专题8.4 空间向量与立体几何（原卷版）

专题8.4空间向量与立体几何题型一空间向量及其运算题型二空间共面向量定理题型三求平面的法向量题型四利用空间向量证明平行，垂直题型五求空间角题型六已知夹角求其他量题型七求异面直线，点到面或者面到面的距离题型八求点到线的距离题型九点的存在性问题题型一 空间向量及其运算例1．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝3，AA1＝4，∠DAB＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，设，，．

(1)用，，表示；(2)求AC1的长．例2．（2022·全国·高二专题练习）已知向量，，且，则（

）A． B．2 C． D．3练习1．（2023春·高二课时练习）如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1，点E，F分别是OA，OC的中点．求下列向量的数量积：(1)(2)(3)练习2．（2022·高三课时练习）已知：，∥，⊥，求：(1)，，；(2)与所成角的余弦值.练习3．（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，是的中点，设，，，用，，表示，则（

）

A． B． C． D．练习4．（2023·山东·校联考模拟预测）定义两个向量与的向量积是一个向量，它的模，它的方向与和同时垂直，且以的顺序符合右手法则（如图），在棱长为2的正四面体中，则（

）A． B．4 C． D．练习5．（2022·高三单元测试）（多选）已知空间中三点A（0，1，0），B（1，2，0），C（﹣1，3，1），则正确的有（）A．与是共线向量B．的单位向量是（1，1，0）C．与夹角的余弦值是D．平面ABC的一个法向量是（1，﹣1，3）题型二 空间共面向量定理例3．（2022·高二课时练习）（多选）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，例4．（2023春·江苏宿迁·高三校考阶段练习）已知向量，不共线，，，，则（

）A．与共线 B．与共线C．，，，四点不共面 D．，，，四点共面练习6．（2023春·河南安阳·高三安阳一中校联考开学考试）在空间直角坐标系中，已知点，若四点共面，则__________.练习7．（2023春·高三课时练习）设空间任意一点和不共线的三点，，，若点满足向量关系（其中），试问：，，，四点是否共面？练习8．（2023·高二校考课时练习）已知是空间的一组基底，则可以与向量，构成基底的向量是（

）A． B． C． D．练习9．（2022·北京·高三强基计划）（多选）如图，已知正三棱锥的侧棱长为l，过其底面中心O作动平面，交线段于点S，交的延长线于M，N两点．则下列说法中正确的是（

）A．是定值 B．不是定值C． D．练习10．（2022秋·重庆·高三统考期末）（多选）若构成空间的一个基底，则下列说法中正确的是（

）A．存在，使得B．也构成空间的一个基底C．若，则直线与异面D．若，则，，，四点共面题型三 求平面的法向量例5．（2023·全国·高三专题练习）设向量是直线l的方向向量，是平面α的法向量，则（

）A． B．或 C． D．例6．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知，，，则平面ABC的一个法向量可以是（

）A． B． C． D．练习11．（2023春·湖北·高三校联考阶段练习）已知点在平面内，是平面的一个法向量，则下列点中，在平面内的是（

）A． B． C． D．练习12．（2023春·高三课时练习）已知，则平面的一个单位法向量是（

）A． B．C． D．练习13．（2023春·高三课时练习）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面PCD的一个法向量.练习14．（2023春·高二课时练习）已知在正方体中，E，F分别是BB1，DC的中点，求证：是平面A1D1F的一个法向量．练习15．（2023春·高三课时练习）在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：(1)平面的一个法向量；(2)平面的一个法向量.题型四 利用空间向量证明平行，垂直例7．（2022·全国·高二专题练习）如图，设P为长方形ABCD所在平面外一点，M在PD上，N在AC上，若，用向量法证明：直线MN∥平面PAB.

例8．（2022·高二课时练习）如图，在正方体中，

求证：(1)求AC与所成角的大小；(2)平面平面；(3)平面．练习16．（2023春·高三课时练习）如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.练习17．（2023春·高三课时练习）如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD.求证：平面DEA⊥平面ECA.练习18．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中.平面，且，点在棱上，点为中点.若，证明：直线平面.练习19．（2022·全国·高三专题练习）四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，.(1)求证：PA⊥底面ABCD；(2)求PC的长.练习20．（2023·北京密云·统考三模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，，分别是，的中点.

(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值.题型五 求空间角例9．（2023·青海西宁·统考二模）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，AB＝BC＝2，M，N分别为，AC的中点．

(1)求证：平面；(2)从条件①：AB⊥MN，条件②：BM＝MN中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．例10．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）如图，四边形为菱形，，平面，，．

(1)求证：平面平面；(2)求二面角的余弦值．练习21．（2022春·湖南株洲·高三统考期末）如图，四边形是正方形，平面，，，，为的中点．

(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦.练习22．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，底面ABCD，，点E，F分别是棱PA，PB的中点，连接OE，OF，EF．

(1)求证：平面平面PCD；(2)求二面角P－EF－O的正弦值．练习23．（2023春·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考期中）如图，在长方体中，，，，交于点E.(1)证明：直线平面；(2)求AD与平面所成角的正弦值.练习24．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）如图，四边形是边长为2的菱形，，四边形为矩形，，且平面平面.

(1)求与平面所成角的正弦值；(2)求平面与平面夹角大小；(3)若在线段上存在点，使得平面，求点到平面的距离.练习25．（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）如图，在三棱柱中，平面，，，为的中点，交于点．(1)证明：；(2)求异面直线与所成角的余弦值．题型六 已知夹角求其他量例11．（2023·上海长宁·上海市延安中学校考三模）已知和所在的平面互相垂直，，，，，是线段的中点，.(1)求证：；(2)设，在线段上是否存在点（异于点），使得二面角的大小为.例12．（2023·广东深圳·深圳中学校考模拟预测）如图，且，，且，且.平面，.

(1)求平面与平面的夹角的正弦值；(2)若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求线段的长.练习26．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）如图，正三棱柱的所有棱长均为为的中点，为上一点，(1)若，证明：平面；(2)当直线与平面所成角的正弦值为，求的长度.练习27．（2023春·辽宁朝阳·高三校联考期中）如图，在正三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，D为AB的中点，.(1)若证明:DE⊥平面A₁B₁E；(2)若直线BC₁与平面A₁B₁E所成角为求λ的值.练习28．（2023春·江苏泰州·高三泰州中学校考期中）如图，在多面体中，四边形与均为直角梯形，，.平面，，.(1)已知点G为AF上一点，且，试判断是否与平面平行，并说明理由；(2)已知直线与平面所成角的正弦值为，求该多面体的体积.练习29．（2023·北京东城·统考二模）如图，直角三角形和等边三角形所在平面互相垂直，，是线段上一点.(1)设为的中点，求证：；(2)若直线和平面所成角的正弦值为，求的值.练习30．（河北省2023届高三模拟（六）数学试题）在圆柱中，等腰梯形为底面圆的内接四边形，且，矩形是该圆柱的轴截面，为圆柱的一条母线，.

(1)求证：平面平面；(2)设，，试确定的值，使得直线与平面所成角的正弦值为.题型七 求异面直线，点到面或者面到面的距离例13．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）在直角梯形中，，，，现将沿着对角线折起，使点D到达点P位置，此时二面角为．

(1)求异面直线，所成角的余弦值；(2)求点A到平面的距离．例14．（2023秋·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校联考期末）如图①菱形，．沿着将折起到，使得，如图②所示．(1)求异面直线与所成的角的余弦值；(2)求异面直线与之间的距离．练习31．（2022·全国·高三专题练习）在如图所示的五面体ABCDFE中，面ABCD是边长为2的正方形，AE⊥面ABCD，DF∥AE，且DFAE＝1，N为BE的中点.

(1)求证：FN∥平面ABCD；(2)求二面角N﹣MF﹣D的余弦值；(3)求点A到平面MNF的距离.练习32．（2023·高一课时练习）如图所示，在空间四边形中，，，，．(1)求证：；(2)求异面直线与的距离；(3)求二面角的大小．练习33．（2021秋·上海浦东新·高三上海市实验学校校考期中）如图是一棱长为的正方体，则异面直线与之间的距离为（

）A． B． C． D．练习34．（2023·重庆·统考模拟预测）在多面体中，四边形是边长为4的正方形，，△ABC是正三角形．

(1)若为AB的中点，求证：直线平面；(2)若点在棱上且，求点C到平面的距离．练习35．（2023·北京丰台·北京丰台二中校考三模）如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且.(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面所成角的余弦值；(3)若棱上一点，满足，求点到平面的距离.题型八 求点到线的距离例15．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，且，为棱的中点，点在上，且，则的中点到直线的距离是______．例16．（2023·全国·高三专题练习）如图，直四棱柱的底面为平行四边形，，，点P，M分别为，上靠近的三等分点．(1)求点M到直线的距离；(2)求直线PD与平面所成角的正弦值.练习36．（2023春·安徽池州·高二池州市第一中学校联考阶段练习）已知点，若，两点在直线l上，则点A到直线l的距离为______.练习37．（2023秋·山西临汾·高二统考期末）如图所示，在四棱锥中，平面平面，底面为矩形，，是棱上一点，且.(1)求点到直线的距离；(2)求平面与平面夹角的余弦值.练习38．（2023春·高二课时练习）如图，正方形的中心为O，四边形为矩形，平面平面，点G为的中点，.(1)求证：平面；(2)求点D到直线的距离.练习39．（2022秋·陕西西安·高二校考阶段练习）在长方体中，，，，是的中点，建立空间直角坐标系，用向量方法解下列问题：(1)求直线与所成的角的余弦值；(2)求点到直线的距离．练习40．（2022秋·湖北十堰·高二统考期末）如图所示，在几何体中，，平面，则点E到直线的距离为_________、直线与平面所成角的正弦值为_______________．题型九 点的存在性问题例17．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）如图，四棱锥中，平面，，，，，为线段上一点，点在边上且.(1)若为的中点，求四面体的体积；(2)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的余弦值是？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.例18．（2023春·广东佛山·高二佛山一中校考阶段练习）如图，在四棱锥中，已知底面是正方形，底面，且，是棱上动点.(1)证明：平面.(2)线段上是否存在点，使二面角的余弦值是？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.练习41．（2023·全国·高三对口