6.2.1 平面向量的运算（解析版） （人教A版2019必修第二册）-人教版高中数学精讲精练必修二

6.2.1平面向量的运算考法一平面向量的加法运算【例1-1】（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知向量、，用向量加法的三角形法则作出向量．(1)

(2)

(3)

【答案】答案见解析【解析】（1）解：作，，，则即为所求作的向量.

（2）解：作，，，则即为所求作的向量.

（3）解：作，，，则即为所求作的向量.

【例1-2】（2023下·新疆·高一校考期末）化简下列各式:（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.【解析】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.【一隅三反】1．（2023山西）如图所示，求：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】（1）；（2）；（3）；（4）.2．（2023云南）如图，为边长为1的正六边形，O为其几何中心.(1)化简；(2)化简；(3)化简；(4)求向量的模.【答案】(1)(2)(3)(4)2【解析】（1）解：根据向量的平行四边形法则得；（2）解：根据题意，，所以；（3）解：因为，所以；（4）解：因为，所以，所以3．（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知向量，，不共线，求作向量．

【答案】详见解析【解析】解法一：（三角形法则），如下图所示，作，，则，再作，则，即.

解法二：（平行四边形法则）因为向量，，不共线，如下图所示，在平面内任取一点O，作，，以，为邻边作平行四边形，则对角线，再作，以，为邻边作平行四边形，则.

考法二平面向量的减法运算【例2-1】（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知向量、，求作．(1)

(2)

(3)

(4)

【答案】答案见解析【解析】（1）解：作，，则，即即为所求作的向量.

（2）解：作，，则，即即为所求作的向量.

（3）解：作，，则，即即为所求作的向量.

（4）解：作，，则，即即为所求作的向量.

【例2-2】（2023·河南周口）化简下列各式：(1)；(2)；(3)．(4)；(5)；(6)．【答案】(1)；(2)；(3).(4)；(5)；(6).【解析】(1).(2).(3).(4).(5).(6).【一隅三反】1．（2023下·江苏淮安·高一校考阶段练习）如图，已知向量(1)用表示；(2)用表示；(3)用表示；(4)用表示；(5)用表示【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【解析】（1）.（2）.（3）（4）.（5）2（2023·高一课时练习）如图，四边形ABCD中，设，，，试用，，分别表示，．【答案】，.【解析】由题图知：，又，所以.考法三平面向量的数乘【例3】（2023·全国·高一随堂练习）判断下列各小题中的向量，是否共线：(1)，；(2)，（其中两个非零向量和不共线）；(3)，.【答案】(1)共线；(2)共线；(3)共线.【解析】（1），，所以，所以，共线.（2），,所以，所以，共线.（3）因为，，所以，所以.所以，共线.【一隅三反】．（2023下·高一课时练习）计算：(1)；(2)．(3)；(4)(5)；(6)；(7)；(8).【答案】(1)(2)(3)(4)(5)；(6)；(7)；(8).【解析】（1）原式．（2）原式（3）原式=.（4）原式=.（5）（6）（7）（8）考法四平面向量共线定理【例4】（2023新疆）设，是两个不共线的向量，如果，，.(1)求证：A，B，D三点共线；(2)试确定的值，使和共线；(3)若与不共线，试求的取值范围.【答案】(1)证明过程见解析(2)(3)【解析】（1）证明：因为，所以与共线.因为与有公共点B，所以A，B，D三点共线.（2）因为与共线，所以存在实数，使.因为，不共线，所以所以.（3）假设与共线，则存在实数m，使.因为，不共线，所以所以.因为与不共线，所以.【一隅三反】1．（2024上·辽宁·高一校联考期末）已知与为非零向量，，若三点共线，则（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】由题意知，三点共线，故,且共线，故不妨设，则，所以，解得，故选：D2．（2022·全国·高一课时练习）设两个非零向量与不共线．(1)若，，，求证：，，三点共线；(2)试确定实数，使和同向．【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】（1）证明：因为，，，所以．所以，共线．又因为，有公共点，所以，，三点共线．（2）解：因为与同向，所以存在实数，使，即．所以．因为，是不共线的两个非零向量，所以，解得，或，又因为，所以．3.（2024·上海）设是不共线的两个非零向量.（1）若，求证：三点共线；（2）若与共线，求实数的值；（3）若，且三点共线，求实数的值.【答案】（1）证明见解析；（2）.（3）.【解析】证明：（1），所以.又因为为公共点，所以三点共线.（2）设，则解得或所以实数的值为.（3），因为三点共线，所以与共线.从而存在实数使，即，得解得所以.考法五向量判断三角形的四心【例5】（2023·山西太原）已知点在所在平面内，满，，则点依次是的（

）A．重心，外心 B．内心，外心 C．重心，内心 D．垂心，外心【答案】A【解析】设中点为，因为，所以，即，因为有公共点，所以，三点共线，即在的中线，同理可得在的三条中线上，即为的重心；因为，所以，点为的外接圆圆心，即为的外心综上，点依次是的重心，外心.故选：A【一隅三反】1．（2023·重庆江北）（多选）设点M是所在平面内一点，则下列说法正确的是（

）A．若，则点M是BC的中点B．若，则点M是的重心C．若，则点M，B，C三点共线D．若，则【答案】ACD【解析】对于A中，如图所示，根据向量的平行四边形法则，可得，若，可得M为BC的中点，所以A正确；

对于B中，若M为的重心，则满足，即，所以B不正确；对于C中，由，可得，即，所以M，B，C三点共线，所以C正确；对于D中，如图所示，由，

可得，所以D正确．故选：ACD2．（2023·山东枣庄·）（多选）数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点O、G、H分别是△ABC的外心、重心、垂心，且M为BC的中点，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】A.为重心，所以,所以,所以,所以，所以该选项正确.B.，由于G是重心，所以，所以，同理,所以，所以该选项正确.C.,所以该选项错误.D.,所以,所以该选项正确.故选：ABD

3．（2023·重庆万州）（多选）已知分别为的外心和重心，为平面内一点，且满足，则下列说法正确的是（

）A．B．为内心C．D．对于平面内任意一点，总有【答案】ACD【解析】A：由为的重心，则，，，所以，即，正确；B：，由为外心，所以，即，同理，故为垂心，错误.C：，所以，因为，故，而，所以，即，正确.D：，所以，因为，故，正确.故选：ACD考法六平面向量在几何中应用【例6】（2024北京）如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，.(1)用表示；(2)求证：B，E，F三点共线．【答案】(1)，，，，(2)证明见解析【解析】（1）解：在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，则，故，，，；（2）证明：因为，，所以，所以，又因有公共点，所以B，E，F三点共线．【一隅三反】1．（2023·河北）如图，已知四边形为平行四边形，与相交于，，，设，，试用基底表示向量，，.【答案】，，【解析】是平行四边形，，，，，，.2．（2023下·河南南阳·高一统考阶段练习）如图所示，在平行四边形中，，分别为边和的中点，为与的交点．(1)若，则四边形是什么特殊的平行四边形？说明理由．(2)化简，并在图中作出表示该化简结果的向量．【答案】(1)菱形，理由见解析(2)答案见解析【解析】（1）由条件知，即，又四边形是平行四边形，故四边形是菱形．（2）由平行四边形及三角形中位线的性质可知．所以．作出向量如图所示．单选题1．（2023吉林）向量化简后等于（）A． B． C． D．【答案】C【解析】故选：C.2（2023·安徽）如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则下列等式中错误的是（）A．＋＋＝0 B．＋＋＝0C．＋＋＝ D．＋＋＝【答案】D【解析】＋＋＝＋＝0，A正确；＋＋＝＋＋＝0，B正确；＋＋＝＋＝＋＝，C正确；＋＋＝＋0＝＝≠，D错误，故选：D．3．（2023广西）作用在同一物体上的两个力，当它们的夹角为时，则这两个力的合力大小为（）N.A．30 B．60 C．90 D．120【答案】B【解析】如图，，，，作平行四边形，则，因为，所以四边形是菱形，又，是等边三角形，．故选：B．4．（2013北京）若是内一点，，则是的（

）A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心【答案】D【解析】取线段的中点，连接，则，而，

因此，即三点共线，线段是的中线，且是靠近中点的三等分点，所以是的重心.故选：D5．（2023湖北）设是两个不共线的向量,若向量与共线,则()A．λ=0 B．λ=-1C．λ=-2 D．λ=-【答案】D【解析】由已知得存在实数k使,即,于是1=2k且λ=-k,解得λ=-.6．（2024·山东）已知△ABC，点G、M满足，，则(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】满足，∴为的重心，∴＝＝，又∵，∴．故选：A．7．（2023·全国·专题练习）设为的外心，若，则点是的（

）A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心【答案】C【解析】取BC的中点D，如图所示，连接OD，AM，BM，CM．因为，所以，又，则，所以，又由于为的外心，所以，因此有．同理可得，，所以点是的垂心．故选：C．8．（2023甘肃省）已知是的边的中点，点在上，且满足，则与的面积之比为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，由得，即，即，故，故与以为底，其高的比为，故．故选：C．多选题9．（2023下·陕西西安·高一期中）下列命题正确的的有（

）A．B．C．若，则共线D．，则共线【答案】ABC【解析】对于A，，故正确；对于B，，故正确；对于C，因为，所以，所以共线，故正确；对于D，因为恒成立，所以不一定共线，故错误.故选：ABC.10．（2023下·陕西西安·高一阶段练习）下列说法不正确的是（

）A．已知均为非零向量，则存在唯一的实数，使得B．若向量共线，则点必在同一直线上C．若且，则D．若点为的重心，则【答案】BC【解析】由平行向量的基本定理可知，选项A是正确的；向量共线的意思是向量所在的基线平行或共线，只有当向量，所在的直线线共线时，点，，，才在同一直线上，故B不正确；由平面向量的数量积可知，若，则，所以，无法得到，故C不正确；设线段的中点为，若点为的重心，则，而，所以，即D正确.故选：BC．11．（2023上·辽宁·高一沈阳二中校联考期末）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形如图2中的正八边形，其中O为正八边形的中心，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．和不能构成一组基底【答案】BCD【解析】因为正八边形中，，所以，但方向不同，所以不正确，故A错误；由，所以正确，故B正确；由正八边形知，，且,根据向量加法法则可知：为以为邻边的正方形中以为始点的一条对角线所对应的向量，所以，又，与以为始点的一条对角线所对应的向量共线，所以，故C正确；在正八边形中，，和平行，所以和共线，故和不能构成一组基底，故D正确.故选：BCD12．（2023下·广东·高一校联考期中）设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（

）A．若，则的形状为等边三角形B．若，则点三点共线C．若点是的重心，则D．若所在平面内一动点满足：，则的轨迹一定通过的内心【答案】ACD【解析】对于A，，为等边三角形，故A正确；对于B，，，、、三点不共线，故B错误；对于C，设，，分别为，，的中点，则，，，，即，故C正确；对于D，，，，，在的角平分线上，的轨迹一定通过的内心，故D正确．故选：ACD．填空题13．（2024·全国·高一课时练习）（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由向量的运算法则，可得．故选：A.14．（2024上·辽宁大连·高一期末）设，是两个不共线的向量，向量，共线，则.【答案】【解析】与共线，，，又，是两个不共线的向量，，解得.故答案为：.15．（2023上·湖南邵阳）如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点的三等分点，点F为BE的中点，若，则．【答案】【解析】，所以，，.故答案为：.16．（2022·高一课时练习）若向量，，则.【答案】【解析】；；；.故答案为：.解答题17．（2023·高一课前预习）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】（1）；（2）；（3）；（4）.18．（2024湖南）如图，按下列要求作答．(1)以A为始点，作出；(2)以B为始点，作出；(3)若为单位向量，求、和．【答案】(1)作图见解析(2)作图见解析(3)，，【解析】（1）将的起点同时平移到A点，利用平行四边形法则作出，如下图所示：（2）先将共线向量的起点同时平移到B点,计算出,再将向量与之首尾相接，利用三角形法则即可作出，如下图所示：（3）由是单位向量可知，根据作出的向量利用勾股定理可知，；由共线向量的加法运算可知；19．（2023·全国·高一课堂例题）如图，中，A