专题2.6 幂函数（解析版）

2.6幂函数思维导图知识点总结知识点一幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．知识点二五个幂函数的图象与性质1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图．2．五个幂函数的性质y＝xy＝x2y＝x3y＝x－1定义域RRR[0，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增在[0，＋∞)上增，在(－∞，0]上减增增在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上减知识点三一般幂函数的图象特征1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．5．在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．典型例题分析考向一幂函数的概念例1(1)下列函数：①y＝x3；②y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．其中幂函数的个数为()A．1B．2C．3D．4答案B解析幂函数有①⑥两个．(2)已知是幂函数，求m，n的值．考点幂函数的概念题点由幂函数定义求参数值解由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋2m－2＝1，,2n－3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－3，,n＝\f(3,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝\f(3,2).))所以m＝－3或1，n＝eq\f(3,2).反思感悟判断函数为幂函数的方法(1)自变量x前的系数为1.(2)底数为自变量x.(3)指数为常数．考向二幂函数的图象及应用例2(1)已知幂函数f(x)＝xα的图象过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,4)))，试画出f(x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间．解因为f(x)＝xα的图象过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,4)))，所以f(2)＝eq\f(1,4)，即2α＝eq\f(1,4)，得α＝－2，即f(x)＝x－2，f(x)的图象如图所示，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调减区间为(0，＋∞)，单调增区间为(－∞，0)．(2)下列关于函数y＝xα与y＝αxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α∈\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)，2，3))))的图象正确的是()答案C反思感悟(1)幂函数图象的画法①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象．②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象．(2)解决与幂函数有关的综合性问题的方法首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α∈R)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．考向三比较幂值的大小例3比较下列各组数的大小．(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))0.5与eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))0.5；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))－1与eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))－1；(3)与.解(1)因为幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，又eq\f(2,5)>eq\f(1,3)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))0.5>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))0.5.(2)因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，又－eq\f(2,3)<－eq\f(3,5)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))－1>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))－1.(3)因为在(0，＋∞)上是单调递增的，所以＝1，又在(0，＋∞)上是单调递增的，所以＝1，所以.反思感悟此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变．比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量．考向四幂函数性质的应用例4已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足的a的取值范围．考点幂函数的性质题点利用幂函数的性质解不等式解因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－9<0，解得m<3.又因为m∈N*，所以m＝1,2.因为函数的图象关于y轴对称，所以3m－9为偶数，故m＝1.则原不等式可化为因为在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，所以a＋1>3－2a>0或3－2a<a＋1<0或a＋1<0<3－2a，解得eq\f(2,3)<a<eq\f(3,2)或a<－1.故a的取值范围是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(a<－1或\f(2,3)))<a<\f(3,2))).通过具体事例抽象出幂函数的概念和性质，并应用单调性求解，所以，本典例体现了数学中数学抽象与直观想象的核心素养．基础题型训练一、单选题1．已知函数是幂函数，则函数(，且)的图象所过定点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】先由函数是幂函数，求出，再由对数函数的特征，即可判断定点坐标.【详解】因为函数是幂函数，所以，因此，所以，由可得，，所以函数(，且)的图象所过定点的坐标是.故选：A.2．函数的单调减区间是（

）A． B． C． D．和【答案】D【分析】利用f（x）与y的图像间的关系及幂函数性质即可得答案．【详解】根据题意，函数f（x）的图像是由y的图像向下平移一个单位得到的，∴定义域为{x|x≠0}，单调性与y的单调性相同，而函数y的单调减区间是（﹣∞，0）和（0，+∞），∴函数f（x）的单调减区间是（﹣∞，0）和（0，+∞）；故选D．【点睛】本题考查函数的单调区间的求法及图像变换，考查了基本初等函数的性质，属于基础题．3．已知幂函数y＝(m∈Z)的图象与x轴和y轴没有交点，且关于y轴对称，则m等于（

）A．1 B．0，2 C．－1，1，3 D．0，1，2【答案】C【分析】由幂函数的图象的性质得到指数小于零，且为偶数，解不等式得m的可能值，然后再进行检验.【详解】∵幂函数y＝(m∈Z)的图象与x轴、y轴没有交点，且关于y轴对称，∴m2－2m－3≤0，且m2－2m－3(m∈Z)为偶数，由m2－2m－3≤0，得－1≤m≤3，又m∈Z，∴m＝－1，0，1，2，3.当m＝－1时，m2－2m－3＝1＋2－3＝0，为偶数，符合题意；当m＝0时，m2－2m－3＝－3，为奇数，不符合题意；当m＝1时，m2－2m－3＝1－2－3＝－4，为偶数，符合题意；当m＝2时，m2－2m－3＝4－4－3＝－3，为奇数，不符合题意；当m＝3时，m2－2m－3＝9－6－3＝0，为偶数，符合题意．综上所述，m＝－1，1，3.故选：C.4．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数的解析式，分、和三种情况分类讨论，得出函数的解析式，结合函数的图象，即可求解.【详解】由题意，当时，，所以当时，；当时，；当时，.综上，函数，在时的解析式等价于.根据奇函数的图像关于原点对称作出函数在上的大致图像如图所示，观察图像可知，要使，，则需满足，解得.故选：B.5．下列比较大小中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用函数的单调性进行判断即可.【详解】解：对于A选项，因为在上单调递增，所以，故A错误，对于B选项，因为在上单调递减，所以，故B错误，对于C选项，为奇函数，且在上单调递增，所以在上单调递增，因为，又，所以，故C正确，对于D选项，在上是递增函数，又，所以，所以，故D错误.故选：C.6．“”是“函数在上单调递增”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据幂函数的性质可得：，然后根据充分、必要条件的判断即可求解.【详解】由函数的性质可得：，因为由一定能推出，但由不一定能推出，所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件，故选：.二、多选题7．关于幂函数是常数），结论正确的是（

）A．幂函数的图象都经过原点B．幂函数图象都经过点C．幂函数图象有可能关于轴对称D．幂函数图象不可能经过第四象限【答案】BCD【分析】根据幂函数的性质逐一判断.【详解】对于A：幂函数不经过原点，A错误对于B：对于幂函数是常数），当时，，经过点，B正确；对于C：幂函数的图像关于轴对称，C正确；对于D：幂函数图象不可能经过第四象限，D正确.故选：BCD.8．已知函数的图象经过点，则（

）A．的图象经过点（2，4） B．的图象关于原点对称C．在上单调递减 D．在内的值域为【答案】BCD【分析】由题意得，结合幂函数与反比例函数的图象与性质即可求解【详解】将点代入，可得，则，f（x）的图象不经过点（2，4），A错误；根据反比例函数的图象与性质可得B，C，D正确.故选：BCD三、填空题9．已知幂函数在上单调递增，则m＝______．【答案】4【分析】根据幂函数的定义与性质列式求解.【详解】由题意可得，解得故答案为：4.10．已知是奇函数，且当时，.若，则__________.【答案】-3【分析】当时，代入条件即可得解.【详解】因为是奇函数，且当时，．又因为，，所以，两边取以为底的对数得，所以，即．【点睛】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．11．若函数为奇函数，则的取值范围为__________．【答案】【详解】分析：中，，由在定义域内是一个偶函数，，知为奇函数，由此能求出的取值范围.详解：中，，，在定义域内是一个偶函数，，要使函数为奇函数，则为奇函数，①当时，；②当时，；③当时，.只有定义域为的子区间，且定义域关于0对称，才是奇函数，，即，.故答案为.点睛：本题考查函数的奇偶性的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的灵活应用.12．已知幂函数为偶函数，且在区间上是单调增函数，则的值为_________．【答案】【详解】试题分析：因为幂函数在区间上是单调增函数，所以，解得：，因为，所以或或．因为幂函数为偶函数，所以是偶数，当时，，不符合，舍去；当时，；当时，，不符合，舍去．所以，故．考点：1、幂函数的性质；2、函数值．四、解答题13．在同一坐标系内画出下列函数的图象，并加以比较：（1），；

（2），.【答案】（1）答案解详解；（2）答案见详解.【分析】（1）利用幂函数的图象与性质即可求解.（2）利用幂函数的图象与性质即可求解.【详解】（1）图象如图（1），仅在上存在图象，在上存在图象，且在第一象限内，两图象交于点，当时，的图象在图象的上方，当时，的图象在图象的下方，的图象在图象的下方，（2）图象如图（2），仅图象在第一、三象限，图象在第一、二象限内，且在第一象限内，两图象交于点，当时，的图象在图象的下方，当时，的图象在图象的上方，14．已知函数为幂函数，且为奇函数.（1）求的值；（2）求函数在的值域.【答案】（1）；（2）【解析】（1）首先根据幂函数的定义得到，从而得到或，再根据为奇函数，即可得到答案.（2）首先根据题意得到，再利用换元法求值域即可.【详解】（1）因为函数为幂函数，所以，解得或.即或.又因为函数为奇函数，所以，.（2），设，因为，所以，.所以，当时，，当时，，故值域为.15．已知幂函数（m为正整数）的图像关于y轴对称，且在上是严格减函数，求满足的实数a的取值范围．【答案】【分析】根据函数为幂函数以及函数的性质，可确定参数m的取值，结合幂函数的单调性，分类讨论求解不等式，可得答案.【详解】因为函数在上是严格减函数，所以，解得．由m为正整数，则或,又函数的图像关于y轴对称，得是偶函数，而当时，，为奇函数，不符题意，当时，，为偶函数，于是．因为为奇函数，在与上均为严格减函数，所以等价于或或，解得或，即.16．已知函数为奇函数，其中求的值；求使不等式成立的的取值范围.【答案】（1），.（2）【分析】（1）根据，可化简为，已知，解出的值；（2）根据（1）的结果，解不等式，求的取值范围.【详解】解：因为为奇函数，所以对定义域内任意的恒成立即化简得故，，解得，.由知由，得解得综上，满足题意的的取值范围是【点睛】本题考查了对数型函数是奇函数求参数取值的问题，属于基础题型，当对数型函数是奇函数时，经常利用，计算求解.提升题型训练一、单选题1．幂函数f（x）的图象过点，则f（x）的一个单调递减区间是（

）A．（0，+∞） B．[0，+∞） C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，0）【答案】A【分析】设,根据,解出,根据幂函数的单调性可得答案.【详解】设,则,即,所以,所以,所以的递减区间为,故选:A【点睛】本题考查了求幂函数的解析式,考查了幂函数的单调性,属于基础题.2．数学学习的最终目标：让学习者会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界.“双11”就要到了，电商的优惠活动很多，某同学借助于已学数学知识对“双11”相关优惠活动进行研究.已知2019年“双11”期间某商品原价为元，商家准备在节前连续2次对该商品进行提价且每次提价，然后在“双11”活动期间连续2次对该商品进行降价且每次降价.该同学得到结论：最后该商品的价格与原来价格元相比.A．相等 B．略有提高 C．略有降低 D．无法确定【答案】C【分析】先阅读题意，再列出现价，再比较大小即可.【详解】解：设现价为，则，则，则该商品的价格与原来价格相比略有降低，故选C.【点睛】本题考查了函数的实际应用，重点考查了阅读能力，属基础题.3．已知是幂函数，且、，都有，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用函数是幂函数且在为增函数可求得的值，将所求不等式变形为，由此可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.【详解】因为是幂函数，所以，解得或.又因为、，都有，可设，则，所以，函数是单调递增函数，当时，，该函数在上不单调，不合乎题意；当时，，该函数在上为增函数.所以等价于，所以，解得.故答案为：.【点睛】本题考查利用函数的单调性求解函数不等式，同时也考查了利用幂函数求参数，考查计算能力，属于中等题.4．已知幂函数为偶函数，则关于函数的下列四个结论中正确的是（

）A．的图象关于原点对称 B．的值域为C．在上单调递减 D．【答案】D【分析】根据为幂函数且为偶函数可得，进而得，根据奇偶性的判断可判断A，根据单调性确定值域可判断B，C,代入计算进而可判断D.【详解】因为是幂函数,所以,解得或,又是偶函数,所以,故,故;对于A;,故是偶函数，图象关于轴对称，故A错误，对于B；，由于，所以，故，故值域为，故B错误,对于C;,由于在单调递增，故在单调递减，故在递增，故C错误，对于D；从而，故D正确，故选：D5．定义在R上的偶函数在[0，＋∞)上是增函数，则方程＝的所有实数根的和为()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】由函数为R上的偶函数，由偶函数的性质有f(|x|)＝f(|2x－3|)，再结合函数在[0，＋∞)上是增函数，列方程|x|＝|2x－3|求解即可.【详解】解:由于函数f(x)为偶函数，则f(|x|)＝f(|2x－3|)，又函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，则|x|＝|2x－3|，整理得x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3，故x1＋x2＝4.故选D.【点睛】本题考查了偶函数的性质及函数单调性，重点考查了函数的性质，属基础题.6．下列命题中，正确的有（

）个①对应：是映射，也是函数；②若函数的定义域是（1,2），则函数的定义域为；③幂函数与图像有且只有两个交点；④当时，方程恒有两个实根.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】对于①，由映射和函数的定义判断即可；对于②，由抽象函数的定义求解即可；对于③，结合幂函数的性质作出图象即可判断；对于④，将问题转化为与的图象交点个数的问题，作出图象即可判断.【详解】解：对于①，对应：是映射，也是函数；符合映射，函数的定义，故①对；对于②，若函数的定义域是（1,2），则故函数的定义域为，故②对对于③，幂函数为偶函数，在上单调递增，在上单调递减且图像过，为偶函数，在上单调递减，在上单调递增且图像过所以两个图像有且只有两个交点；故③对；于④，当时，单调递增，且函数值大于1，所以当时，方程只有一个实根.故④错；故选：C二、多选题7．已知函数f（x）=xa的图象经过点（，2），则（

）A．f（x）的图象经过点（2，4） B．f（x）的图象关于原点对称C．f（x）在（0，+∞）上单调递增 D．f（x）在（0，+∞）内的值域为（0，+∞）【答案】BD【分析】代入已知点坐标求得函数解析式，然后根据幂函数的性质判断．【详解】将点的坐标代入，可得，则，的图象不经过点，A错误.在上单调递减，C错误.根据反比例函数的图象与性质可得B，D正确.故选：BD．8．设函数，则（

）A．存在实数，使的定义域为RB．函数一定有最小值C．对任意的负实数，的值域为D．若函数在区间上递增，则【答案】ABD【分析】对于A：当时，的定义域为R，所以A正确；对于B：，所以一定有最小值，所以B正确；对于C：举例验证即可；对于D：分两种情况，根据单调性求解，所以D正确；【详解】对于A：当，即时，若，定义域为，当时，若的定义域为R，则，即，即，，所以存在实数，使的定义域为R，所以A正确；对于B：，所以一定有最小值，所以B正确；对于C：当时，，所以的值域为，所以C不正确；对于D：当，即时，若，满足函数在区间上递增，当时，若函数在区间上递增，则，解得，综上，所以D正确；故选：ABD.三、填空题9．已知幂函数f(x)=xa的图象过点(4,2),则a=_______【答案】【分析】直接把点的坐标代入幂函数的解析式即得解.【详解】由题得所以.故答案为【点睛】本题主要考查幂函数的解析式中参数的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.10．实数满足，则实数的取值集合为__________.【答案】【分析】首先分析出幂函数的定义域和单调性，然后可解出不等式.【详解】，其定义域为，且在定义域上单调递减，因为，所以，解得故答案为：11．已知幂函数的图像关于直线对称，且在上单调递减，则关于的不等式的解集为______．【答案】【分析】由幂函数单调递减得，结合图像关于对称即为偶函数，即可求得，利用幂函数的单调性即可解不等式.【详解】由在上单调递减得，，故，又，故或2，当时，，满足条件；当时，，图像不关于直线对称，故.因为函数在为减函数，故由不等式得，或或.解得或，综上：.故答案为：12．设函数，则使成立的的取值范围是___________.【答案】【详解】分析：首先判断函数为偶函数，再判断在单调递减，得到在单调递增，从而将原不等式转化为求解即可.详解：因为函数，所以时，,可得在单调递减，，所以函数为偶函数，所以在单调递增，又因为，，，，，故答案为.点睛：本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.四、解答题13．已知幂函数的图像经过点，求这个幂函数的解析式.【答案】.【解析】设出幂函数的解析式，把点的坐标代入求出参数即可.【详解】解：设幂函数，因为图像经过点，所以，所以，所以.【点睛】本题考查了已知幂函数图像过点求解析式问题，属于基础题.14．已知幂函数图像不经过第三象限；(1)求的值；(2)求函数的值域.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据幂函数的定义可知，再结合其图像不经过第三象限即可求出；（2）由（2）可知，，定义域为，再换元，根据二次函数的性质即可求出．(1)根据题意得，，解得