4.2.1 等差数列的概念（精讲）（解析版）人教版高中数学精讲精练选择性必修二

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】4.2.1等差数列的概念（精讲）考点一等差数列的通项公式及相关计算【例1-1】（2023秋·高二课时练习）在等差数列中，(1)已知，，，求；(2)已知，，，求；(3)已知，，求；(4)已知，，求．【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】（1）由，，，则．（2）由，，，则，解得．（3）由，，则．（4）由，，则．【例1-2】（2023·上海）已知等差数列中，且，为方程的两个实根．(1)求此数列的通项公式；(2)268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．【答案】(1)；(2)268是此数列的第136项.【解析】（1）由已知条件得，，又∵为等差数列，设首项为，公差为，∴，，解得，．∴．∴数列的通项公式为．（2）令，解得．∴268是此数列的第136项．【一隅三反】1．（2023秋·高二课时练习）在等差数列中，(1)已知，，求；(2)已知，，求d；(3)已知，，，求n.(4)已知，，求，；(5)已知，，求；(6)已知，，求．(7)已知，，求首项与公差；(8)已知，，求通项．【答案】(1)(2)(3)(4)；(5)28；(6)17.(7)，；(8).【解析】（1）由知：；（2）因为，，所以，所以，解得；（3）由知：，解得.（4）在等差数列中，由，得：，解得，所以.（5）设等差数列的公差为，由，得：，解得，所以.（6）设等差数列的公差为，由，得：，解得，所以.（7）由已知可得，解得.（8）由已知可得，解得.所以，.2（2023云南）在等差数列中，，．(1)求的通项公式；(2)判断96是不是数列中的项？【答案】(1)；(2)不是.【解析】（1）设等差数列的公差为，则，而，于是得，，所以数列的通项公式是.（2）由（1）知，，由得：不是正整数，所以96不是数列中的项.3．（2023春·高二课时练习）已知为等差数列，且以，，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的数构成一个新的等差数列，求：(1)原数列的第12项是新数列的第几项？(2)新数列的第29项是原数列的第几项？【答案】(1)第45项(2)第8项．【解析】（1）设新数列为，则，，根据，有，即，所以，所以．又因为，所以．即原数列的第n项为新数列的第项．当时，，故原数列的第12项为新数列的第45项．（2）由(1)，令，得，即新数列的第29项是原数列的第8项．考点二等差数列的判定与证明【例2-1】（2023·全国·高二课堂例题）判断下列数列是否为等差数列：(1)1，1，1，1，1；(2)4，7，10，13，16；(3)－3，－2，－1，1，2，3．【答案】(1)是等差数列(2)是等差数列(3)不是等差数列【解析】（1）根据等差数列的定义可知，所给数列是首项为1，公差为0的等差数列．（2）根据等差数列的定义可知，所给数列是首项为4，公差为3的等差数列．（3）因为，所以这个数列不是等差数列．【例2-2】（2023秋·江苏南通）已知数列中，，.(1)求的值，并猜想数列的通项公式；(2)证明数列是等差数列.【答案】(1)，；(2)证明见解析.【解析】（1）在数列中，，，令，得；令，得；令，得；所以，猜想数列的通项公式为.（2）由，，得，，即，所以数列是以为首项，为公差的是等差数列.【一隅三反】1．（2023·全国·高二课堂例题）判断以下数列是否是等差数列？如果是，指出公差；如果不是，说明理由．(1)7，13，19，25，31；(2)2，4，7，11；(3)．【答案】(1)是，公差为6(2)不是等差数列(3)是，公差为【解析】（1）因为，所以是等差数列，且公差为6．（2）因为，所以，因此不是等差数列．（3）因为，所以是等差数列，且公差为2.（2023·黑龙江）在数列中，是1与的等差中项，求证：数列是等差数列.【答案】证明见解析【解析】证明：因为是1与的等差中项，所以，即，所以，所以，即，是常数，故数列是等差数列.3．（2023·全国·高二专题练习）在数列中4，，．求证：数列{}是等差数列；【答案】证明见解析【解析】的两边同时除以，得2，∴数列{}是首项为4，公差为2的等差数列4．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考期末）设数列的前n项和，满足，且(1)证明：数列为等差数列(2)求的通项公式【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】（1）数列的前n项和，，又，显然，因此，所以数列为等差数列，首项，公差为2.（2）由（1）知，，则当时，，显然不满足上式，所以的通项公式是.考点三等差中项及其应用【例3-1】（2023春·安徽芜湖）已知数列是等差数列，，则（

）A．9 B．0 C．-3 D．-6【答案】B【解析】数列是等差数列又故选：B.【例3-2】（2023春·高二课时练习）在等差数列中，，则（

）A．36 B．48 C．60 D．72【答案】C【解析】由题设，，则，所以.故选：C【例3-3】（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为数列是等差数列，所以，即，所以，故选：A【例3-4】（2023北京）在等差数列中，若，则.【答案】24【解析】因为在等差数列中，有，所以由，得，，又，所以.故答案为：24【一隅三反】1．（2023春·浙江杭州·高二校联考期中）在等差数列中，若，则（

）A． B．1 C．0 D．【答案】D【解析】在等差数列中，，解得，所以．故选：D2．（2023·全国·高二专题练习）等差数列中，，，则该数列的公差为（

）A． B．2 C． D．3【答案】A【解析】设等差数列的公差为，则②-①可得：，所以.故选：A.3．（2023春·广西崇左·高二校考期中）若a是4+m，4-m的等差中项，则a=【答案】4【解析】a是4+m，4-m的等差中项，，解得，故答案为：4.4．（2023春·西藏日喀则·高二统考期末）在等差数列中，若，则.【答案】24【解析】因为在等差数列中，有，所以由，得，，又，所以.故答案为：245．（2023·高二课时练习）若正项等差数列满足：，则的最小值为.【答案】【解析】，（当且仅当时取等号），即，解得：，即的最小值为.故答案为：.6．（2023春·江西上饶·高二校联考期中）已知，成等差数列，则.【答案】2【解析】由对数定义有：，由成等差数列，所以，即，化简得：，解得：或，由，所以：，故答案为：2.考点四等差数列的设法与求解【例4-1】（2023高二课时练习）已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数.【答案】4，6，8【解析】设这三个数为a－d，a，a＋d，由已知得由①得a＝6，代入②得d＝±2.∵该数列是递增数列，∴d>0，即d＝2，∴这三个数依次为4,6,8.【例4-2】（2023春·高二课时练习）已知4个数成等差数列，它们的和为20，中间两项之积为24，求这个4个数．【答案】2，4，6，8或8，6，4，2．【解析】设此四个数分别为：，，，．由题意可得：，．解得，．∴这四数为2，4，6，8或8，6，4，2．【一隅三反】1．（2023湖北）（多选）已知四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为40，则这四个数依次为（

）A．-2，4，10，16 B．16，10，4，-2C．2，5，8，11 D．11，8，5，2【答案】AB【解析】设这四个数分别为，，，，则解得或所以这四个数依次为-2，4，10，16或16，10，4，-2.故选：AB2．（2023湖北）已知5个数成等差数列,它们的和为5,平方和为165,求这5个数.【答案】见解析【解析】根据题意设这5个数分别为,则,即,解得.当时,这5个数分别为；当时,这5个数分别为.3．（2023·河南）已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，求这5个数．【答案】－，，1，，或，，1，，－【解析】设第三个数为a，公差为d，则这5个数分别为，由已知有，整理得，所以.当时,这5个数分别为－，，1，，；当时,这5个数分别为，，1，，－.综上，这5个数分别是－，，1，，或，，1，，－.考点五等差数列的实际应用【例5-1】（2023春·江西萍乡·高二萍乡市安源中学校考期末）某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km（不含4km）计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往16km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付的车费为（

）A．23.2 B．24.4 C．25.6 D．26.8【答案】C【解析】根据题意，当出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，车费增加1.2元，可知车费构成等差数列，记表示走4km的车费，公差，那么，当出租车行驶至16km时，，所以.故选：C.【例5-2】（2023春·安徽宿州·高二江西省泰和中学校联考期中）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”，后来南宋数学家秦九韶在《算书九章·大衍求一术》中将此问题系统解决．“大衍求一术”属于现代数论中的一次同余式组问题，后传入西方，被称为“中国剩余定理”．现有一道同余式组问题：将正整数中，被4除余3且被6除余1的数，按由小到大的顺序排成一列数，则（

）A．115 B．117 C．119 D．121【答案】A【解析】被4除余3的正整数为，被6除余1的正整数为，令，得，因为，所以，所以，所以.故选：A.【一隅三反】1．（2023春·湖北武汉·高二校联考期中）《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为9.5尺，春分当日日影长为6尺，则小满当日日影长为（

）A．尺 B．13尺 C．尺 D．尺【答案】D【解析】设十二个节气其日影长依次成等差数列，公差为，则由题意可得，，，则小满当日日影长．故选：D．2．（2023春·河南驻马店·高二河南省驻马店高级中学校考期中）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，“中国剩余定理”讲的是一个关于同余的问题．现有这样一个问题：将正整数中能被3除余1且被2除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则（

）A．55 B．49 C．43 D．37【答案】A【解析】正整数中既能被3除余1且被2除余1的数，即被6除余1，那么，有.故选：A3．（2023·全国·高二专题练习）2022北京冬奥会开幕式将我国二十四节气融入倒计时，尽显中国人之浪漫．倒计时依次为：大寒、小寒、冬至、大雪、小雪、立冬、霜降