导数中的函数构造问题教学设计-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

导数中的函数构造问题教学设计-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册主备人备课成员教学内容分析本节课的主要教学内容为苏教版（2019）选择性必修第一册中关于导数中的函数构造问题。具体包括利用导数研究函数的单调性、极值以及最值，进而探讨如何通过已知导数的性质来构造满足特定条件的函数。

教学内容与学生已有知识的联系在于，学生已在之前的课程中学习了导数的定义、计算法则以及导数与函数单调性的关系。在此基础上，本节课将引导学生运用这些知识，通过构造特定导数的函数实例，进一步深化对导数性质及其应用的理解，如利用导数的符号变化构造函数的极值点，以及结合实际情境提出函数构造的需求。核心素养目标分析本节课的核心素养目标主要围绕数学抽象、逻辑推理和数学建模三个方面。通过导数中的函数构造问题，学生将提升以下能力：首先，培养学生从实际问题中抽象出数学模型的能力，即数学抽象素养，让学生理解导数概念在描述现实世界变化率中的应用。其次，通过分析导数性质和构造函数的过程，加强学生的逻辑推理素养，使其能够合理解释和论证导数与函数极值、最值之间的关系。最后，引导学生运用所学知识解决具体问题，提高数学建模素养，让学生在构造满足特定条件的函数过程中，体会数学知识在实际问题中的应用价值。学习者分析1.学生已掌握了导数的定义、计算法则、导数与函数单调性的关系等基础知识，能够运用导数分析简单函数的性质。此外，学生对极值、最值的概念有了初步了解，为学习本节课内容奠定了基础。

2.在学习兴趣方面，学生对数学问题的探究具有一定的热情，对于解决实际问题的数学建模过程表现出较高的兴趣。在能力上，学生的逻辑思维能力、运算能力较强，但空间想象能力和创新思维能力有待提高。在学习风格上，学生偏向于合作学习，喜欢通过讨论和分享来解决问题。

3.学生可能遇到的困难和挑战包括：在构造函数过程中，如何将实际问题抽象为数学模型；在分析导数性质时，对复合函数、隐函数等复杂函数的导数计算可能感到困惑；以及在面对不同类型的导数函数构造问题时，可能缺乏解题策略和灵活性。因此，教学中需关注这些方面的引导和辅导。学具准备Xxx课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学资源1.硬件资源：多媒体教学设备、投影仪、白板、计算器。

2.软件资源：数学教学软件（如几何画板、MathType）、PPT课件、教学视频。

3.课程平台：学校网络教学平台，用于发布预习资料、课件、课后作业等。

4.信息化资源：电子教材、在线数学题库、数学教育网站资源（不含网址）。

5.教学手段：讲授法、案例教学法、小组合作学习、问题驱动法、互动式教学。教学过程首先，让我们一起来回顾一下上节课的内容。我们学习了导数的定义及其计算法则，并探讨了导数与函数单调性之间的关系。今天，我们将在此基础上深入研究导数中的函数构造问题，看看如何利用导数来解决实际生活中的问题。

1.导入新课

（1）通过一个简单的实际问题引入新课：

同学们，你们在生活中有没有遇到过这样的问题：一个物体从高处自由落下，我们想知道它在落地前的某一时刻的速度是多少？这个问题可以通过导数来解决。现在，让我们看看如何利用导数来构造一个描述这个问题的函数。

（2）引导学生思考：如何根据已知的导数性质来构造一个具有特定条件的函数？

2.探究新知

（1）构造一个单调递增的函数

首先，我们知道，如果一个函数在某个区间内的导数大于0，那么这个函数在该区间内是单调递增的。现在，我们来尝试构造一个这样的函数。

请同学们观察以下函数：f(x)=x^2+2x+3。我们可以通过求导数来判断它的单调性。f'(x)=2x+2。当x>-1时，f'(x)>0，因此f(x)在区间(-1,+∞)上是单调递增的。

（2）构造一个具有极值的函数

请同学们思考以下函数：g(x)=x^2-2x+1。我们求它的导数：g'(x)=2x-2。当x=1时，g'(x)=0，这是一个极小值点。通过求二阶导数，我们可以验证这个点确实是极小值点。

（3）构造一个满足实际问题的函数

现在，我们回到之前提到的自由落体问题。假设物体在落地前的某一时刻的速度为v，我们需要构造一个描述这个问题的函数。

根据自由落体运动的公式，我们有v=gt（其中g为重力加速度，t为时间）。由此，我们可以构造一个关于速度v和时间t的函数：h(t)=gt。

3.应用与实践

（1）请同学们分组讨论，尝试构造一个具有特定条件的函数，并分析其单调性、极值等性质。

（2）针对每个小组的成果，进行课堂展示和点评。

4.总结与反思

本节课，我们学习了如何利用导数来构造满足特定条件的函数。通过这个学习过程，我们加深了对导数性质的理解，并学会了将实际问题抽象为数学模型。希望同学们在课后能够继续思考，将所学知识应用到实际问题中。

5.课后作业

（1）完成教材中关于导数函数构造的相关习题。

（2）思考一个实际问题，尝试利用导数来构造一个描述该问题的函数。学生学习效果1.知识掌握：

学生能够熟练运用导数的定义和计算法则，掌握导数与函数单调性之间的关系。他们能够根据已知导数的性质，构造出具有特定条件的函数，并分析这些函数的单调性、极值和最值。

2.抽象思维能力：

学生在解决实际问题时，能够将问题抽象为数学模型，运用导数的概念和性质来分析和解决问题。这种抽象思维能力在处理复杂函数构造问题时尤为重要。

3.逻辑推理能力：

在构造函数的过程中，学生需要运用逻辑推理能力来合理解释导数与函数性质之间的关系。通过课堂讨论和课后作业，学生能够更加熟练地运用逻辑推理来证明和验证数学结论。

4.数学建模能力：

学生通过小组合作和课堂实践，学会了如何将现实生活中的问题转化为数学模型。他们能够运用导数知识，构造出满足实际情境的函数，从而增强了数学建模能力。

5.解决问题策略：

学生在面对不同类型的导数函数构造问题时，学会了采用不同的解题策略。他们能够灵活运用所学知识，针对具体问题提出合理的解决方案。

6.合作学习能力：

在小组讨论和实践过程中，学生学会了倾听他人意见，表达自己的观点，并共同探讨解决问题的方法。这种合作学习能力有助于他们在学术和未来职业生涯中取得成功。

7.自主学习能力：

学生在课后作业和自主学习过程中，能够主动查阅资料、总结知识点，形成系统的知识体系。这种自主学习能力对于他们的长期发展具有重要意义。

8.应用意识：

学生意识到导数在现实生活中的广泛应用，如物理、经济等领域。他们能够主动将所学知识运用到实际问题中，提高了解决问题的能力。课堂1.课堂评价：

在课堂教学中，我将通过以下方式了解学生的学习情况，并及时发现问题进行解决：

（1）提问：针对课程内容的重点和难点，设计不同难度的问题，引导学生积极思考，并及时给予解答。通过学生的回答，了解他们对知识点的掌握程度，针对共性问题进行集中讲解。

（2）观察：在课堂教学中，关注学生的学习状态，观察他们是否积极参与讨论、认真完成练习。对于学习积极性不高或表现欠佳的学生，及时进行个别辅导，帮助他们克服困难。

（3）测试：定期进行课堂小测，检验学生对导数函数构造问题的掌握情况。通过测试成绩，分析学生的学习效果，为后续教学提供依据。

（4）课堂反馈：鼓励学生在课堂上提问，表达自己的观点，对学生的疑问和困惑给予耐心解答，帮助他们巩固所学知识。

2.作业评价：

对学生的作业进行认真批改和点评，及时反馈学生的学习效果，鼓励学生继续努力。

（1）批改作业：认真审查学生的作业，关注作业完成质量，对错误和不足之处进行标注，为学生提供改进方向。

（2）作业点评：在课堂上对学生的作业进行点评，表扬优秀作业，分析典型错误，引导学生从中吸取经验教训。

（3）个性化反馈：针对学生的作业表现，给予个性化的反馈，鼓励他们在导数函数构造问题上持续进步。

（4）鼓励与激励：对学生在作业中表现出的优点和进步给予肯定，激发他们的学习兴趣，增强自信心。板书设计①条理清楚、重点突出：

-导数的定义与计算法则

-导数与函数单调性的关系

-函数构造方法：

-单调递增函数：f'(x)>0

-单调递减函数：f'(x)<0

-极值点：f'(x)=0，f''(x)≠0

-实际问题中的函数构造

②简洁明了：

-极大值与极小值

-最大值与最小值

-导数的应用场景

③艺术性和趣味性：

-使用不同颜色的粉笔突出重点知识，如用红色表示极值点

-采用图形、箭头等符号，形象地表示函数单调性的变化

-创设有趣的实例，如自由落体运动中的速度与时间关系，激发学生学习兴趣重点题型整理1.构造单调递增函数：

题型：已知函数f(x)在区间I上单调递增，构造一个满足此条件的具体函数。

举例：构造一个在区间(-1,+∞)上单调递增的函数。

答案：f(x)=x^2+2x+3，因为f'(x)=2x+2>0，在区间(-1,+∞)上成立。

2.构造具有极值的函数：

题型：构造一个在给定点x=a处具有极值（极大或极小）的函数。

举例：构造一个在x=1处具有极小值的函数。

答案：g(x)=x^2-2x+1，因为g'(x)=2x-2，当x=1时，g'(x)=0，且g''(x)=2>0，所以x=1处为极小值。

3.构造实际问题中的函数：

题型：根据实际问题，构造一个描述问题情境的函数。

举例：一个物体从高处自由落下，速度v与时间t的关系。

答案：h(t)=gt，其中g为重力加速度，这是一个描述速度随时间变化的函数。

4.分析函数的单调性和极值：

题型：给定一个函数，分析其单调性和极值。

举例：分析函数f(x)=x^3-3x^2+2的单调性和极值。

答案：f'(x)=3x^2-6x，当x=0时，f'(x)=0，为极大值点；当x=2时，f'(x)=0，为极小值点。

5.利用导数求解实际问题中的最值：

题型：利用导数求解实际问题中的最大值或最小值。

举例：一个长方形的长为L，宽为W，求使得长方形面积最大的长和宽的比例。

答案：设长方形的宽为x，则长为L/x，面积为S(x)=Lx^2。求导得S'(x)=2Lx，令S'(x)=0，得x=0（舍去，因为宽度不能为0），所以x=√(L/2)时，面积最大，此时长宽比为2:1。教学反思与总结在本次教学过程中，我采用了问题驱动法和小组合作学习等教学策略，旨在引导学生主动探究导数中的函数构造问题。回顾整个过程，我发现以下几点值得反思：

1.教学方法的选择：通过设置实际问题，激发学生的学习兴趣，使他们能够更好地将理论知识与实际应用相结合。在今后的教学中，我将继续关注学生的兴趣点，将更多实际问题融入课堂，提高教学效果。

2.课堂互动的引导：在课堂提问和小组讨论环节，我注意到部分学生参与度不高，可能是因为问题难度较大或课堂氛围不够活跃。为此，我将在以后的教学中，适当调整问题难度，注重激发学生的思考，提高他们的参与度。

3.教学管理的把控：在课堂实践中，我发现部分学生对于导数的计算和应用仍存在困难。针对这一问题，我将在课后加强个别辅导，帮助学生巩固基础知识。

教学总结：

1.学生在知识方面的收获：通过本节课的学习，学生掌握了导数与函数单调性、极值和最值之间的关系，能够运用导数知识解决实际问题。

2.技能方面的进步：学生在小组合作学习中，提高了数学建模、逻辑推理和问题解决等能力