，AC，BD平面ABCD，所以BD⊥平面PAC，又PC平面PAC，所以BD⊥PC，又BF⊥PC，BDBF＝B，BD，BF平面BDF，所以PC⊥平面BDF，又PC平面PBC，故平面BDF⊥平面PBC.11．（2122高一下·江苏徐州·期末）如图，已知在三棱锥中，，点分别为棱的中点，且平面平面.

(1)求证：平面；(2)求证：.【答案】见解析【分析】（1）要证平面，只需证明；（2）要证，只需利用面面垂直的性质证明平面.【详解】（1）因为点分别为棱的中点，所以.又平面平面，所以平面.（2）因为，点为棱的中点，所以.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.又平面，所以.12．（2122高一下·江苏南通·期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面平面．(1)求证：；(2)设平面与平面的交线为l，的中点分别为，证明：平面．【答案】见解析【分析】（1）证明，继而根据面面垂直的性质证明平面，根据线面垂直的性质即可证明结论；（2）延长交于点M，连接,证明平面，继而说明直线l为直线，即可证明结论.【详解】（1）证明：，∵设，∴，，,∴，∴，∴，∴，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，∵平面，∴．（2）延长交于点M，连接,∵，∴D为的中点，∵的中点为E，∴，不在平面内,∵平面，∴平面，又平面，平面，∴平面平面，即直线l为直线，∴平面．13．（2122高一下·江苏南通·期末）如图，是正方形所在平面外一点，，且平面平面，，分别是线段，的中点．(1)求证：(2)求证：平面(3)求点到平面的距离．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)【分析】（1）证明平面后由线面垂直的性质定理得线线垂直；（2）取中点，连接，，证明后可得线面平行；（3）由体积法求点面距．【详解】（1）因为正方形，又平面平面平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以．（2）取中点，连接，，在中，因为，分别是，的中点，所以，因为是正方形边中点，所以，所以，即四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面，故EF平面（3）如图，设，连接，因为，为中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，故平面，即是三棱锥的高由正方形边，所以因为，所以，设点到平面的距离为，因为，即，解得，所以点到平面的距离为．14．（2122高一下·江苏苏州·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为线段上的动点，为线段的中点.(1)若为线段的中点，证明：平面平面；(2)若平面，试确定点的位置，并说明理由.【答案】(1)见解析；(2)点为线段的三等分点，且靠近点处，理由见解析【分析】（1）根据题意结合线面垂直的性质、判定定理可证平面，进而证明结果；（2）利用线面平行的性质定理理解分析．【详解】（1）因为底面为正方形，，所以.因为为线段中点，所以在平面中，.因为底面底面，所以.又平面平面，所以平面.因为平面，所以.又平面平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.（2）如图，连接，交于点，连接.因为在正方形中，为线段中点，，所以，即.因为平面平面，平面平面，所以，所以，即，所以点为线段的三等分点，且靠近点处.15．（2122高一下·江苏南通·期末）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分别为棱AB，PC的中点，求证：(1)MN//平面PAD．(2)MN⊥CD．【答案】见解析【分析】（1）要证明线面平行，可转化为证明线线平行，取PD的中点E，证明四边形是平行四边形；（2）根据平行关系转化为证明，即证明平面PAD.【详解】（1）取PD的中点E，连接．因为E，N分别是的中点，所以且，又因为，M是AB中点，所以且，所以且，所以四边形AMNE是平行四边形，所以．

因为平面PAD，平面PAD，所以平面PAD（2）因为平面ABCD，所以，又，且，所以平面PAD，平面，所以，

又因为，所以．16．（2122高一下·江苏连云港·期末）如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥平面PAD，∠ABC＝90°，．求证：(1)AD∥平面PBC；(2)平面PBC⊥平面PAD．【答案】见解析【分析】（1）由线面平行的性质定理得线线平行，再由线面平行判定定理得结论；（2）由线面垂直得线线，然后又由线线垂直得线面垂直，从而证得面面垂直．【详解】