专题2.6 幂函数（原卷版）

2.6幂函数思维导图知识点总结知识点一幂函数的概念一般地，函数叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．知识点二五个幂函数的图象与性质1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图．2．五个幂函数的性质y＝xy＝x2y＝x3y＝x－1定义域RRR[0，＋∞)值域RR奇偶性奇单调性增在[0，＋∞)，在(－∞，0]上在(0，＋∞)上，在(－∞，0)上知识点三一般幂函数的图象特征1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点．2．当α>0时，幂函数的图象通过，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象；当0<α<1时，幂函数的图象．3．当时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．5．在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．典型例题分析考向一幂函数的概念例1(1)下列函数：①y＝x3；②y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．其中幂函数的个数为()A．1B．2C．3D．4(2)已知是幂函数，求m，n的值．反思感悟判断函数为幂函数的方法(1)自变量x前的系数为1.(2)底数为自变量x.(3)指数为常数．考向二幂函数的图象及应用例2(1)已知幂函数f(x)＝xα的图象过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,4)))，试画出f(x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间．反思感悟(1)幂函数图象的画法①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象．②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象．(2)解决与幂函数有关的综合性问题的方法首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α∈R)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．考向三比较幂值的大小例3比较下列各组数的大小．(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))0.5与eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))0.5；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))－1与eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))－1；(3)与.反思感悟此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变．比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量．考向四幂函数性质的应用例4已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足的a的取值范围．通过具体事例抽象出幂函数的概念和性质，并应用单调性求解，所以，本典例体现了数学中数学抽象与直观想象的核心素养．基础题型训练一、单选题1．已知函数是幂函数，则函数(，且)的图象所过定点的坐标是（

）A． B． C． D．2．函数的单调减区间是（

）A． B． C． D．和3．已知幂函数y＝(m∈Z)的图象与x轴和y轴没有交点，且关于y轴对称，则m等于（

）A．1 B．0，2 C．－1，1，3 D．0，1，24．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．5．下列比较大小中正确的是（

）A． B．C． D．6．“”是“函数在上单调递增”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二、多选题7．关于幂函数是常数），结论正确的是（

）A．幂函数的图象都经过原点B．幂函数图象都经过点C．幂函数图象有可能关于轴对称D．幂函数图象不可能经过第四象限8．已知函数的图象经过点，则（

）A．的图象经过点（2，4） B．的图象关于原点对称C．在上单调递减 D．在内的值域为三、填空题9．已知幂函数在上单调递增，则m＝______．10．已知是奇函数，且当时，.若，则__________.11．若函数为奇函数，则的取值范围为__________．12．已知幂函数为偶函数，且在区间上是单调增函数，则的值为_________．四、解答题13．在同一坐标系内画出下列函数的图象，并加以比较：（1），；

（2），.14．已知函数为幂函数，且为奇函数.（1）求的值；（2）求函数在的值域.15．已知幂函数（m为正整数）的图像关于y轴对称，且在上是严格减函数，求满足的实数a的取值范围．16．已知函数为奇函数，其中求的值；求使不等式成立的的取值范围.提升题型训练一、单选题1．幂函数f（x）的图象过点，则f（x）的一个单调递减区间是（

）A．（0，+∞） B．[0，+∞） C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，0）2．数学学习的最终目标：让学习者会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界.“双11”就要到了，电商的优惠活动很多，某同学借助于已学数学知识对“双11”相关优惠活动进行研究.已知2019年“双11”期间某商品原价为元，商家准备在节前连续2次对该商品进行提价且每次提价，然后在“双11”活动期间连续2次对该商品进行降价且每次降价.该同学得到结论：最后该商品的价格与原来价格元相比.A．相等 B．略有提高 C．略有降低 D．无法确定3．已知是幂函数，且、，都有，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．4．已知幂函数为偶函数，则关于函数的下列四个结论中正确的是（

）A．的图象关于原点对称 B．的值域为C．在上单调递减 D．5．定义在R上的偶函数在[0，＋∞)上是增函数，则方程＝的所有实数根的和为()A．1 B．2 C．3 D．46．下列命题中，正确的有（

）个①对应：是映射，也是函数；②若函数的定义域是（1,2），则函数的定义域为；③幂函数与图像有且只有两个交点；④当时，方程恒有两个实根.A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题7．已知函数f（x）=xa的图象经过点（，2），则（

）A．f（x）的图象经过点（2，4） B．f（x）的图象关于原点对称C．f（x）在（0，+∞）上单调递增 D．f（x）在（0，+∞）内的值域为（0，+∞）8．设函数，则（

）A．存在实数，使的定义域为RB．函数一定有最小值C．对任意的负实数，的值域为D．若函数在区间上递增，则三、填空题9．已知幂函数f(x)=xa的图象过点(4,2),则a=_______10．实数满足，则实数的取值集合为__________.11．已知幂函数的图像关于直线对称，且在上单调递减，则关于的不等式的解集为______．12．设函数，则使成立的的取值范围是___________.四、解答题13．已知幂函数的图像经过点，求这个幂函数的解析式.14．已知幂函数图像不经过第三象限；(1)求的值；(2)求函数的值域.15．已知函数.（1）若是