高考新课标全国卷ⅱ理科数学第20题

说题主讲人：福建省龙岩市第二中学王慕华学科：高中数学联系电话题出自2013年高考新课标全国卷Ⅱ理科数学第20题。

平面直角坐标系中，过椭圆：(

)右焦点的直线交于两点，为的中点，且的斜率为。（1）求的方程;（2）为上的两点，若四边形的对角线⊥，求四边形面积的最大值.全国卷Ⅱ理数第20题

二、说解题思路一、说考点分析和思想方法三、说变式、推广和拓展四、说反思和感悟五、说高考链接说题流程1.根据已知条件确定椭圆方程2.直线与圆锥曲线的位置关系3.与圆锥曲线有关的最值问题一、说考点分析、思想方法本题考点

4.涉及的知识点①椭圆的标准方程;②椭圆的简单几何性质;③两点间的斜率公式;④两点间的的距离公式;⑤能用解方程组的方法求两直线的交点坐标⑥直线方程及两直线垂直时两直线斜率的关系（一）

本题设问直接、简洁，给考生似曾相识的感觉，但考生必须要克服定势思维的影响，认真分析题意，根据已知条件合理假设未知量，构造方程组，在运算中合理选择算法、算理，同时要有耐心细致的品质，才能准确地得到所要的结论.1.本题第一问考查了方程思想，考查的主要方法为待定系数法，而在用待定系数法求椭圆方程时，又着重考查了点差法的巧妙使用.2.本题第二问重点考查了函数与方程思想、数形结合思想(在探究CD最长时用到这一思想).3.本题两问均深入考查了化归与转化思想,突出考查了韦达定理和直线与圆锥曲线相交弦的弦长公式,在化简运算过程中，注重考查整体代换的思想，尤其是考查考生在面对多个未知参数时如何处理主元与辅元的关系.（二）思想方法二、说解题思路

由此可得方法总结：待定系数法及方程思想的应用.

问（1）的解法（一）：点差法问（1）的解法（二）.点评:本解法利用代入消元,巧用韦达定理,寻找a,b之间的关系.方程思想的应用由条件得直线OP的方程为问(1)的解法（三）.点评:因半焦距c已知，利用a，b，c的关系先用b表达a元，再利用直线OP的斜率已知，构造方程求解，凸显化简方程的意识。问(2)的解法

B由题意可设得直线CD的

方法总结：因线段AB的长度可求，为了表达四边形ACBD的面积，此解法在于巧用C,D两点的横坐标表达线段CD的长，从而构造面积S关于m的函数关系式，再利用函数的最值求法求得面积的最大值，这种解法为通法。问(2)的解法初步优化点评:通过两点间的弦长公式巧用设而不求的思想，简化计算.

问(2)的解法进一步优化.点评:此法利用椭圆的对称性，从特殊角度出发求解，进一步简化了计算.

拓展变式推广三、说变式、推广、拓展变式1：已知条件不变，把问题（2）改为，设直线OP与椭圆M交于不同的两点C、D,求：四边形ACBD的面积。变式2：平面直角坐标系中过椭圆：()右焦点的直线交于两点，为的中点，且的斜率为.(1)求的方程;变式变式3：平面直角坐标系中，过抛物线：

焦点的直线交于两点，

(Ι)求的方程;（Ⅱ）为上的两点，若四边形的对角线⊥，求四边形面积的最大值。(Ι)（Ⅱ）已知条件不变，把问题2推广为，过椭圆M右焦点的两条互相垂直的直线，与椭圆M交于C、D的两点，与椭圆M交于E、F两点.求证：四边形CEDF的面积是否存在最大值，若存在最大值，则求此最大值，若不存在则说明理由.推广点评:本题解法用到了分类讨论、整体换元、函数与方程，数形结合，特殊与一般等重要的数学思想，比原题更能考查考生综合运用所学知识解决问题的能力，更能考查考生的数学素养，当然在求函数最值时也可利用导数求解。拓展点评:拓展后的运算求解全部涉及字母运算，要求考生有较强的运算能力，同时要有锲而不舍的个性品质才能得出相关的结论。反思1：椭圆一直是高考解答题中考查解析几何知识的重要载体，在解题教学中应狠抓双基，重视基本技能的培养，同时要特别注意多字母参数的训练。反思2：直线与椭圆的位置关系的考查，一定要把握好以下几“不”，①不能缺少判别式；②不能忽略直线的斜率；③不能小视“基本”变形；④不能弱化几何证明；⑤不能忘记交代几何结论。⑥不能忽视数学思想方法的应用。四、说反思、感悟感悟1：在解析几何的复习教学中应特别重视以下两类问题的研究，一是根据已知条件确定曲线方程，二是利用曲线方程研究曲线的几何性质。在由条件确定曲线方程时,若已知曲线类型，则宜采用待定系数法；若曲线类型未知时，则可利用直接法、定义法、参数法、交轨法、几何法、相关点法等求解。感悟2：与圆锥曲线有关的最值问题涉及代数、三角、不等式等多方面，而代数法中的函数思想是重中之重，其变化形式更是多种多样，建立函数模型、利用不等式、单调性、导数等多种工具求解体现了其较强的综合性。解决此类问题的基本思路是：先根据已知条件列出所求目标函数的解析式，再利用求函数最值的有关方法解决，在求最值过程中要注意想尽一切办法简化计算，求出结果后理应带回去检验。五、高考链接近年高考解析几何题中,涉及求最值问题的题目不多，现略举如下:2012年广东20（2）平面直角坐标系中，已知椭圆C：的离心率，且椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3.

(1)求椭圆C的方程;（2）在椭圆C上，是否存在点M（m,n），使得直线与圆O：相交于不同的两点A、B，且的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的的面积；若不存在，请说明理由.()2013年浙江卷理科21(2)如图，点是椭圆的一个顶点，的