第10讲拓展四空间中距离问题（等体积法与向量法）

第10讲拓展四：空间中距离问题（等体积法与向量法）知识点01：用向量法求空间距离1、点到直线的距离已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得：2、点到平面的距离如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度.题型01利用向量法求点到直线的距离【典例1】（2024·广西来宾·一模）棱长为3的正方体中，点E，F满足，，则点E到直线的距离为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用向量法求点到直线的距离.【详解】如图，建立空间直角坐标系，根据条件可得，，，，，设向量与的夹角为，，所以点到直线的距离为.故选：A.【典例2】（2324高二下·北京·开学考试）如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点到直线距离的函数关系，再求其最小值即可.【详解】以题意，以点为原点，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，因为正方体棱长为1，，所以,,设,则,而,所以点到直线的投影数量的绝对值为,所以点到直线的距离为，当时，等号成立，即点到直线的距离最小值为，故选：C.【典例3】（2324高二上·安徽亳州·期末）如图，在三棱柱中，所有棱长都为2，且，平面平面，点为的中点，点为的中点．(1)点到直线的距离；(2)求点到平面的距离．【答案】(1)(2)【分析】（1）由面面垂直性质定理证明线面垂直，再得线线垂直，由此建立空间直角坐标系，利用向量方法求点到直线的距离；（2）利用法向量求解点面距.【详解】（1）由三棱柱中，所有棱长都为2，则四边形为平行四边形，且棱长都相等，即为菱形，又都为等边三角形，连接，所以为等边三角形，取中点，连接，则，又平面面，平面平面，面，所以平面，则，又因为，所以两两垂直.则以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如下图示，，由则，所以，则，所以点到直线的距离为.（2）由（1）知，设是平面的一个法向量，则，取，则，又，所以点到平面的距离.【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知在空间直角坐标系中，直线经过，两点，则点到直线的距离是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意先求出直线的方向向量，然后依次求得，则到直线的距离为，求解即可.【详解】由题意可知直线的方向向量为：，又，则，，点到直线的距离为：.故选：C.【变式2】（2324高二上·贵州毕节·期末）在空间直角坐标系中，已知三点，则点到直线的距离为.【答案】【分析】根据条件，求出，进而得出，再利用点到直线的距离的向量法即可求出结果.【详解】因为，所以，所以，得到，所以点到直线的距离为，故答案为：.【变式3】（2324高二上·广东韶关·阶段练习）如图，正方形的中心为，四边形为矩形，平面平面，点为的中点，.(1)求二面角的正弦值；(2)求点到直线的距离；【答案】(1)；(2).【分析】（1）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，用向量法求出二面角的余弦值，再求正弦值.（2）用向量法求点到直线的距离.【详解】（1）因为平面平面，且平面平面，平面，而，则平面，为正方形的中心，有，平面，则平面，显然直线两两垂直，以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，设平面的法向量为，则，令，得，由平面，得平面的一个法向量为，于是，所以二面角的正弦值为.（2）由（1）知，，，所以点到直线的距离.题型02点到平面的距离等体积法【典例1】（2324高一下·天津武清·阶段练习）如图，若正三棱柱的底面边长为，对角线的长为，点为的中点，则点到平面的距离为．【答案】/【分析】设与交于点O，连接，可证得平面，求点到平面的距离可以转化为求点到平面的距离，然后利用进行计算求解；【详解】设与交于点，连接，在正三棱柱中，显然点为的中点，又点为的中点，所以，又平面，平面，所以平面，所以求点到平面的距离可以转化为求点到平面的距离，因为，，，所以有，所以，所以，易得，所以，设点到平面的距离为，由，即，所以有，解得，即点到平面的距离为.故答案为：【典例2】（2324高二下·江苏南通·阶段练习）如图，在三棱柱中，侧面为矩形，，，D是的中点，与交于点，且平面.若，则三棱柱的高为.【答案】/【分析】连接，设三棱柱的高为，分别求出相关的边和三角形面积，利用即可求得.【详解】如图，连接,设点到平面的距离为，则即三棱柱的高.因,D是的中点，则,由侧面为矩形易得,可得，,则又，因平面，因平面，则,故,,则的面积为,的面积为,由可得，解得，即三棱柱的高为.故答案为：.【典例3】（2024·广东·二模）将一个直角三角板放置在桌面上方，如图，记直角三角板为，其中，记桌面为平面.若，且与平面所成的角为，则点到平面的距离的最大值为.【答案】【分析】作出辅助线，判断出当四点共面时，点A到的距离最大，进而算出，最后得到答案．【详解】如图，过作⊥，交于，过A作⊥，交于，因为在中，,，则，当四点共面时，点A到的距离最大．因为⊥，所以是BC与平面所成的角，则，则，于是，，即A到的最大距离为．故答案为：．【变式1】（2024高一下·全国·专题练习）已知正方体的棱长为1，点O在线段上且，则点O到平面的距离是.【答案】/【分析】证明出平面，故的长即为点到平面的距离，求出，根据比例关系得到答案.【详解】如图，设，又正方体棱长为1，所以，平面，又平面，所以，因为，平面，所以平面，的长即为点到平面的距离，所以，因为点O在线段上，且，所以点O到平面的距离．故答案为：【变式2】（2324高二上·福建福州·期末）在正三棱柱中，，动点P在棱上，则点P到平面的距离为.【答案】【分析】利用三棱锥的等积性，结合三棱锥的体积公式进行求解即可.【详解】在正三棱柱中，若，平面，平面，所以平面，动点P在棱上，所以P到平面的距离等于到平面的距离，由勾股定理可得，在等腰三角形中，底边上的高长为，所以等腰三角形的面积为，由正三棱锥性质可得，，且平面平面，平面平面，所以到平面的距离为到的距离，设点B1到平面的距离为，，故答案为：【变式3】（2324高二上·上海松江·阶段练习）在直三棱柱中，，则点B到平面的距离为.【答案】/【分析】利用等体积法求点面距离即可.【详解】由题设为等边三角形，各侧面均为正方形，故，所以中上的高为，则，若点B到平面的距离为，又，由直棱柱的结构特征知：到面的距离是中边上的高为，所以，则，即点B到平面的距离为.故答案为：题型03点到平面的距离的向量法【典例1】（广西贵百河20232024学年高一下学期5月新高考月考测试数学试卷）如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，分别是的中点，是边长为2的等边三角形，．(1)证明：；(2)求点到平面的距离．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由等边三角形三线合一可得，再由侧棱垂直于底面可得面即可得出结论；（2）可由等体积法计算即可得出.【详解】（1）法一:是等边三角形，且是中点面，面面，面，且面面法二：取的中点，则面，可知两两垂直，如图以为轴，为轴，为轴，则，，，；所以，，则，即；（2）法一：由题可知：；在中，，；取中点，在中，，边上的高为；；设点到平面的距离为，则，解得，即点到平面的距离为．法二：，，，，设面的法向量为，；设点到面的距离为，故点到平面的距离为.【典例2】（2324高二下·甘肃武威·期中）如图，在直三棱柱中，为的中点，点分别在棱和棱上，且．(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取的中点，连接，即可得且，从而得到，再根据线面平行的判定定理得到平面；（2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量为，利用点到平面的距离的向量计算公式即可求得点到平面的距离.【详解】（1）取的中点，连接，则，且，所以且，则四边形为平行四边形，．又平面平面，平面．（2）直三棱柱中，，以为原点，以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为，则，即令，则，得到平面的一个法向量，又，，所以点到平面的距离．【典例3】（2024·吉林·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，为中点，点在梭上（不包括端点）.(1)证明：平面平面；(2)若点为的中点，求直线到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由线面垂直的性质与勾股定理，结合三线合一证得，，再线面垂直与面面垂直的判定定理即得证.（2）由线面平行判定定理可证得平面，则点到平面的距离即为到平面的距离.方法一：以为原点建立空间直角坐标系，运用点到面的距离公式计算即可.方法二：运用等体积法计算即可.【详解】（1）证明：连接，如图所示，平面，，，即，又为中点，则，且，四边形为正方形，，平面平面，又，、平面，平面，又平面平面平面.（2）在中，分别为中点，，又平面平面，平面，点到平面的距离即为到平面的距离，（方法一），以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系，如图所示，则，，设是平面的法向量，，取，则是平面的一个法向量，点到平面的距离为，即直线到平面的距离为.（方法二）连接、，如图所示，为等腰直角三角形，，又平面是三棱锥的高，，，，，设到平面距离为，则，，即到平面的距离为.【变式1】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，三棱柱中，是边长为2的等边三角形，.

(1)证明：；(2)若三棱柱的体积为3，且直线与平面ABC所成角为60°，求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取中点，借助等边三角形的性质结合线面垂直的判定定理可得平面，结合线面垂直的性质定理即可得证；（2）建立适当空间直角坐标系，再利用体积公式与空间向量夹角公式，结合点到平面的距离公式计算即可得解.【详解】（1）如图，取中点，连接，，因为是等边三角形，所以，又，所以，且，平面，平面，所以平面，因为平面，所以，又，所以；

（2）在平面中，作，垂足为D，由（1）知平面，平面，所以，而，平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，由为中点，所以，所以可过点O作Oz轴平行于，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为三棱柱的体积为3，所以，故，则，，，设，，所以平面ABC的一个法向量为，所以，解得，此时，，所以，，设平面的法向量为，则，即，令，解得，，所以，又，故点到平面的距离为.【变式2】（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，边长为4的两个正三角形，所在平面互相垂直，E，F分别为，的中点，点G在棱上，，直线与平面相交于点H.(1)从下面两个结论中选一个证明：①；②直线，，相交于一点；注：若两个问题均作答，则按第一个计分.(2)求点A到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）选①，易知，从而得平面，再由线面平行的性质定理，即可得；选②，易知与不平行，设，根据点、线、面的位置关系，可证，从而得证；（2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，利用向量法求解点面距离即可．【详解】（1）证明：选①，因为，分别为，的中点，所以，又平面，平面，所以平面，因为平面，平面平面，所以．选②，因为，是的中点，所以与不平行，设，则，，因为平面，平面，所以平面，平面，又平面平面，所以，所以直线，，相交于一点．（2）连接，，因为与均为正三角形，且是的中点，所以，，又平面平面，平面平面，，平面，所以平面，因为平面，所以，故以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则,,0,，,,,，所以,，故,,，所以,,,,,,，设平面的法向量为,,，则，令，则，，所以,1,，所以点到平面的距离为，故点与平面的距离为．【变式3】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，二面角的大小为，点到底面的距离为．(1)若是的中点，求证：平面；(2)若，求点到平面的距离．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取的中点，连接、，即可证明，从而得证；（2）取的中点，的中点，证明平面，建立空间直角坐标系，由条件求平面的法向量和，利用空间向量法求点到平面的距离．【详解】（1）取的中点，连接、，因为是的中点，所以且，又且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）取线段的中点为，线段的中点为，连接，因为为直角梯形，，所以，又，所以，因为，所以，又，平面，所以平面，过点在平面内作直线，则直线两两垂直，以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，过点作，交直线于点，因为，平面，，所以平面，故平面，又点P到底面的距离为，所以，因为，，所以为二面角的平面角，由已知可得，所以，所以，所以，所以，，因为，所以，所以设平面的法向量为，则，所以，令，则，所以为平面的一个法向量，所以点到平面的距离.题型04点到平面的距离的探索性问题【典例1】（2324高二上·浙江宁波·期末）已知四棱锥的底面为边长为2的正方形，分别为和的中点，则平面上任意一点到底面中心距离的最小值为.【答案】【分析】由面到点的距离的最小值转化为点到面的距离的最小值，建立合适的空间直角坐标系，由点到面的距离即可求得平面上任意一点到底面中心距离的最小值.【详解】四棱锥的底面为边长为2的正方形，连接且相交于点，则点是底面中心，，取的中点，连接，则，又，又，面又面，面面又，为面与面的交线，平面面又面，面，以点为原点，以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，设平面的法向量为，设到平面的距离为，则令，则，代入距离公式得，故答案为：.【典例2】（2324高三上·北京昌平·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为棱的中点.

(1)证明：∥平面；(2)若，，（i）求二面角的余弦值；（ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见详解(2)（i），（ii）存在点，.【分析】（1）取中点，可证四边形是平行四边形，可得，得证；（2）（i）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，（ii）假设存在点到平面的距离为，利用点到面距离的向量法求解即可.【详解】（1）如图，取中点，连接，，因为是中点，所以，，又，，，，所以四边形是平行四边形，，又平面，平面，平面.

（2），，又，，，则，又平面平面，平面平面，平面，，又，所以，，两两互相垂直，如图，以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，（i）设平面的一个法向量为，则，即，令，可得，，，又平面的一个法向量为，，所以二面角的余弦值为.（ii）假设线段上存在点，使得点到平面的距离为，设，，，，由（i）知平面的一个法向量为，所以点到平面的距离为，则，解得或，又，所以，即存在点到平面的距离为，且.【变式1】（2324高二上·湖北宜昌·期中）如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是矩形，，P为棱AD的中点，且，，若点M到平面SBC的距离为，则实数的值为．【答案】【分析】建立合适的空间直角坐标系，写出相关点坐标，得到，，利用求出，再利用点到平面距离公式，代入相关向量坐标，解出即可.【详解】过点作，交于点，，为中点，，又，且，平面，平面，平面，则，则易得两两垂直，所以以为原点，所在直