2023年高考数学一轮复习：复数 单元测试卷含答案解析

2023年高考数学一轮复习单元测评卷

复数

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.(2021•浙江高考真题)已知(l+〃i)i=3+i,(i为虚数单位)，则。=()

A.-1B.IC.-3D.3

2.(2021•北京高考真题)在复平面内，复数z满足(l-i)z=2,则2=()

A.2+/B.2-zC.\-iD.1+i

3.(2021•全国高考真题(理))设2卜+习+3卜一今=4+6，，贝ijz=()

A.1-2/B.1+2ZC.1+iD.1-i

4.复数z满足归一2|=1,则目的最大值为()

A.1B.y/2C.3D.y/3

5.欧拉公式，0=cose+isin。(c是自然对数的底数，i是虚数单位)是由瑞士著名数学

家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，则

|屋-2,的最小值等于()

A.0B.1C.2D.3

6.设z是复数，则下列命题中正确的是()

A.若z是纯虚数，则z?3oB.若z的实部为0,贝ijz为纯虚数

C.若z-W=O,则z是实数D.若z+W=0,则z是纯虚数

7.若复数z满足|z—l+iHl-2i],其中i为虚数单位，则z对应的点怀对满足方程()

A.(x-l)2+(y+l)2B.(x-l)2+(y+l)2=5

C.(x+l)2+(y-l)2D.(x+l)2+(y-l)2=5

8.已知i是虚数单位，若复数空=l+i,其中agsR,则。+〃等于()

b-i

A.1B.5c.V13D.13

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.

9.一个到数集X称为某种运算的，和谐集”是指X满足性质:①XCC；②Va,8WX对某种规

定的运算。㊉b,都有。㊉则下列数集X是相应运算的“和谐集”的是（）

A.X={xec\x=in,\/neZ},其中i是虚数单位，规定运算:〃㊉反〃.力，（Va,beX）

B.X={XGC|XX=1},规定溶算：。㊉=X）

b

C.X={XGC||,r|<1},规定运算:.瓦（Va,bQX）

D.X={xec||x|+|y|<|x-j?|,y=l+z|,规定运算:a㊉6a+6,（Va,bWX）

10.设z为复数，在复平面内z、1对应的点分别为p、Q,坐标原点为。，则下列命题中

正确的有（）

A.当Z为纯虚数时，P,O,Q三点共线

B.当z=l+i时，△尸OQ为等腰直角三角形

C.对任意复数z,OP^OQ

D.当z为实数时，OP=OQ

11.设是复数，则下列命题中的真命题是（）

A.若|Z]—z?|=0,则4=z,

B.若Z]=々,则Z]=z2

，z

c.若㈤=区|,则马・4=z22

D.若㈤=团,则z：=z；

12.1487年，瑞士数学家欧拉发现了复:指数函数和三角函数的关系，并写下公式

ei6=cos9+isin。，这个公式在复变函数中有非常重要的地位，即著名的“欧拉公式”，被

誉为“数学中的天桥”，据欧拉公式，则（）

sri

xiT4.

A.eT=iB.e=1

ni»i

ne4+e4

cos—=--------

42

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.复数z（i为虚数单位），则z的虚部是____.

1-2/

14.已知z为纯虚数，若（z+l）（2+i）在复平面内对应的点在直线x-y=0上，则7=

15.若复数z在复平面内所对应的点的坐标为卷与，则.

\/

TC4

16.在复平面内，设点4、P所对应的复数分别为成8s（2…-）+/sin（2/-二"）（i为虚数单位）,

33

则当f由2连续变到巴时，向量正所扫过的图形区域的面积是___________.

124

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.己知关于五的方程％2—3Q一3。=0（。£火）的虚数根为片、x2.

（1）求k|+|xj的取值范围；

（2）若归一切=1,求实数学的值.

18.在复平面内复数4、Z?所对应的点为Z1、Z2,。为坐标原点，i是虚数单位.

（1）=1+2/,Z2=3-4/,计算Z/Z2与鬲•西；

（2）设Z]=〃+bi,z2=c+di（a,b,c,dGR）,求证：[西♦汉]«区/2],并指出

向量西、运满足什么条件时该不等式取等号.

19.已知复数z满足|z|=0,z?的虚部为2.

（1）求复数z；

（2）设兔数Z、z?、Z-Z?在复平面上对应点分别为A、B、C,求（7+瓦）•元的

值.

20.己知复数z满足回=J5,z?的虚部为2,

（1）求复数z；

（2）设z/2,z-z2在复平面上对应点分别为AB,C,求AABC的面积.

21.已知复数4=cosa+isina,z2=cos^-zsin^,且马-z2二（+,其中i为虚

数单位，求cos（a+/7）的值.

22.（2021•湖南株洲市•高三二模）己知兔数Z〃=%+b/（4，2wA）,满足

4=l,Z“.1=Z；+l+2i（〃£N"）,其中i为虚数单位，卫表示Z〃的共枕复数.

（1）求体|的值;

7

（2）求右叫

答案及解析

1.【答案】C

【解析】(1+出)，=，-。=-a+i,

利用复数相等的充分必要条件可得：—。=3,.二。二一3.

2.【答案】D

22(l+z)2(1+/)

【解析】由题意可得：z=—\7=-4-^=1+/.

1-z+2

3.【答案】C

【解析】设z=a+〃i,则］=〃一儿，则2(z+z)+3(z-z)=4o+6bi=4+6i,

4。=4

所以，，，解得因此，z=l+z.

6b=6

4.【答案】C

【解析】设z=x+W(x,ywR),

・・・|z-2|=l,.■.复数z对应点Z(x,y)在以A(2,0)为圆心，1为半径的圆上运动.

由图可知当点Z位于点8(3,0)处时，点Z到原点的距离最大，最大值为3.

故选：C.

5.【答案】B

［解析］由题意知上2-2f|=|cos^+(sin夕一2川=^cos2+(sin-2)2=j5-4sin。，

所以当sin6=l时，|,一2,取得最小值1.

6.【答案】C

【解析】对于A选项，若Z为纯虚数，可设Z=〃(b£尺人工0),则Z2=T?2<0,A选

项错误；

对于B选项，取z=0，则Z为实数，B选项错误；

对于C选项，设z=4+〃(a,/?£R),则z_W=%i=O，则b=0，.•.znawR,C选项

正确：

对于D选项，取z=0，则z+z=O，但z=OeR,D选项错误.

7.【答案】B

【解析】设2=工+»”，蚱R),代入|zT+/|=|l-2Z|得：(x-l)2+(y+l)2=5.

8.【答案】B

【解析】因为复数誓=l+i,

b-i

所以〃+i=(l+i)(b-i)即a+i=b+l+(b-l)i,

a=b+\[。=3

根据复数相等得到《，।।,解得〈分，

b-\=\[b=2

所以a+〃=5,

9.【答案】ABCD

n

[解析】对于A,设a=产yb-i-(%，巧£Z)则a^b=ab=产+叱/：nvn2GZ,:.n[+n2GZ,

所以产+〃2£X,即4㊉bwX,故A正确;

da

对于B,Ya、bGX，则aa=1,应，故=L/.—eX,即a㊉〃eX,故

bbb

B正确;

对于cya,beX，贝！||a|vl,V|vl,.・.|ab|=|a||b|vl,即。方gX,即aebeX，故C正确：

对于D,由于在复数范围内，|司=凶,国=N，

所以由I可+|可<|x-y|Tx|+ly区卜一乂，有复数的模的不等式得到存在实数&W0,使

得不=切化40),又y=l+i,于是xeXd存在实数攵《0,使得x=Z(l+i),

X,a=Ml+i),Z?=Z'(l+i)(Z«0,ZW0).所以a^b=a+b=(Z+Z')(l+i),因为

AWO/WO,.•.4+/40,所以即。㊉方EX，故D正确;

10.【答案】ABD

【解析】设2=。+4（〃/£/?）,则]=a—4，

对A：当Z为纯虚数时，z=bi（b^o）£=一从•对应的点分别为P（o,。）、0（0,®,O,RQ

均在y轴.匕所以P,。,。三点共线，故A正确：

对B：当z=l+i时，三=17,所以P。/），。（1,一1）,所以|OP|=|OQ|=&，而|PQI=2,

所以|OP『+|OQ|2二|PQ|2,所以△尸。。为等腰直角三角形，故B正确；

对C：丽=（〃为）,而=（〃,一6）.当b=0时，OP=OQ,故C错误；

对D：当z为实数时，z=z=a^此时。声=丽=（凡0），故D正确.

11.【答案】ABC

【解析】对于A，若B-zJuO,则Z]-Z2=0,Z1=Z2,所以％=%为真；

对于B，若Z1=7，则Z[和Z?互为共规复数，所以Z=Z?为真；

对于C，设Z]=4+始,22=。2+4，4,4，出也€1i,

若|马|="|,则击：十月=Jw+月，即。:+力:=塔+照，

所以Z[•%=a；+月=a；+b；=Z2'Z2,所以4吃=z2-z2为真；

对于D，若4=1*2=i,则匕|=同,而z：=l,z；=_l,所以z；=z；为假.

12.【答案】ABD

【解析】因为e㈤=cosO+isin。

m

所以e?=cos2+isin^=i,故A正确

22

71..71(7t\..(

xiJticos—+isin—+cos——H-isin——

e4+e44I4)I4)cosa故口正确

2

3

13.【答案】-

1+i_(l+i)(l+2i)_T+3i_13.3

【解析】i^21-(l-2z)(l+2z)-5_55l因此，复数z的虚部为,

3

故答案为：j.

14•【解析】设z=ai(awR),则(z+l)(2+i)=(l+ai)(2+i)=2-a+(2a+l)i.

因为2—a+(2tz+l)7•对应的点为(2—a,2rz+l),所以2-々=2〃+1,

解得々=1,故z=1i.

33

15.【答案】0

【解析】由已知可得z=-L+且i,z(15j163175.

---1---1=—------1-----=------------1f

222242422

j-rIU"2021-^,3x673+2二,2-f1G1G；1n

所以，Z-Z=Z—Z=Z—Z=-------------1---------------1=0.

22I22

\/\/

16.【答案】J

o

71

【解析】由题意可得，点P在单位圆上，点A的坐标为（0,乃），如图：当时，点P

71

的坐标为《，当，二时，点P的坐标为E型1，向量衣所扫过的图形

2'22"2

区域的面积是△人4巴的面枳与弓形的面积之和.

由于＜，鸟关于实轴对称，所以AA[K的面积等于的面积（因为这两个三角形同底

且等高），故向量Q所扫过的图形区域的面积是扇形片。乙的面积.

因为/＜。B=2x—=—,所以扇形F\OP2的面积为等于二x二~x1~=—

63236

故答案为：7

O

17.【答案】（1）（0,4）；⑵&=_|士?

4

【解析】由题意知，A=9/+124＜0，则一5＜。＜0，石+超=3〃，x}-x2=-3a

⑴|%|=何，\^\^\^\=2\^\=2>[^=2y/x^=2\[-3a

因为一§＜々＜0,所以0＜2\f-3a＜4,故㈤+|目的取值范围是（0,4）.

2

（2）1=1%）-x2|=|（__北2）[=卜1十垃一钻七卜阳+⑵]

因为9。2+12。＜0，所以19a2+12。一一1，所以。二一2土立

33

18.【答案】(1)ZZ(2)证明详见解析，当"=cd时.

I-2=11+2/,OZCOZ^=-5.

【解析】解：(1)

Z1-Z2=(1+2Z)(3-4Z)=11+2Z

鬲=(1,2),西=(3,-4)

所以QZ/OZ2=-5

证明(2)vZj=a+bitz2=c+di

4-z2=(ac-bd)+(ad+bc)i

2

:.\z}-z2|=(ac-bdy+(ad+be)?

OZ、=(a,0),OZ2=(c,d)

.•.西.西二改+切，|西.匈2=3+切)2

:.\z[-\OZ{OZ2F=(ac_bd『+(ad+6c『_(ac+Z?d1

=(ad+bcy-4ac.bd=(ad-ch)?>0

所以|反一应2目2-2|,当且仅当。d=仍时取"=此时西〃西.

19•【答案】⑴z=l+i或z=-l—i；⑵-2

【解析】⑴设Z=a+bi,由题，可得上卜/77^=0,22=(a+〃)2=(42―/)+2时八

••.Z2的虚部为2

a1+b2=24=1[a=-1

2ab=2b=l伍=T

故z=l+i或z=-l-i

(2)由(1)可知z2=2i,即8为(0,2),・•.瓦=(0,2)

当z=l+i时，即A为(1」)，.•.丽二(1,1),此时z—z2=l—i，即C为(1,一1),..•岳=(1,一1)

，方+丽=(1,3)

•.(砺+砺)衣=lxl+3x(-l)=-2

当z=—1—i时，即A为(-1,-1),「.OA=(—1,—1),此时z—z2——1—3?，即C为(-1,-3),

二.砺+丽=(T1)

(QA+Ofi)OC=(-l)x(-l)+lx(-3)=-2

综上，(西+而)•元二-2

20.【答案】⑴1+i或一l—i；(2)1

【解析】解：(1)设z=a+bi(a,b£R),

Ja2+b2=\/2[a2+b2=2

由已知可得：r，即《，