三角函数中的范围、最值问题讲义-2025届高三数学一轮复习VIP

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页三角函数中的范围、最值问题利用三角函数的性质解决，值域、求参数取值范围及解三角形中的最值与范围问题.是高考中的亮点.这类问题一般涉及到值域、单调性及周期性等性质.问题综合性强，能突出考察学生数学抽象、逻辑推理、数学运算与直观想象等核心素养.1.求三角函数值域相关问题：方法基本思路适合题型图象法首先利用三角公式将原函数化简整理为y=Asin（ωx+φ）+b的形式，然后借助题目中给定的x的范围，确定ωx+φ的范围，最后利用y=sinx的图象确定函数的值域求函数y=asinx+b，y=asinx+bcosx+c，y=asin2x+bsinx·cosx+ccos2x的最值问题换元法首先借助三角公式，把函数化成y=f（sinx）型，然后采用换元法，即令t=sinx∈[-1，1]，构造关于t的函数，然后根据具体的结构，采取相应的方法求解，常见的二次函数，求导法等求函数y=asin2x+bsinx+c，y=a·sinxcosx+b·（sinx±cosx）+c最值的问题需分析函数解析式的结构特征，看能否转化为有几何含义的式子结构，有时也可以把函数图象画出来，直接观察确定函数的值域将y=转化为斜率问题2.求三角函数参数范围（最值）问题：（1）正弦、余弦、正切函数的图象与性质（表中k∈Z）函数y=sinxy=cosxy=tanx图象定义域RRx≠kπ+函数y=sinxy=cosxy=tanx值域[-1，1][-1，1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在[2kπ-，2kπ+]上单调递增;在[2kπ+，2kπ+]上单调递减在[2kπ，2kπ+π]上单调递减;在[2kπ-π，2kπ]上单调递增在（kπ-，kπ+）上单调递增对称中心（kπ，0）对称轴x=kπ+x=kπ无（2）解决含参数的三角函数问题基本思路；若已知其在某区间上的单调性，求参数的取值范围时，一般先求出单调区间的一般形式，再根据集合间的关系可求参数的取值范围.3.求解三角形中的最值与范围问题基本思路：（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域；（2）利用均值不等式求得最值.求三角函数值域相关问题【例1】1．已知函数，则的最小值是．【变1】2．已知函数，则函数的最大值为.3．函数的最大值是.4．已知函数，求在区间上的最大值和最小值.5．函数（）的最大值是．【变2】6．若，则函数的值域是.【变3】7．设，则函数的最小值为．三角函数值域问题的解题思路1、配方法求最值：主要是利用三角函数理论及三角函数的有界性，转化为二次函数在闭区间上的最值问题，如求函数的最值，可转化为求函数上的最值问题.2、化为一个角的三角函数（利用辅助角公式），再利用有界性求最值：，其中tan=.3、（或）型，解出（或）利用（或）去解；或用分离常数的方法去解决.4、

换元法求最值：对于表达式中同时含有，与的函数，运用关系式一般都可采用换元法转化为t的二次函数去求最值，但必须要注意换元后新变量的取值范围.利用基本不等式法：利用基本不等式求函数的最值，要合理的拆添项，凑常数，同时要注意等号成立的条件，否则会陷入误区.求三角函数参数范围（最值）问题【例1】8．设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变1】9．若函数在区间内没有最值，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【变2】10．将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（

）A． B． C． D．【变3】11．将函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象经过点，则的最小值为（

）A． B． C． D．对于范围问题，一般采用子集的思想解决，特别是求取值范围的题目，可以先将参数当成已知，求出函数的单调区间、对称轴、对称中心等，再利用子集思想可求出参数值或参数的取值范围.三角形中的最值与范围问题【例1】12．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．【变1】13．若，则的最大值是.【变2】14．中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC.（1）求A；（2）若BC=3，求周长的最大值.【典例剖析】15．的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．16．函数的定义域为，值域为，则α的取值范围是（）A． B．C． D．17．已知中，角的对边分别为.若，则的最大值为（

）A． B． C． D．18．已知函数（其中，），为函数的一个零点，是函数图像的一条对称轴，且函数在区间上单调，则的最大值为（

）A．8 B．9 C．10 D．1119．已知函数，，，的部分图象如图所示，则使成立的的最小正值为A． B． C． D．20．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2csinC＝(a＋b)(sinB－sinA)，则当角C取得最大值时，B＝（

）A． B． C． D．21．在中，角所对的边分别为，已知，且的面积，则周长的最大值是（

）A． B． C． D．22．（多选题）设函数向左平移个单位长度得到函数，已知在上有且只有个零点，则下列结论正确的是（

）A．的图象关于直线对称B．在上有且只有个最大值，在上有且只有个最小值C．在上单调递增D．的取值范围是23．已知函数，则下列结论正确的是（

）A．函数的最小正周期为B．函数的最大值为C．函数的图象关于点对称D．函数的图象关于直线对称24．在中，，，则当的面积取得最大值时，边上的高为.25．已知函数，若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为.26．设a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，．(1)求角A的大小；(2)从下面两个问题中任选一个作答，两个都作答则按第一个记分．①设角A的角平分线交BC边于点D，且，求面积的最小值．②设点D为BC边上的中点，且，求面积的最大值．27．在中，角的对边分别为的面积为1.(1)若，边上的高分别为，求；(2)当取最小值时，求的周长.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．【分析】方法一：由，确定出函数的单调区间，减区间，从而确定出函数的最小值点，代入求得函数的最小值.【详解】［方法一］：【通性通法】导数法．令，得，即在区间内单调递增；令，得，即在区间内单调递减．则．故答案为：.［方法二］：三元基本不等式的应用因为，所以．当且仅当，即时，取等号．根据可知，是奇函数，于是，此时．故答案为：.［方法三］：升幂公式＋多元基本不等式，，当且仅当，即时，．根据可知，是奇函数，于是．故答案为：.［方法四］：化同角＋多元基本不等式+放缩，当且仅当时等号成立．故答案为：.［方法五］：万能公式＋换元+导数求最值设，则可化为，当时，；当时，，对分母求导后易知，当时，有最小值．故答案为：.［方法六］：配方法，当且仅当即时，取最小值．故答案为：.［方法七］：【最优解】周期性应用＋导数法因为，所以，即函数的一个周期为，因此时，的最小值即为函数的最小值．当时，，当时，因为，令，解得或，由，，，所以的最小值为．故答案为：.【整体点评】方法一：直接利用导数判断函数的单调性，得出极值点，从而求出最小值，是求最值的通性通法；方法二：通过对函数平方，创造三元基本不等式的使用条件，从而解出；方法三：基本原理同方法三，通过化同角利用多元基本不等式求解，难度较高；方法四：通过化同角以及化同名函数，放缩，再结合多元基本不等式求解，难度较高；方法五：通过万能公式化简换元，再利用导数求出最值，该法也较为常规；方法六：通过配方，将函数转化成平方和的形式，构思巧妙；方法七：利用函数的周期性，缩小函数的研究范围，再利用闭区间上的最值求法解出，解法常规，是该题的最优解．2．.【分析】由三角恒等变换化简后，令换元后得，利用导数求函数最大值即可.【详解】因为，令，则，，令，解得，当时，在上是减函数；当时，在上是增函数；当时，在上是减函数，又，，由此，得在时取得最大值，最大值为，故的最大值为.故答案为：3．【详解】注意到，函数式可视为定点与动点连线的斜率，而动点的轨迹是一个单位圆.设过点的直线方程为.当斜率取最大值时，该直线应是单位圆的一条切线，于是，原点到该直线距离为1.故.因此，函数的最大值为.4．最大值为+1，最小值为0.【分析】利用三角函数恒等变换转化为正弦型三角函数，根据自变量取值范围，利用正弦函数图象与性质求最值即可得解.【详解】因为，当时，.由正弦函数在上的图象与性质知，当，即时，取最大值；当，即时，取最小值0.综上，在上的最大值为，最小值为0.5．1【详解】化简三角函数的解析式，可得，由，可得，当时，函数取得最大值1．6．【分析】令换元，根据辅助角公式化简后求出的范围，原函数转化为关于的二次函数，求值域即可.【详解】，∴，∴，令，则，，，故当t＝1时，函数y取得最小值为1，当t时，函数y取得最大值为，故函数的值域为，故答案为：7．【分析】根据平方关系和二倍角公式可将函数化为，再根据基本不等式即可求出最小值．【详解】因为当且仅当时，即时，函数的最小值为．故答案为：．【点睛】本题主要考查三角函数最值的求法应用，涉及平方关系，二倍角公式，基本不等式的应用，属于基础题．8．C【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．【详解】解：依题意可得，因为，所以，要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：

则，解得，即．故选：C．9．A【分析】根据题意可得函数在区间内单调，故可先求出函数的单调区间，再根据区间为单调区间的子集得到关于的不等式组，解不等式组可得所求．【详解】解：函数的单调区间为，由，得．函数在区间内没有最值，函数在区间内单调，，解得由，得．当时，得，当时，得，又，故，综上得的取值范围是故选A10．C【分析】先由平移求出曲线的解析式，再结合对称性得，即可求出的最小值.【详解】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，解得，又，故当时，的最小值为.故选：C.11．D【解析】先逆用两角和的正弦公式化简可得，再根据的图象变换规律，可得变换后的解析式为，将点代入解方程并结合，即可求出的最小值．【详解】所以将函数的图象向右平移个单位，得到的函数图象对应的函数解析式为，再向上平移1个单位，得到的函数图象对应的函数解析式为，因为所得图象经过点，所以，所以，所以，所以，又，所以当时，取得最小值．故选：D．【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式的逆用，三角函数图象的平移变换及三角方程的解法．12．(1)；(2)．【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将化成，再结合，即可求出；（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出．【详解】（1）因为，即，而，所以；（2）由（1）知，，所以，而，所以，即有，所以所以．当且仅当时取等号，所以的最小值为．13．【详解】设，则，根据面积公式得，①根据余弦定理得，，将其代入①式得，，由三角形三边关系有，解得，故当时，取得最大值考点：解三角形点评：主要是考查了三角形的面积公式的运用，属于基础题.14．（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出的形式，进而求得；（2）方法一：利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，进而得到结果.【详解】（1）由正弦定理可得：，，，.（2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式由余弦定理得：，即.（当且仅当时取等号），，解得：（当且仅当时取等号），周长，周长的最大值为.[方法二]：正弦化角（通性通法）设，则，根据正弦定理可知，所以，当且仅当，即时，等号成立．此时周长的最大值为．[方法三]：余弦与三角换元结合在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．由余弦定理得，即．令，得，易知当时，，所以周长的最大值为．【整体点评】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决.方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题.15．(1);(2).【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得.(2)根据三角形面积公式，又根据正弦定理和得到关于的函数，由于是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算的定义域，最后求解的值域.【详解】(1)[方法一]【最优解：利用三角形内角和为结合正弦定理求角度】由三角形的内角和定理得，此时就变为．由诱导公式得，所以．在中，由正弦定理知，此时就有，即，再由二倍角的正弦公式得，解得．[方法二]【利用正弦定理解方程求得的值可得的值】由解法1得，两边平方得，即．又，即，所以，进一步整理得，解得，因此．[方法三]【利用正弦定理结合三角形内角和为求得的比例关系】根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得．，，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以.(2)[方法一]【最优解：利用锐角三角形求得C的范围，然后由面积函数求面积的取值范围】因为是锐角三角形，又，所以，则．因为，所以，则，从而，故面积的取值范围是．[方法二]【由题意求得边的取值范围，然后结合面积公式求面积的取值范围】由题设及（1）知的面积．因为为锐角三角形，且，所以即又由余弦定理得，所以即，所以，故面积的取值范围是．[方法三]【数形结合，利用极限的思想求解三角形面积的取值范围】如图，在中，过点A作，垂足为，作与交于点．由题设及（1）知的面积，因为为锐角三角形，且，所以点C位于在线段上且不含端点，从而，即，即，所以，故面积的取值范围是．

【整体点评】(1)方法一：正弦定理是解三角形的核心定理，与三角形内角和相结合是常用的方法；方法二：方程思想是解题的关键，解三角形的问题可以利用余弦值确定角度值；方法三：由正弦定理结合角度关系可得内角的比例关系，从而确定角的大小.(2)方法一：由题意结合角度的范围求解面积的范围是常规的做法；方法二：将面积问题转化为边长的问题，然后求解边长的范围可得面积的范围；方法三：极限思想和数形结合体现了思维的灵活性，要求学生对几何有深刻的认识和灵活的应用.16．A【分析】由同角三角函数关系化简后换元，得二次函数，利用二次函数单调性可知，即，据此结合余弦函数图象与性质可得的范围.【详解】由，令，得：，二次函数开口向下，对称轴为，因为，所以函数为递增函数，因为当时，，当时，，所以，即时，，使函数的值域为，所以由余弦函数图象与性质可知，，所以的取值范围是：．故选：A17．C【分析】利用正弦定理边化角，可得，再次角化边可得关系，利用余弦定理和基本不等式可求得的最小值，进而得的最大值，再求即可得答案.【详解】解：∵,\∴，∴由正弦定理得：，即，，则，（当且仅当，即时取等号），的最小值为.∵，∴，∴的最大值为.故选：C.18．B【分析】根据函数的零点和对称轴得到，从而得到；再根据函数在区间上单调得到，从而得到；进而可得，然后再验证时函数在区间上不单调，从而得到.【详解】因为为函数的一个零点，且是函数f（x）图像的一条对称轴，所以，所以，所以；因为函数在区间上单调，所以，即，所以，所以，又因为，所以，当时，，又，所以函数在区间上不单调，所以舍去；当时，，又，，所以函数在区间上单调，所以.故选：B.19．B【分析】结合图象由最值可求，由，可求，结合图象及五点作图法可知，，可求，再求出函数的对称轴方程即可求解．【详解】解：结合图象可知，，，，，，，，结合图象及五点作图法可知，，，，其对称轴，，成立，即的图象关于对称，结合函数的性质，满足条件的最小值故选：．【点睛】本题主要考查了由的图象求解函数解析式，解题的关键是正弦函数性质的灵活应用，属于中档题．20．D【分析】利用正弦定理化简已知条件，结合余弦定理与基本不等式求得的最大值，再通过三角形的形状，即可求得此时对应的.【详解】由正弦定理得2c2＝(a＋b)(b－a)，即b2－a2＝2c2．又cosC＝＝≥＝.当且仅当3a2＝b2，即b＝a时，cosC取到最小值，从而角C取到最大值.当b＝a时，3a2－a2＝2c2，则a＝c．所以A＝C＝，从而B＝π－A－C＝π．故选：.21．B【分析】由已知利用三角形的面积公式可求的，进而可得，，由余弦定理，基本不等式可求，根据三角形的周长即可求解其最大值．【详解】，即，又，解得，，又，由余弦定理可得：，，即当且仅当时取等号，则周长的最大值是，故选：B22．CD【分析】由图象平移得到函数解析式，求出正弦型函数的对称轴判断A，作出函数大致图象，根据条件可判断位置，据此可得出函数极大值与极小值的个数判断B，求出函数在轴右侧第5个和第6个零点，由求出范围判断D，再由图象知函数在上递增，利用范围可知，据此即可判断C.【详解】依题意得，，如图：对于，令，得，所以的图象关于直线对称，故不正确；对于B，因为在上有且只有个零点，根据图象可知，，在有个极大值点，在有个或个极小值点，故B不正确；对于D，因为，所以，解得，所以D正确；对于C，因为，由图可知在上递增，因为，所以，所以在上单调递增，故C正确．故选：CD．23．BD【解析】首先要熟悉的图象和性质，将在轴下方的图象沿轴翻折(轴上方的图象不变)，可以得到函数的图象，并判断选项.【详解】由题意，将在轴下方的图象沿轴翻折(轴上方的图象不变)，可以得到函数的图象，故函数的最小正周期为，故A错误；函数的最大值为，故B正确；函数的图象是由在轴下方的图象沿轴翻折(轴上方的图象不