江苏省南通市海安市实验中学2024-2025学年高三上学期学业质量统测（一）数学试题（解析）

实验中学2025届高三学业质量统测（一）数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设复数满足，则的共轭复数为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先利用复数的四则运算得到，再求的共轭复数即可.【详解】，的共轭复数为.故选：A2.已知函数y=fx的对应关系如下表，函数y=g123230A.3 B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】根据的图像可知，，根据表格即可求得.【详解】根据的图像可知，，根据表格可知，.故选：B3.设集合，且，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先解不等式得到，，再求集合C即可.【详解】对于，则，解得，即，对于，可得，即，所以且.故选：C.4.命题．若的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行求解即可．【详解】因为的一个充分不必要条件是，则是的真子集，，故选：D．5.设是定义域为的奇函数，，当时，，则（）A.1 B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根据奇函数的性质得到，从而得到，再计算即可.【详解】是定义域为奇函数，，当时，，所以，所以当时，，.故选：A6.我们知道当或时，.若，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由结合基本不等式和对数运算可知，由题意结合对数的运算性质可判断，即可得出答案.【详解】因为，，所以，因为，所以，所以，所以.故选：B.7.函数，对任意，且，都有，则的范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】首先设任意，且，构造函数得到y=gx在1,2为增函数，从而得到，恒成立，即可得到答案。【详解】设任意，不妨令，都有，等价于任意，且，都有，等价于任意，且，都有，设，，则函数y=gx在1,2则，恒成立。等价于，恒成立。因为在1,2为减函数，所以，即.故选：D8.若，则的最小值为（）A.2 B.C.1 D.【答案】B【解析】【分析】利用换元法可得，即可利用不等式求解.【详解】令，则，故，因此，故，故，最小值为，当且仅当时等号成立，即时取到等号，故选：B【点睛】关键点点睛：得，由基本不等式求解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，则（）A.在单调递增B.有两个零点C.的最小值为D.在点处切线为【答案】ACD【解析】【分析】首先求函数的导数，并判断函数的单调性，即可判断ABC，再根据导数的几何意义求切线方程，判断D.【详解】，，对于A，当时，，所以在1,+∞单调递增，故A正确；，得，当，f'x<0，当，f'x>0，所以当时，取得最小值，C正确，当时，，当时，，所以函数只有1个零点，故B错误，对于D，f1=0，，所以曲线y=fx在点1,f故选：ACD.10.设偶函数的定义域为，若为奇函数，则（）A.BC.函数的一个周期是6D.【答案】ABD【解析】【分析】函数是上的奇函数，令，求得，可判断A的正误,由题意得，令，可得，通过代换可求得，从而得到函数的周期，可判断BC的正误；根据函数的周期性和即可求解D.【详解】函数是上的奇函数，当时，，即，又为偶函数，故，故A正确；又，即，令，则，，①，令替换，上式化为：，②，由①②得：，即，函数的周期，故C错误；在①中，令替换得：，即，③由①③得：，即，函数的图象关于直线对称；故B正确，由于,故D正确，故选：ABD．11.已知，则（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】对选项A，利用作差法即可判断A错误.对选项B，构造函数再利用的单调性即可判断B正确，对选项C，构造函数再利用的单调性即可判断C正确，对选项D，构造函数再利用hx的单调性即可判断D错误.【详解】对选项A，因为所以，故A错误.对选项B，设，，所以在1,+∞为减函数，所以.因为，所以.又因为，所以，故B正确.对选项C，设，因为，所以在1,+∞为增函数，因为，所以，即，即，故C正确.对选项D，设，因为，设，x∈1,+，所以在1,+∞为增函数，因为，所以即，所以hx在1,+因为，所以，即，故D错误.故选：BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数则______．【答案】【解析】【分析】根据分段函数解析式代入即可求解.【详解】.故答案为：13.设幂函数，则不等式的解集为______．【答案】【解析】【分析】由是幂函数可得，再由幂函数的单调性和定义域解不等式即可得出答案.【详解】因为是幂函数，所以，则，因为函数的定义域为0,+∞，且，所以函数在0,+∞上单调递减，所以由可得：，解得：.故答案为：.14.已知曲线与有公共切线，则实数的最大值为______．【答案】【解析】【分析】先设出切点，求导得到切线方程，斜率截距对应相等，得到,构造函数，转化为存在性问题，最终求最值即可.【详解】设曲线与的切点分别为，，因为，，则两切线斜率，，所以，，所以，所以，即，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，即，即，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在每年的1月份到7月份，某品牌空调销售商发现：“每月销售量（单位：台）”与“当年的月份”线性相关．根据统计得下表：月份123456销量122133415263（1）根据往年的统计得，当年的月份与销量满足回归方程．请预测当年7月份该品牌的空调可以销售多少台？（2）该销售商从当年的前6个月中随机选取3个月，记为销量不低于前6个月的月平均销量的月份数，求的分布列和数学期望．【答案】（1）72台（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）计算出与后，借助回归直线过样本中心点即可得回归直线方程，再借助回归直线方程代入计算即可得解；（2）得出的所有可能取值后，计算每种取值对应概率即可得其分布列，借助分布列计算即可得其期望.【小问1详解】，，又回归直线过样本中心点，所以，得，所以，当时，，所以预测当年7月份该品牌的空调可以销售72台.小问2详解】因为，所以销量不低于前6个月的月平均销量的月份数为4，5，6，所以，，，，，所以的分布列为：0123.16.设公比为正的等比数列an前项和为，且成等差数列．（1）求an（2）若数列bn满足，求数列bn的前项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据等比数列求和计算求出公比，再根据等差中项列式基本量运算得出首项，最后应用等比数列通项公式计算即可；（2）根据（1）中计算得出,化简得出累加得出，最后应用裂项相消求和即得.【小问1详解】因为等比数列公比,，所以，即，是等差数列，所以，所以.【小问2详解】因为，所以所以，故，累加法得出，，.17.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，是中点，是中点．（1）证明：直线平面；（2）设，求平面与平面的夹角．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取的中点，连接，根据三角形中位线的性质得到，从而得到四边形为平行四边形，即.再利用线面平行的判定即可证明.（2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，再利用空间向量法求解即可.【小问1详解】取的中点，连接，如图所示：因为分别为的中点，所以且.又因为为的中点，所以且，所以且，即四边形平行四边形，所以，平面，平面，所以平面.【小问2详解】以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：，，，，，，，，设平面的法向量为n1=则，令得.，，，.设平面的法向量为，则，令，得.因为，所以平面与平面的夹角为.18.在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为、，点A在椭圆E上且在第一象限内，，点A关于y轴的对称点为点B．（1）求A点坐标；（2）在x轴上任取一点P，直线与直线相交于点Q，求的最大值；（3）设点M在椭圆E上，记与的面积分别为，，若，求点M的坐标．【答案】（1）（2）3（3）或【解析】【分析】（1）设，根据，得到，联立方程组，即可求解；（2）设P点坐标为，由，结合二次函数的性质，即可求解；（3）根据题意，得到点O到线段的距离，结合，求得点M到线段的距离应为，代入椭圆的方程，即可求解.【小问1详解】解：由椭圆的左，右焦点分别为，，设，因为，可得，整理得，又因为，联立方程组，解得，，所以点点坐标为.【小问2详解】解：设P点坐标为，则可得Q点坐标为，由，当时，取最大值，最大值为.【小问3详解】解：点的坐标为，点的坐标为，则点O到线段的距离，若，则点M到线段的距离应为，故M点的纵坐标为或，代入椭圆方程，解得M点的横坐标为或，故M点的坐标为或.19.已知函数．（1）当时，求曲线y=fx在点（2）当时，证明：曲线是轴对称图形；（3）若函数在上单调递减，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）证明详见解析.（3）【解析】【分析】（1）根据切点和斜率求得切线方程.（2）令，由求得的对称轴，也即曲线的对称轴.（3）由在区间上恒成立列不等式，通过构造函数，结合图象来求得实数的取值范围.【小问1详解】当时，，，则切点为.，则斜率为.所以曲线在点处的切线方程为.【小问2详解】当时，，则，由解得，令，，设，令，所以在区间上单调递减，且.，所以的图象关于直线对称