苏科版八年级数学上册重难点专题提优训练专题08解题技巧专题：共顶点的等腰三角形(原卷版+解析)

专题08解题技巧专题：共顶点的等腰三角形考点一共顶点的等腰三角形考点二共顶点的等边三角形考点一共顶点的等腰三角形例题：（2022·湖北黄石·中考真题）如图，在和中，，，，且点D在线段上，连．(1)求证：；(2)若，求的度数．【变式训练】1．（2021·山东·梁山县第二中学八年级阶段练习）如图，大小不同的等腰直角三角形△ABC和△DEC直角顶点重合在点C处，连接AE、BD，点A恰好在线段BD上．(1)找出图中的全等三角形，并说明理由；(2)猜想AE与BD的位置关系，并说明理由．2．（2022·安徽宿州·七年级期末）已知：和均为等腰直角三角形，点与点A重合，，，．(1)如图1，判断与的数量关系，并说明理由；(2)如图2，当点B、、在一条直线上时，__________°；(3)如图3，当点在边上时，试判断与的位置关系，并说明理由．3．（2022·江苏·八年级专题练习）已知中，；中，；，点A．D．E在同一直线上，AE与BC相交于点F，连接BE．(1)如图1，当时，①请直接写出和的形状；②求证：；③请求出的度数．(2)如图2，当时，若，，求线段AF的长．考点二共顶点的等边三角形例题：（2021·湖北·襄阳市樊城区青泥湾中学八年级阶段练习）如图，△ABC与△DCE为等边三角形，B、C、E在同一条直线上，连接AE、BD相交于点M，连接CM、GF有如下结论：（1）AE=BD（2）MG=MD（3）GFBE

（4）MC平分∠BME，其中正确的有________．【变式训练】1．（2022·山东青岛·七年级期末）如图，△ABC、△CDE均为等边三角形，连接BD、AE交于点O，BC与AE交于点P．求∠AOB的度数．2．（2020·湖南常德·八年级阶段练习）在数学探究课上，老师出示了这样的探究问题，请你一起来探究：已知：C是线段AB所在平面内任意一点，分别以AC、BC为边，在AB同侧作等边三角形ACE和等边三角形BCD，连接AD、BE交于点P．(1)如图1，当点C在线段AB上移动时，线段AD与BE的数量关系是：．(2)如图2，当点C在直线AB外，且∠ACB＜120°，上面的结论是否还成立？若成立请证明，不成立说明理由．此时∠APE是否随着∠ACB的大小发生变化，若变化写出变化规律，若不变，请求出∠APE的度数．(3)如图3，在（2）的条件下，以AB为边在AB另一侧作等边三角形△ABF，连接CF，可证得CF也经过点P，求证：PB+PC+PA=BE．3．（2022·辽宁沈阳·八年级阶段练习）已知与都是等边三角形，点B，C，D在一条直线上，点P为直线上一动点，（P不与B，C重合），连接，在的右侧作射线交直线于点Q，且，连接．(1)如图1所示，当点P在边上时，在边上截取，连接．①请在图1中补全图形并证明：；②请直接写出的形状；(2)当点P在直线上运动时，请直接写出线段，，三者之间的数量关系．4．（2022·河南郑州·七年级期末）在等边三角形中，点D为直线上一动点（点D不与点A，B重合），以为边在右侧作等边三角形，连接．(1)如图1，当点D在线段上时，①的度数为__________；②线段之间的数量关系为__________；(2)如图2，当点D在线段的延长线上时，请求出的度数以及线段之间的数量关系．专题08解题技巧专题：共顶点的等腰三角形考点一共顶点的等腰三角形考点二共顶点的等边三角形考点一共顶点的等腰三角形例题：（2022·湖北黄石·中考真题）如图，在和中，，，，且点D在线段上，连．(1)求证：；(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）证出∠BAD=∠CAE，由SAS证明△ABD≌△ACE即可；（2）先由全等三角形的性质得到，再由和都是等腰直角三角形，得到且，利用三角形内角和定理求出∠AEC的度数，即可求出∠CED的度数．（1）证明：∵，∴，即．在与中，，∴≌（SAS）；（2）解：由（1）得，又∵和都是等腰直角三角形，∴且，在中∵且∴，∴．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．【变式训练】1．（2021·山东·梁山县第二中学八年级阶段练习）如图，大小不同的等腰直角三角形△ABC和△DEC直角顶点重合在点C处，连接AE、BD，点A恰好在线段BD上．(1)找出图中的全等三角形，并说明理由；(2)猜想AE与BD的位置关系，并说明理由．【答案】(1)，理由见解析(2)，理由见解析【分析】（1）根据证明即可；（2）根据全等三角形的性质和垂直的定义解答即可．（1）解：，理由如下：，，即，在与中，，；（2）解：，理由如下：设与相交于点，在与中，，，，，．【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是根据得出与全等的解题的关键．2．（2022·安徽宿州·七年级期末）已知：和均为等腰直角三角形，点与点A重合，，，．(1)如图1，判断与的数量关系，并说明理由；(2)如图2，当点B、、在一条直线上时，__________°；(3)如图3，当点在边上时，试判断与的位置关系，并说明理由．【答案】(1)，理由见详解(2)90(3)，理由见详解【分析】（1）证明，由全等三角形的性质即可确定与的数量关系；（2）由等腰直角三角的性质以及全等三角形的性质即可得出结论；（3）由等腰直角三角的性质以及全等三角形的性质即可得出结论．（1）解：，理由如下：∵，即，∴，∴，∵，，∴，∴；（2）由（1）可知，，∴，∵，，∴，∴，∴．故答案为：90；（3），理由如下：∵，，，由（1）可知，，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．3．（2022·江苏·八年级专题练习）已知中，；中，；，点A．D．E在同一直线上，AE与BC相交于点F，连接BE．(1)如图1，当时，①请直接写出和的形状；②求证：；③请求出的度数．(2)如图2，当时，若，，求线段AF的长．【答案】(1)①△ABC和△DEC是等边三角形；②见详解；③60°；(2)4【分析】（1）①根据中，；中，，=60°，即可得到结论；②先证明△ACD≌△BCE，即可得到结论；③由∆ACD≌∆BCE得∠ADC=∠BEC，结合等边三角形的性质，即可求解；（2）延长BE、AC相交于点G，证明∆ACD≌∆BCE，得∠CAD=∠CBE，推出∠ACF=∠BEF=90°，证明∆ACF≌∆BCG以及∆AEB≌∆AEG，结合条件即可求解．（1）①∵，，∴，为等腰三角形，又∵，∴和是等边三角形；②∵∠ACB=∠ACD+∠DCB，∠DCE=∠BCE+∠DCB，∠ACB=∠DCE，∴∠ACD=∠BCE，又∵，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE；③∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC，∵∠ADC=180°-∠CDE=180°-60°=120°，∴∠BEC=∠CEF+∠AEB=120°，∵∠CEF=60°，∴∠AEB=120°-60°=60°；（2）延长BE、AC相交于点G，∵=90°，，，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CAD=∠CBE，∵∠AFC=∠BFE，∴∠ACF=∠BEF=90°，∴∠AEB=∠AEG=90°，在∆ACF和∆BCG中，∵，∴△ACF≌△BCG（ASA），∴AF=BG，∵∠CAF=∠BAF，∠AEB=∠AEG=90°，AE=AE，∴∆AEB≌∆AEG(ASA)，∴BE=GE=2，∴AF=4．【点睛】本题主要考查了等边三角形，等腰直角三角形，全等三角形等，熟练掌握等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定性质，全等三角形的判定和性质，“旋转全等”模型，是解题的关键．考点二共顶点的等边三角形例题：（2021·湖北·襄阳市樊城区青泥湾中学八年级阶段练习）如图，△ABC与△DCE为等边三角形，B、C、E在同一条直线上，连接AE、BD相交于点M，连接CM、GF有如下结论：（1）AE=BD（2）MG=MD（3）GFBE

（4）MC平分∠BME，其中正确的有________．【答案】（1）（3）（4）【分析】求出∠BCD＝∠ACE，利用SAS证明△BCD≌△ACE可得AE＝BD，∠CAF＝∠CBG，（1）正确；然后证明△ACF≌△BCG，可得CF＝CG，证明△CGF是等边三角形，求出∠CGF＝60°＝∠BCG，根据平行线的判定可得（3）正确；过点C分别作CP⊥BD于点P，CQ⊥AE于点Q，根据全等三角形对应边上的高线相等可知CP＝CQ，由角平分线的判定可得MC平方∠BME，（4）正确；由于条件不足，无法证明MG=MD，故（2）错误．【详解】解：∵△ABC，△DCE都是等边三角形，∴BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴AE＝BD，∠CAF＝∠CBG，（1）正确；∵∠ACF＝180°－∠ACB－∠DCE＝180°－60°－60°＝60°，∴∠ACF＝∠BCG＝60°，又∵AC＝BC，∴△ACF≌△BCG（ASA），∴CF＝CG，∵∠ACF＝60°，∴△CGF是等边三角形，∴∠CGF＝60°＝∠BCG，∴GFBE，（3）正确；过点C分别作CP⊥BD于点P，CQ⊥AE于点Q，∵△BCD≌△ACE，∴CP＝CQ，∴MC平方∠BME，（4）正确；条件不足，无法证明MG=MD，故（2）错误；正确的是（1）（3）（4），故答案为：（1）（3）（4）．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，角平分线的判定等知识，仔细观察图形，找出合适的全等三角形进行证明是解答本题的关键．【变式训练】1．（2022·山东青岛·七年级期末）如图，△ABC、△CDE均为等边三角形，连接BD、AE交于点O，BC与AE交于点P．求∠AOB的度数．【答案】∠AOB＝60°【分析】利用“边角边”证明△BCD和△ACE全等，可得∠CAE＝∠CBD，根据“八字型”求出∠BOP＝∠ACP＝60°即可．【详解】证明：∵△ABC和△ECD都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB＋∠BCE＝∠DCE＋∠BCE，即∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠CAE＝∠CBD，∵∠APC＝∠BPO，∴∠BOP＝∠ACP＝60°，即∠AOB＝60°．【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．2．（2020·湖南常德·八年级阶段练习）在数学探究课上，老师出示了这样的探究问题，请你一起来探究：已知：C是线段AB所在平面内任意一点，分别以AC、BC为边，在AB同侧作等边三角形ACE和等边三角形BCD，连接AD、BE交于点P．(1)如图1，当点C在线段AB上移动时，线段AD与BE的数量关系是：．(2)如图2，当点C在直线AB外，且∠ACB＜120°，上面的结论是否还成立？若成立请证明，不成立说明理由．此时∠APE是否随着∠ACB的大小发生变化，若变化写出变化规律，若不变，请求出∠APE的度数．(3)如图3，在（2）的条件下，以AB为边在AB另一侧作等边三角形△ABF，连接CF，可证得CF也经过点P，求证：PB+PC+PA=BE．【答案】(1)AD=BE(2)AD=BE成立，∠APE不随着∠ACB的大小发生变化，始终是60°，见解析(3)见解析【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠ACE＝∠DCB＝60°，CA＝CE，CD＝CB，根据全等三角形的判定定理得到△ECB≌△ACD（SAS），根据全等三角形的性质得出结论；（2）证明△ECB≌△ACD（SAS），由全等三角形的性质得出AD＝BE，∠CEB＝∠CAD，设BE与AC交于Q，证出∠APQ＝∠ECQ＝60°，则可得出结论；（3）同理可得△EAB≌△CAF，求出∠CPE=∠EAC=60°，在PE上截取PH＝PC，连接HC，可得△PCH为等边三角形，证明△CPA≌△CHE（AAS），由全等三角形的性质得出AP＝EH，则可得出结论．（1）解：∵△ACE和△BCD都是等边三角形，∴∠ACE＝∠DCB＝60°，CA＝CE，CD＝CB，∴∠ACE＋∠DCE＝∠DCB＋∠DCE，即∠ACD＝∠ECB，在△ECB和△ACD中，，∴△ECB≌△ACD（SAS），∴AD＝BE，故答案为：AD＝BE；（2）AD=BE成立，∠APE不随着∠ACB的大小发生变化，始终是60°，证明：∵△ACE和△BCD是等边三角形，∴EC=AC，BC=DC，∠ACE=∠BCD=60°，∴∠ACE+∠ACB=∠BCD+∠ACB，即∠ECB=∠ACD，在△ECB和△ACD中，，∴△ECB≌△ACD（SAS），∴AD=BE，∠CEB=∠CAD，设BE与AC交于Q，又∵∠AQP=∠EQC，∠AQP+∠QAP+∠APQ=∠EQC+∠CEQ+∠ECQ=180°，∴∠APQ=∠ECQ=60°，即∠APE=60°；（3）由（2）同理可得△EAB≌△CAF（SAS），∴∠AEB＝∠ACF，设BE与AC交于Q，则∠AQE＝∠PQC，∴∠CPE=∠EAC=60°，在PE上截取PH=PC，连接HC，∴△PCH为等边三角形，∴HC=PC，∠CHP=60°，∴∠CHE=120°，又∵∠APE=∠CPE=60°，∴∠CPA=120°，∴∠CPA=∠CHE，在△CPA和△CHE中，，∴△CPA≌△CHE（AAS），∴AP=EH，∴PB+PC+PA=PB+PH+EH=BE．【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．3．（2022·辽宁沈阳·八年级阶段练习）已知与都是等边三角形，点B，C，D在一条直线上，点P为直线上一动点，（P不与B，C重合），连接，在的右侧作射线交直线于点Q，且，连接．(1)如图1所示，当点P在边上时，在边上截取，连接．①请在图1中补全图形并证明：；②请直接写出的形状；(2)当点P在直线上运动时，请直接写出线段，，三者之间的数量关系．【答案】(1)①见解析；②等边三角形(2)或或【分析】（1）①根据题意作线段BM即可，由△ABC是等边三角形推出∠BAP=∠QPD，证明△BMP是等边三角形，得到∠AMP=120°，利用△CDE是等边三角形，求出∠ECP=180°-60°=120°，推出AMP=∠PCQ，由AB-BM=BC-BP，得到=PC，即可证得△AMP≌△PCQ；②根据全等三角形的性质得到AP=PQ，即可判断△APQ是等边三角形；（2）分三种情况：①当点P在线段BC上时，②当点P在射线BC的延长线上时，③当点P在射线CB的延长线上时，利用全等三角形的判定和性质证明三者之间的关系即可．（1）解：①在边上截取，连接．如图所示，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，AB=BC，∴∠BAP+∠APB=120°，又∵∠APQ=60°，∴∠APB+∠QPD=120°，∴∠BAP=∠QPD∵BM=BP，∠B=60°，∴△BMP是等边三角形，∴∠BMP=60°，∴∠AMP=120°，∵△CDE是等边三角形，∴∠ECD=60°，∴∠ECP=180°-60°=120°，∴∠AMP=∠PCQ，∵AB-BM=BC-BP，∴AM=PC，∴△AMP≌△PCQ；②∵△AMP≌△PCQ，∴AP=PQ，∵∠APQ=60°，∴△APQ是等边三角形；（2）①当点P在线段BC上时，如图，由（1）知，△AMP≌△PCQ，∴AM=PC，MP=CQ，∵AC=AB=BM+AM，∴AC=CQ+CP；②当点P在射线BC上时，如图，在BA延长线上截取AM=CP，连接MP，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，AB=BC，∵AM=CP，∴BM=BP，∴△BMP是等边三角形，∴BM=MP，∠M=60°，∵∠MAP=∠B+∠APB=∠APB+60°，∠CPQ=∠APB+∠APQ=∠APB+60°，∴∠MAP=∠CPQ，∵△CDE是等边三角形，∴∠ECD=60°，∴∠M=∠QCP，∴△MAP≌△CPQ，∴CQ=MP，∵BM=AB+AM，∴CQ=AC+CP；③当点P在射线CB上时，如图，延长AB至M，使BM=BP，∴△BMP是等边三角形，∴BM=MP，∠M=60°，∵∠MAP+∠APB=60°，∠APQ=∠APB+∠CPQ=60°，∴∠MAP=∠CPQ，∵△CDE是等边三角形，∴∠PCQ=∠ECD=60°，∴∠M=∠QCP，∵AB=BC，∴AB+BM=BC+BP，∴AM=CP，∴△MAP≌△CPQ，∴CQ=MP，∵AM=AB+BM，∴CP=AC+CQ；综上，线段，，三者之间的