下学期第八章立体几何初步章末复习

第八章立体几何初步章末复习解析版思维导图基础知识：一、空间几何体的结构特征1．多面体及其结构特征(1)棱柱：①有两个平面(底面)互相平行；②其余各面都是平行四边形；③每相邻两个平行四边形的公共边互相平行．(2)棱锥：①有一个面(底面)是多边形；②其余各面(侧面)是有一个公共顶点的三角形．(3)棱台：①上、下底面互相平行，且是相似图形；②各侧棱延长线相交于一点．2．旋转体及其结构特征(1)圆柱：①圆柱的轴垂直于底面；②圆柱的轴截面是矩形；③圆柱的所有母线相互平行且相等，且都与圆柱的轴平行；④圆柱的母线垂直于底面．(2)圆锥：①圆锥的轴垂直于底面；②圆锥的轴截面为等腰三角形；③圆锥的顶点与底面圆周上任一点的连线都是圆锥的母线，圆锥的母线有无数条；④圆锥的底面是一个圆面．(3)圆台：①圆台的上、下底面是两个半径不等的圆面；②圆台两底面圆所在平面互相平行且和轴垂直；③圆台有无数条母线；④圆台的母线延长线交于一点．二、空间几何体的直观图1．斜二测画法中“斜”和“二测”“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°；“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半．2．斜二测画法中的建系原则在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线或图形的对称直线为坐标轴，图形的对称点为原点或利用原有互相垂直的直线为坐标轴等．三、空间几何体的表面积和体积1．多面体的表面积各个面的面积之和，也就是展开图的面积．2．旋转体的表面积圆柱：S＝2πr2＋2πrl＝2πr(r＋l)．圆锥：S＝πr2＋πrl＝πr(r＋l)．圆台：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)．球：S＝4πR2.3．柱体、锥体、台体的体积公式(1)柱体的体积公式：V柱体＝Sh(S底面面积，h为高)．(2)锥体的体积公式：V锥体＝eq\f(1,3)Sh(S底面面积，h为高)．(3)台体的体积公式：V台体＝eq\f(1,3)(S＋eq\r(SS′)＋S′)h(S′，S分别为上、下底面面积，h为高)．(4)球的体积公式：V＝eq\f(4,3)πR3.四、空间点、线、面之间的位置关系1．平面的基本性质四个基本事实及其作用基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．作用：判断空间两条直线平行的依据．2．空间中两直线的位置关系空间中两直线的位置关系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直线\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(平行,相交)),异面直线：不同在任何一个平面内))3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况．(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．五、直线、平面平行的判定与性质1．直线与平面平行(1)判定定理：平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)．(2)性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)．2．平面与平面平行(1)判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)．(2)性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．六、直线、平面垂直的判定及其性质1．直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．(2)异面直线所成的角：定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．(3)判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．(4)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．2．平面与平面垂直(1)平面和平面垂直的定义：两个平面相交，若所成的二面角是直二面角，则这两个平面垂直．(2)判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直．(3)性质定理：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．典例：知识点一：原图形与直观图的关系典例一．已知的直观图是一个边长为4的等边三角形，则的面积是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据直观图的性质还原并求出的高即可求解.【详解】如图，是边长为4的直观图，,O为中点，在轴上，过作交轴于点D，

则，轴，又，所以由正弦定理可得，又由题意可知，所以由三角形相似性得：，所以由直观图特点得，所以.故选：D.跟踪训练：1．如图所示，是水平放置的的直观图，轴，轴，，，则中，（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据斜二测画法结合已知条件可知为直角三角形，求出，再由勾股定理可求出的值.【详解】因为是水平放置的的直观图，轴，轴，，，所以由斜二测画法可知，在中，，如图所示，所以，故选：D2．如图，一个水平放置的平面图形的直观图是直角，其中，则原图形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据斜二测画法的性质可得原图形是一个底边长为，高为的直角三角形，即可由面积公式求解.【详解】因为在直观图中，，则，所以，所以原图形是一个底边长为，高为的直角三角形，故原图形的面积为．故选：A．3．如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（）A． B．C．四边形的周长为 D．四边形的面积为【答案】D【分析】过作交于点，求出，即可判断B，再还原平面图，求出相应的线段长，即可判断ACD.【详解】对于B：如图过作交于点，由等腰梯形且，又，，可得是等腰直角三角形，即，故B错误；对于A：还原平面图如下图，则，故A错误；对于C：过作交于点，则，由勾股定理得，故四边形的周长为：，即C错误；对于D：四边形的面积为：，即D正确.故选：D.知识点二、几何体的表面积、体积典例二．已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为，且该圆锥的母线是底面半径的倍，若的面积为，则该圆锥的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据条件，求圆锥的底面半径和母线长，再根据公式求圆锥的表面积.【详解】如图：设圆锥底面为，母线长为，母线，夹角为，则，所以.因为的面积为，所以.又.所以圆锥的表面积为：.故选：B跟踪训练：1．正四棱柱中，三棱锥的体积为与底面所成角的正切值为，则此正四棱柱的表面积为（

）A．10 B．12 C．14 D．18【答案】A【分析】设此正四棱柱的底面边长为，高为，根据三棱锥的体积公式和线面角建立关于a、h的方程组，解之即可求解.【详解】设此正四棱柱的底面边长为，高为，则三棱锥的体积为，得，又与底面所成的角为，所以，得，得，所以此正四棱柱的表面积为．故选：A．2．宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是，则该汝窑双耳罐的体积是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出上下圆台的高，利用台体体积公式求出答案.【详解】上、下两圆台的高之比是，故上圆台的高为厘米，下圆台的高为厘米，故上圆台的体积为立方厘米，下圆台的体积为立方厘米，故该汝窑双耳罐的体积为立方厘米.故选：D3．已知圆台的母线长为4，下底面圆的半径是上底面圆的半径的3倍，轴截面周长为16，则该圆台的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出圆台的轴截面，利用其周长和两底面圆半径的关系列方程，求出，代入公式，即可求得圆台的表面积.【详解】

如图，作出圆台的轴截面,设上底面圆的半径为，则下底面圆的半径是，故轴截面周长为，解得，所以上、下底面圆的面积分别为，，圆台侧面积，所以圆台的表面积为.故选:C.4．为庆祝五四青年节，某校举行了师生游园活动，其中有一游戏项目是夹弹珠.如图，四个半径都是1cm的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器中，每个弹珠的顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面，则这个容器的容积是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据四个小球和容器的相切关系，作出对应的正视图和俯视图，建立球心和半径之间的关系即可得到容器的半径.【详解】分别作出四个小球和容器的正视图和俯视图，如图所示:

正视图中小球球心B，半球球心O与切点A构成直角三角形，则有，俯视图中，四个小球球心的连线围成正方形，正方形的中心到球心的距离与正视图中的相等，设半球半径为R，已知小球半径，所以，，，.所以半球面形状的容器的容积是.故选：B知识点三、空间几何体的外接球和内切球典例三．在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，则三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，三棱锥与三棱柱外接球相同.确定球心位置，利用正弦定理，余弦定理，勾股定理，求出球的半径，再利用球的表面积公式即可求解.【详解】如图，设，分别为棱，的中点，则三棱锥与三棱柱外接球相同.在中，，由余弦定理，所以；设外接圆半径为，在中，由正弦定理，故外接圆半径，设三棱柱外接球半径为，由勾股定理，则三棱锥外接球的表面积.故选：D跟踪训练：1．已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为，则该正四棱台内半径最大的球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出正四棱台的高，再分析出最大内切球与四侧面及下底面相切，再根据三角函数得到其半径大小，最后利用球的表面积公式即可.【详解】作出如图所示正四棱台，其中为正四棱台的高，为其斜高，

因为正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为，则，，，因为，故半径最大的球不与上下底面同时相切，，则，则，过作正四棱台的截面，截球得大圆，则该圆与等腰梯形两腰和下底相切，则，则，则更确定最大内切球与四侧面及下底面相切，

即该正四棱台内半径最大的球半径，球的表面积为.故选：D.2．已知圆台的上底面积为，下底面积为，且其外接球半径，则该圆台的高为（

）A．6或7 B．8或12 C．6或8 D．7或12【答案】C【分析】根据截面图列出上下底面半径和球心到上下底面的距离的方程组求解即可。【详解】截面如图所示，球心可在截面的内部或外部，设上下底面半径分别为，则，设球心到上下底面的距离分别分别为，则，故，于是圆台高或。故选：C

3．在棱长为2的正四面体中，正四面体的内切球表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据正四面体的性质求出正四面体的高；再利用等体积法求出内切球的半径；最后根据球的表面积公式即可解答.【详解】正四面体底面的中心记为点，连接，.由正四面体的性质可得：面.因为正四面体棱长为2，所以底面三角形的高为，则，所以正四面体的高.设正四面体内切球的半径为，球心为.由等体积法可得：，即，解得：.所以正四面体的内切球表面积为.故选：B.4．在△ABC中，D是边BC上一点，且，，，，将△ABD沿AD折起，使点B到达点，且，若三棱锥的所有顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为．【答案】【分析】如图，先由余弦定理求出，再由正弦定理求出外接圆的半径，结合球的性质和勾股定理求出球的半径，再利用球的的表面积公式计算即可.【详解】如图所示，将三棱锥补成一个三棱柱，因为,，且平面，所以平面，所以补成的三棱柱为直三棱柱，则该棱柱上、下底面的外接圆圆心连线的中点是球心O，在中，由，，，所以，又，所以，所以外接圆的半径，所以，又，所以球O的半径，所以球O的表面积．故答案为：知识点四：异面直线所成的角典例四．如图，在正方体中，M，N分别为C1D1和CC1的中点，则异面直线AM与BN所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分别为的中点，或其补角为AM与BN所成的角，设正方体的边长为，余弦定理求解即可.【详解】取AB的中点，的中点，连接，又M，N分别为和的中点，正方体中，，，四边形为平行四边形，有，同理有，则或其补角为AM与BN所成的角，连接EF，设正方体的边长为，则，，，所以，即异面直线AM与BN所成角的余弦值为.故选：A．跟踪训练：1．在三棱锥中，，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值是．【答案】【详解】取的中点，连接，如图所示：因为为的中点，为的中点，则根据三角形的中位线定理可得，且.所以为异面直线与所成的角或其补角．因为在中，，，，所以，则.又，所以．又在中，，,所以由余弦定理可得：.又因为在中，，所以由余弦定理可得：.则在中，由余弦定理可得，，所以异面直线与所成角的余弦值为．故答案为：.2．如图，在正三棱柱中，，，则直线与直线所成角的正切值为．【答案】/【分析】根据给定条件，作出直线与直线所成的角，再借助余弦定理求出余弦值即可求解.【详解】在正三棱柱中，连接交于O点，取的中点F，连接OF，显然是的中点，则，是与所成的角或其补角，在中，，，，，，所以直线与直线所成角的正切值为.故答案为：知识点五：线面角和二面角典例五．如图，在四面体中，已知，.(1)求证：；(2)求直线与平面所成的角；(3)求二面角的正切值.【答案】(1)证明见解析(2)(3).【详解】（1）取的中点，连接，因为，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以.（2）因为，，所以，又，所以为等腰直角三角形，且，又，，平面，所以平面，所以直线与平面所成的角为，在中，，所以，所以直线与平面所成的角为；（3）取的中点，连接，则，且，因为，所以，同理，所以，又，所以，所以是二面角的平面角，在中，，即二面角的正切值为.跟踪训练：1．如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，且.(1)若平面与平面相交于直线，求证：；(2)求证：平面平面；(3)求二面角的正切值【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).【详解】（1）由，平面，平面，得平面，又平面，且平面与平面相交于直线，所以.（2）在直角梯形中，，，取的中点，连接，则，即四边形是平行四边形，于是，则，即，又平面，平面，则，又，平面，因此平面，而平面，所以平面平面.（3）由（1）知，，由平面，平面，则，而平面，于是平面，又平面，则，过作于，连接，显然平面，因此平面，而平面，则，即是二面角的平面角，由，，得，则，，所以二面角的正切值是.2．如图，在三棱锥中，平面，，，．(1)求三棱锥的体积；(2)求证：平面平面；(3)设点在棱上，，求二面角的正弦值．【答案】(1)(2)证明见解析(3)【详解】（1）因为，所以，因为平面,所以三棱锥的