6.3 二项式定理（精练）（解析版）-人教版高中数学精讲精练选择性必修三

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】6.3二项式定理（精练）1二项式的展开式1．（2022秋·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）（）A．3n B．2·3nC．－1 D．【答案】D【解析】.故选：D.2．（2022·高二课时练习）设，，则A－B的值为（

）A．128

B．129

C．47

D．0【答案】A【解析】，故选：A3．（2022·高二课时练习）化简多项式的结果是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意可知，多项式的每一项都可看作，故该多项式为的展开式，化简．故选：D.4．（2022·高二课时练习）计算：________．【答案】1【解析】,故答案为：15．（2022山西）化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)＝________．【答案】x5－1【解析】原式＝(x－1)5＋(x－1)4＋(x－1)3＋(x－1)2＋(x－1)＋－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1．故答案为：x5－1.2二项式指定项的（二项式）系数1．（2022广东）的展开式中，的系数为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为的展开式的通项公式为，令可得，所以的系数为.故选：B.2．（2023福建）的展开式中的第7项为（）A．3546 B．5437 C．4532 D．5376【答案】D【解析】，故选：D.3．（2022安徽）二项式的展开式中，其中是有理项的项数共有（）A．4项 B．7项 C．5项 D．6项【答案】D【解析】二项式的展开式中，通项公式为，，时满足题意，共6项．故选：D.4．（2022春·河北保定·高二高阳中学校考阶段练习）若二项式的展开式中含有常数项，则可以取（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【解析】的通项公式，其中且，要想展开式中含有常数项，则，即，当时，满足要求，经检验，其他选项均不合题意.故选：A5．（2023·全国·高二专题练习）展开式中的常数项为20，则______.【答案】【解析】展开式的通项为，令，解得，则展开式的常数项为，解得.故答案为：.6．（2022春·黑龙江哈尔滨·高二校考期末）在二项式的展开式中，所有的二项式系数之和为64，则该展开式中的的系数是________．【答案】160【解析】因为二项式系数之和为64，故有，得，二项式的通项为，令，得，所以.即的系数是.故答案为：160.7．（2023秋·河北石家庄·高二校联考期末）的展开式中的系数是__________．【答案】120【解析】的展开式中的系数为，故的展开式中的系数是.故答案为：1208．（2022春·四川绵阳·高二校考期末）若，则__________.【答案】【解析】，因为，令，解得.所以，即.故答案为：9．（2022春·上海松江·高二上海市松江二中校考期末）已知，则_____．【答案】.【解析】令，则，所以条件可整理为：，所以.故答案为：.10．（2022·全国·高二专题练习）如果的展开式中第3项与第2项系数的比是4，那么展开式里x的有理项有________项．（填个数）【答案】2【解析】依题意可得，即，解得或（舍去）．所以二项式展开式的通项为（，1，2，，，根据题意，解得或，展开式里所有的有理项为，共项；故答案为：3（二项式）系数和1．（2022秋·上海杨浦·高二校考期末）已知的二项展开式中，第项与第项的系数相等，则所有项的系数之和为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为的展开通项为又因为第项与第项的系数相等，所以，由二项式系数的性质知，则，故，所以的二项展开式中所有项的系数之和为.故选：C.2．（2023秋·甘肃兰州）的展开式中只有第5项的二项式系数最大，若展开式中所有项的系数和为256，则a的值为（

）A．1 B．-1 C．3 D．1或-3【答案】D【解析】展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以总共有9项，令得所有项的系数和为故选：D3．（2022秋·辽宁沈阳·高二沈阳市第三十一中学校考阶段练习）已知（为常数）的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等，则该展开式中的常数项为（

）A．90 B．10 C．10 D．90【答案】A【解析】因为（为常数）的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等，所以，得，所以，则其展开式的通项公式为，令，得，所以该展开式中的常数项为，故选：A4．（2022春·江苏南京·高二校考期中）（多选）若，，则（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】对选项A，，令，得，令，得，所以，故A错误.对选B，因为，所以表示的各项系数之和，令，则，故B正确.对选项C，，所以，故C错误.对选项D，因为，，令，则，则，故D正确.故选：BD5．（2022广东潮州）（多选）设，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．展开式中二项式系数最大的项是第5项【答案】AC【解析】因为，令得，故A正确；令得，所以，故B错误；二项式展开式的通项为，所以，，所以，故C正确；因为二项式展开式共项，则展开式中二项式系数最大的项是第6项，为，故D错误；故选：AC.6．（2022秋·江苏宿迁·高二沭阳如东中学校考期末）（多选）对任意实数x，有则下列结论成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】由，当时，，，A选项错误；当时，，即，C选项正确；当时，，即，D选项正确；，由二项式定理，，B选项正确.故选：BCD7．（2022·浙江）（多选）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】对A，为展开式中最高次项系数，只能由展开式的最高次项相乘，故为，即，故A正确；对B，，故，故B错误；对C，令，则，即，令，则，即.故，故C正确；对D，令，则，结合C，，故...①又...②，①+②可得，故，，故，故D错误.故选：AC8．（2022山东）已知关于x的二项式的展开式的二项式系数之和为1024，常数项为则展开式中的有理项共有__________项【答案】6【解析】关于的二项式的展开式的二项式系数之和为，．展开式的通项公式为，令，求得，可得常数项为，．要使该项为有理项，需为整数，故，2，4，6，8，10，故有理项有6项.故答案为：69．（2022江西南昌）已知展开式中的各项系数和为243，则其展开式中含项的系数为_____.【答案】80【解析】令，各项系数和，解得，的展开式的通项为，令，解得，则的系数为.故答案为：80.4（二项式）系数最值1．（2022秋·浙江宁波）（多选）若二项式的展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（

）A．二项展开式中各项系数之和为 B．二项展开式中二项式系数最大的项为C．二项展开式中无常数项 D．二项展开式中系数最大的项为【答案】BD【解析】因为二项式的展开式中二项式系数之和为64，所以，得，所以二项式为，则二项式展开式的通项，对于A，令，可得二项展开式中各项系数之和为，故A错误；对于B，第4项的二项式系数最大，此时，则二项展开式中二项式系数最大的项为，故B正确；对于C，令，则，所以二项展开式中的常数项为，故C错误；对于D，令第项的系数最大，则，解得，因为，所以，则二项展开式中系数最大的项为，所以D正确，故选：BD．2．（2022广东揭阳）（多选）在的展开式中，下列说法正确的是（

）A．不存在常数项 B．第4项和第5项二项式系数最大C．第3项的系数最大 D．所有项的系数和为128【答案】ABC【解析】因为展开式的通项公式为，由，得(舍去)，所以展开式不存在常数项，故A正确；展开式共有项，所以第4项和第5项二项式系数最大，故B正确；由通项公式可得为偶数时，系数才有可能取到最大值，由，可知第项的系数最大，故C正确；令，得所有项的系数和为，故D错误；故选：ABC.3．（2022春·广东广州·高二统考期末）（多选）在二项式的展开式中，以下说法正确的是（

）A．二项式系数最大的项是第n项B．各项系数之和为0C．当时，展开式系数最大的项是第6项D．展开式共有项【答案】BD【解析】二项式的展开式中,共有项，故D正确，展开式中中间项中有一项，即第n+1项，所以二项式系数最大的项是第n+1项，A错误；令，则得，即各项系数之和为0，B正确；当时，，其通项公式为，第6项，二项式系数最大，这一项系数为负，故根据二项式系数的性质可知展开式系数最大的项应是第5项和第7项，即最大，故C错误；故选：BD4．（2022春·山东聊城·高二山东聊城一中校考期中）（多选）已知展开式的各项系数和为1024，则下列说法正确的是（

）A．展开式中奇数项的二项式系数和为256 B．展开式中第6项的系数最大C．展开式中存在含的项 D．展开式中含项的系数为45【答案】BD【解析】∵展开式的各项系数之和为1024，∴令，得，∵a＞0，∴a＝1则二项式为，其展开式的通项为：展开式中奇数项的二项式系数和为×1024＝512，故A错误；由展开式的通项可知，项的系数与其二项式系数相同，且展开式有11项，故展开式中第6项的系数最大，故B正确；令，可得不是自然数，则展开式中不存在含的项，故C错误；令，解得，所以展开式中含项的系数为，故D正确，故选：BD．5．（2022春·福建南平·高二统考期末）关于的展开式，下列结论正确的是（

）A．所有二项式系数和为 B．所有项的系数和为C．二项式系数最大的项为第6项 D．常数项为第6项【答案】AB【解析】对于A，所有二项式系数和为：，A正确；对于B，令，则所有项的系数和为，B正确；对于C，由二项式系数的性质可知二项式系数最大项为，此时应为第项，C错误；对于D，由二项展开式的通项公式得：，令，解得，常数项应为第项，D错误.故选：AB.6．（2023·江苏苏州）已知的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中有理项的个数为___________．【答案】2【解析】的展开式有项,因为仅有第5项的二项式系数最大,所以当时,,当时,,符合题意所以展开式中有理项的个数为2故答案为：27．（2022甘肃兰州·）已知二项式，在其展开式中二项式系数最大的项的系数为____________．【答案】【解析】由题意知，.根据二项式系数的性质可得，第4项二项式系数最大.，所以展开式中二项式系数最大的项的系数为-160.故答案为：-160.8．（2022秋·上海杨浦·高二校考期末）在的二项展开式中，系数最大的项为______.【答案】70【解析】的二项展开式为，显然当时，二项展开式的系数为正，当时，二项展开式的系数为负，其中，，，故系数最大的项为.故答案为：709．（2022·上海奉贤·统考一模）在二项式的展开式中，系数最大的项的系数为__________（结果用数值表示）.【答案】462【解析】二项式的展开式的通项公式为，所以当或时，其系数最大，则最大系数为，故答案为：462.5两个二项式及三项式系数1．（2022秋·吉林辽源·高二辽源市第五中学校校考期末）的展开式中常数项为（

）A．-160 B．60 C．240 D．-192【答案】B【解析】因为的展式为:，要得的展开式中常数，只需求出的展式中项即可.所以令，解得，所以的展式中项的系数为，所以的展开式中常数项为60.故选：B.2．（2023秋·江西赣州）若展开式的各项系数和为729，展开式中的系数为（

）A． B． C．30 D．90【答案】D【解析】令，可得，解得，所以展开式中的系数为.故选：D.3．（2023·福建）的展开式中，项的系数为（

）A．400 B．480 C．720 D．800【答案】D【解析】，的展开式通项为，的展开式通项为，所以的展开式通项为，其中，，且、，令，可得或或，因此的展开式中的系数为.故选：D.4．（2023·全国·高三专题练习）在的展开式中，含项的系数为（

）A． B．480 C． D．240【答案】A【解析】看成是6个相乘，要得到.分以下情况:6个因式中，2个因式取，1个因式取，3个因式取，此时的系数，所以的系数为.故选：A5．（2023秋·辽宁铁岭）的展开式中，共有多少项？（

）A．45 B．36 C．28 D．21【答案】A【解析】当展开式的项只含有1个字母时，有3项，当展开式的项只含有2个字母时，有项,当展开式的项含有3个字母时，有项,所以的展开式共有45项；故选：A.6．（四川省凉山州2023届）展开式中的系数为__________．（用数字作答）．【答案】5【解析】因为的展开式通项为，所以，．故展开式中的系数为．故答案为：5.7．（2023·四川攀枝花）的展开式中的系数为12，则_________．【答案】【解析】由的展开式通项为，所以，含项为，故，可得.故答案为：8．（2023湖北）的展开式中，常数项为________.【答案】6【解析】二项式展开式的通项公式为，令，解得；令，则无自然数解.所以展开式中的常数项为.故答案为：9．（2023秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）若的展开式中常数项为70，则______．【答案】【解析】展开式的通项公式为，当时，，；当时，，，所以常数项为，解得．故答案为：10．（2022·河北衡水·衡水市第二中学校考一模）中的系数为__________（用数字作答）.【答案】【解析】，其二项展开式的通项为，要得到，则，解得.的二项展开式的通项为，令，可得.故中的系数为.故答案为:.11．（2023·江苏）的展开式中项的系数是__________.【答案】【解析】因为，展开式第项展开式第项当时，；当时，，所以展开式中项为，则的系数为，故答案为：.6二项式定理的运用1．（2023·高二课时练习）设，且，若能被13整除，则a的值为（

）．A．0 B．1 C．11 D．12【答案】B【解析】，且含有因数52，故能被52整除，要使得能被13整除，且，，则可得，且，故，.故选：B2．（2022安徽·高二校联考期末）估算的结果，精确到0.01的近似值为（

）A．30.84 B．31.84 C．30.40 D．32.16【答案】A【解析】原式+．故选：A．3．（2023·湖南）写出一个可以使得被100整除的正整数______.【答案】1（答案不唯一）【解析】由题意可知，将利用二项式定理展开得显然，能被100整除，所以，只需是100的整数倍即可；所以，得不妨取，得.故答案为：14．（2022秋·江西·高二统考阶段练习）设n∈N，且能被6整除，则n的值可以为_________.(写出一个满足条件的n的值即可)【答案】5（答案不唯