7.3 离散型随机变量的数字特征（精讲）（原卷版）-人教版高中数学精讲精练选择性必修三

7.3离散型随机变量的数字特征（精讲）考点一离散型随机变量的均值【例1】（2023辽宁葫芦岛·高二葫芦岛第一高级中学校考期末）某数学老师对本校2022届高三学生的高考数学成绩按进行分层抽样抽取了20名学生的成绩，并用茎叶图记录分数如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下所示的频率分布表：分数段（分）总计频数频率(1)求表中的值及分数在范围内的学生人数，并估计这次考试全校学生数学成绩的及格率（分数在内为及格）；(2)从成绩在范围内的学生中随机选4人，设其中成绩在内的人数为，求的分布列及数学期望．【一隅三反】1．（2023·高二课时练习）某校50名学生参加全国数学联赛选拔，成绩全部介于90分到140分之间．将成绩结果按如下方式分成五组：第一组，第二组，…，第五组．按上述分组方式得到的频率分布直方图如图所示．(1)若成绩大于或等于100分且小于120分认为是良好的，求该校参赛学生在这次数学联赛中成绩良好的人数；(2)若从第一、第五组中随机取出两个人的成绩，记为从第一组中取出成绩的个数，求的分布与数学期望．2．（2021春·河北唐山·高二开滦第二中学校考阶段练习）某银行招聘，设置了A，B，C三组测试题供竞聘人员选择.现有五人参加招聘，经抽签决定甲、乙两人各自独立参加A组测试，丙独自参加B组测试，丁、戊两人各自独立参加C组测试.若甲、乙两人各自通过A组测试的概率均为；丙通过B组测试的概率为；而C组共设6道测试题，每个人必须且只能从中任选4题作答，至少答对3题者就竞聘成功.假设丁、戊都只能答对这6道测试题中4道题.(1)求丁、戊都竞聘成功的概率；(2)记A、B两组通过测试的总人数为，求的分布列和期望.考点二离散型随机变量的方差【例2】（2022春·上海黄浦·高二上海市大同中学校考期末）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数.求：(1)的分布；(2)的期望与方差.【一隅三反】1．（2023·全国·高二专题练习）某小组共10人参加义工活动．已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4．现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布、期望与方差．2．（2022春·贵州遵义·高二统考期末）不透明袋中装有质地，大小相同的4个红球，m个白球，若从中不放回地取出2个球，在第一个取出的球是红球的前提下，第二个取出的球是白球的概率为．(1)求白球的个数m；(2)若有放回的取出两个求，记取出的红球个数为X，求，．考点三均值与方差的性质【例3-1】（2022春·黑龙江绥化·高二校考期末）设的分布列如表所示，又设，则等于（

）1234A． B． C． D．【例3-2】（2022春·江西宜春·高二江西省铜鼓中学校考阶段练习）已知X的分布列如下，且，，则a为（

）X﹣101PA．1 B．2 C．3 D．4【例3-3】（2022秋·浙江金华·高二浙江金华第一中学校考阶段练习）已知随机变量满足，则下列选项正确的是（

）A． B．C． D．【例3-4】（2022春·山东东营·高二统考期末）设，随机变量的分布列为：01则当在上增大时（

）A．单调递增，最大值为B．先增后减，最大值为C．单调递减，最小值为D．先减后增，最小值为【一隅三反】1．（2022春·广东广州·高二统考期末）设离散型随机变量X的分布列为P(X=0)=0.2，P(X=1)=0.6，P(X=2)=0.2，则=（

）A．2 B．1 C．-1 D．-22．（2022春·河北保定·高二校联考阶段练习）已知随机变量满足，则（

）A．或4 B．2 C．3 D．43．（2022春·吉林·高二校联考期末）已知随机变量的分布列如下表所示，若，则（

）123A． B． C． D．24．（2022春·浙江·高二校联考期中）（多选）已知下表为离散型随机变量X的分布列，其中，下列说法正确的是（

）X012PA． B．C．有最大值 D．有最小值5．（2022春·福建莆田·高二莆田一中校考期末）（多选）设，随机变量的分布列为：0m1P则当m在（0，1）上增大时，（

）A．减小 B．增大C．先增后减，最大值为 D．先减后增，最小值为考点四均值与方差在决策中应用【例4】（2022·高二单元测试）甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量、，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10，9，8、7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2．(1)求、的分布；(2)比较甲、乙的射击技术．【一隅三反】1．（2022·高二课时练习）（多选）投资甲、乙两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表2所示．表1甲股票收益的分布列收益X/元－102概率0.10.30.6表2乙股票收益的分布列收益Y/元012概率0.30.40.3则下列结论正确的是（

）A．投资甲股票收益的均值较小B．投资乙股票收益的均值较小C．投资甲股票比投资乙股票的风险高D．投资乙股票比投资甲股票的风险高2（2023秋·辽宁葫芦岛·高二葫芦岛第一高级中学校考期末）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机