4.1 数列的概念（精练）（解析版）人教版高中数学精讲精练选择性必修二

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】4.1数列的概念（精练）一．单选题（每道题目只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分）1（2023·北京）已知数列满足，，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵数列满足，，∴，，，故选：D．2．（2023春·辽宁铁岭）已知数列，则该数列的第2024项为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】该数列的通项公式为，所以.故选：D.3．（2023春·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）下面图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，，，，，，等式两边同时累加得，即，也符合该式，所以第个图形中小正方形的个数是．故选：C4．（2023春·江西上饶·高二上饶市第一中学校考阶段练习）数列，3，，15，的一个通项公式可以是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】数列各项正､负交替，故可用来调节，又，所以通项公式为故选：A.5．（2023春·四川眉山）图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（

）

A．；n B．；C．；n D．；【答案】D【解析】第一代“勾股数”中正方形的个数为，面积和为2，第二代“勾股数”中正方形的个数为，面积和为3，第三代“勾股数”中正方形的个数为，面积和为4，…第n代“勾股数”中正方形的个数为，面积和为，故选：D6．（2023秋·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考阶段练习）数列的通项公式为，那么“”是“为递增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，，数列为递增数列，充分性成立；当数列为递增数列时，，恒成立，又，，必要性不成立；“”是“为递增数列”的充分不必要条件.故选：A.7．（2023春·上海浦东新）已知数列的通项公式为，且为递增数列，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵数列的通项公式为，数列是递增数列，∴，恒成立即，恒成立，而随n的增大而增大，即当时，取得最小值2，则，所以实数的取值范围是，故选：B.8．（2023·河南安阳）将正整数排成下表：则在表中数字2021出现在（

）A．第44行第77列 B．第45行第82列C．第45行第85列 D．第45行第88列【答案】C【解析】因为每行的最后一个数分别为1，4，9，16，…，所以可归纳出第行的最后一个数为，又因为，，所以2021在第45行，且第45行最后一个数为2025，又因为第1行有1个数，第2行有3个数，第3行有5个数，第4行有7个数，…，由此可归纳出第行有个数为，所以第45行共有89个数，又因为最后一个数是2025，第89个数是2025，所以第88个数是2024，第87个数是2023，第86个数是2022，第85个数是2021.故选：C.多选题（每道题目至少有两个选项为正确答案，每题5分，4题共20分）9．（2023秋·高二课时练习）下列说法正确的是（）A．数列可以用图象来表示B．数列的通项公式不唯一C．数列中的项不能相等D．数列可以用一群孤立的点表示【答案】ABD【解析】对于A，由数列定义知，数列是以项数为自变量，项为因变量的特殊函数，故可以用图象来表示，A正确；对于B，若数列有通项公式，则该数列的通项公式不一定唯一，例如：数列的通项公式可以为，也可以为，B正确；对于C，数列中的项可以相等，如常数列，C不正确；对于D，由数列是特殊的函数且知，数列可以用一群孤立的点表示，D正确.故选：ABD10．（2022秋·福建宁德·高二统考期中）已知数列，则下列说法正确的是（

）A．此数列的通项公式是 B．是它的第项C．此数列的通项公式是 D．是它的第项【答案】AB【解析】数列，即，则此数列的通项公式为，A正确，C错，令，解得，故B正确，D错.故选：AB11．（2023·湖北）数列满是，则（

）A．数列的最大项为 B．数列的最大项为C．数列的最小项为 D．数列的最小项为【答案】BD【解析】因为，所以，由，得到，且易知，时，，当时，，所以所以数列的最大项为，最小项为，故选：BD.12．（2023春·湖北省直辖县级单位·高二校考阶段练习）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题目，该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则（

）A．数列第16项为144 B．数列第16项为128C．200是数列第20项 D．200不是数列中的项【答案】BC【解析】数项分别为2，8，18，32，50，即，，，，，即偶数项对应的通项公式为，则数列的第16项为第8个偶数即，故选:BC．填空题（每题5分，4题共20分）13．（2023·福建宁德）在数列中，，则数列的最大项是第项．【答案】4【解析】，当时，取得最大值.故答案为：414．（2023·北京）已知数列的前n项和，则.【答案】【解析】当时，，当时，，不满足上式.故.故答案为：.15．（2023·湖南）公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究．他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数．形数是联系算术和几何的纽带．如图，数列1，6，15，28，45，…，从第二项起每一项都可以用六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么该数列的第8项对应的六边形数为．【答案】120【解析】由题意，从第二个图形开始，把最外面六边形右侧两条边延长构成一个新的六边形，新六边形每条边上的点数比原来多一个，因此我们有：，，，,,，，．故答案为:120.16．（2023春·江西南昌）已知数列满足，若对于任意的都有成立，则实数a的取值范围为.【答案】【解析】根据题意，数列满足成立，则数列为递增数列，又由数列满足，则有，解可得：，即a的取值范围是；故答案为：.解答题（17题10分，18-22题每题12分，6题共70分）17．（2023秋·高二课时练习）根据规律写出数列的通项(1)；(2)；(3)(4)；(5)【答案】(1)(2)(3)(4)（5）【解析】（1）解：，，，，，归纳猜想得.（2）解：，，，，。归纳猜想得.（3）解：，，，，，，，归纳猜想得.（4）解：，，，，，归纳猜想得.（5）解：，，，，，归纳猜想得.18．（2023春·黑龙江鸡西·高二鸡西市第四中学校考期中）已知数列.(1)这个数列的第4项是多少?(2)150是不是这个数列的项？若是，求出它是第几项；若不是，请说明理由；(3)该数列从第几项开始各项都是正数？【答案】(1)；(2)是，第16项；(3)第7项.【解析】（1）；（2）令，即，即，解得或（舍去），故150是这个数列的项，为第16项；（3）令，，解得或，因为n为正整数，所以从第7项开始都为正数.19．（2023秋·湖北襄阳）已知数列的通项公式为．(1)判断数列的单调性，并证明你的结论；(2)若数列中存在的项，求的值．【答案】(1)是递减数列，证明见解析(2)【解析】（1）因为，故数列是递减数列，证明：数列中，，则，所以，故数列是递减数列；（2）若，即，变形可得，解得：或（舍去），故．20．（2023秋·高二课时练习）已知无穷数列，，，…，，…．(1)求这个数列的第10项和第31项．(2)是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？(3)证明：不是这个数列中的项．【答案】(1)，(2)是这个数列中的第项(3)证明见解析【解析】（1）因为无穷数列，，，…，，…，所以该数列的通项公式为，则，.（2）因为，将代入，得，解得或（舍去），所以是这个数列中的第项.（3）因为，将代入，得，即，解得（负值舍去），又，故也不满足题意，所以不是这个数列中的项.21（2023·北京昌平）在数列中，若，且，则称为“数列”.设为“数列”，记的前项和为.(1)若，求，，的值；(2)若，求的值；(3)证明：中总有一项为1或3.【答案】(1)，，(2)(3)证明见解析【解析】（1）当时，中的各项依次为10，5，8，4，2，1，4，2，1，，即数列从第四项开始每三项是一个周期，所以，，，，，所以.（2）①若是奇数，则是偶数，，由，得，解得，适合题意.②若是偶数，不妨设，则.若是偶数，则，由，得，此方程无整数解；若是奇数，则，由，得，此方程无整数解.综上，.（3）证明：首先证明：一定存在某个，使得成立.否则，对每一个，都有，则在为奇数时，必有；在为偶数时，有，或.因此，若对每一个，都有，则，，，单调递减，注意到，显然这一过程不可能无限进行下去，所以必定存在某个，使得成立.经检验，当，或，或时，中出现1；当时，中出现3，综上，中总有一项为1或3.22．（2023·江苏）数列满足，.(1)求数列是单调递减数列的充分必要条件；(2)求c的取值范围，使得数列是单调递增数列.【答案】(1)答案见解析(2)【解析】本题的递推关系式对应的背景为二次函数，对称轴为.（1）当时，由于初始值即为，故，为常数列；当时，由图4的迭代过程