专题8.3 利用传统方法求角度和距离（原卷版）

专题8.3利用传统方法求角度和距离题型一求异面直线的夹角题型二求直线与平面的夹角题型三求平面与平面的夹角题型四已知夹角求距离题型五求几何体的体积题型六利用等体积法求点到面的距离题型一 求异面直线的夹角例1．（2023春·全国·高一专题练习）在棱长为2的正方体中，为底面的中心，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值是________.例2．（2023·河北·校联考一模）如图，在三棱锥中，，，且，点E，F分别为，的中点，则异面直线与所成角的大小为__________，与所成角的余弦值为__________.练习1．（2023春·广东广州·高一广州四十七中校考期中）如图，在正四面体中，是的中点，P是线段上的动点，则直线和所成角的大小（

）A．一定为 B．一定为 C．一定为 D．与P的位置有关练习2．（2022秋·贵州遵义·高二习水县第五中学校联考期末）如图，在四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，且为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（

）A． B． C． D．练习3．（2023·江苏·高三专题练习）如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，D，E，F分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是______.练习4．（2023春·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．练习5．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）如图，正方体中，E，F分别是，DB的中点，则异面直线EF与所成角的正切值为（

）

A． B． C． D．题型二 求直线与平面的夹角例3．（2021春·广东佛山·高三佛山市南海区第一中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，，且平分，为的中点，，.(1)证明平面；(2)求直线与平面所成的角的正切值.例4．（2022秋·浙江杭州·高二统考期末）如图，在三棱锥中，是的中点，平面，，，，.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.练习6．（2023春·山东临沂·高三校考期中）如图，已知点是正方形所在平面外一点，，分别是，的中点.(1)求证：平面；(2)若中点为，求证：平面平面.(3)若平面，，求直线与面所成的角.练习7．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）米斗是称量粮食的量器，是古代官仓､粮栈､米行及地主家里必备的用具､如图为一倒正四棱台型米斗，高为40cm.已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50cm的球O的球面上，且一个底面的中心与球O的球心重合，则该正四棱台的侧棱与底面所成角的正弦值为（

）

A． B． C． D．练习8．（2023·全国·高三专题练习）在长方体中，，，，则与平面所成角的正切值为（

）A． B．2 C． D．练习9．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，E、F分别为AA1、AC的中点.

(1)求证：EF∥平面CDA1B1；(2)求EF与平面DBB1D1夹角的余弦值.练习10．（2023·全国·模拟预测）如图，在多面体ABCDE中，平面平面，平面，是边长为2的正三角形，，．

(1)点为线段上一点，求证：；(2)求与平面所成角的正弦值．题型三 求平面与平面的夹角例5．（2023·全国·高三专题练习）（多选）如图，正四棱柱中，，E，F分别为，的中点，则下列结论错误的是（

）A．平面BEFB．直线与直线BF所成的角为C．平面BEF与平面ABCD的夹角为D．直线与平面ABCD所成的角为例6．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校联考阶段练习）已知四面体ABCD，D在面ABC上的射影为，为的外心，，.

(1)证明：BC⊥AD；(2)若E为AD中点，OD=2，求平面与平面夹角的余弦值．练习11．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，，求平面与平面所成二面角的大小．

练习12．（2023·上海黄浦·上海市敬业中学校考三模）已知，正三棱柱中，，延长至，使.(1)求证：；(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.练习13．（2023春·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）如图，在圆柱中，，为圆上一定点，为圆上异于点的一动点，，过点作平面的垂线，垂足为点.(1)若，求证：.(2)若为等边三角形，求二面角的余弦值.练习14．（2023春·吉林·高三校联考期中）如图，四棱柱的底面是菱形，平面，，，，点为的中点.

(1)求证：直线平面；(2)求二面角的余弦值.练习15．（2023春·全国·高三专题练习）如图，在圆锥中，已知底面，，的直径，是的中点，为的中点.

(1)证明：平面平面；(2)求三棱锥的体积；(3)求二面角的余弦值.题型四 已知夹角求距离例7．（2023·上海徐汇·统考三模）如图，已知顶点为的圆锥其底面圆的半径为8，点为圆锥底面半圆弧的中点，点为母线的中点.

(1)若母线长为10，求圆锥的体积；(2)若异面直线与所成角大小为，求、两点间的距离.例8．（2023春·河南安阳·高三安阳一中校考阶段练习）如图所示，在平行四边形ABCD中，，，E为边AB的中点，将沿直线DE翻折为，若F为线段的中点．在翻折过程中，(1)求证：平面；(2)若二面角，求与面所成角的正弦值.练习16．（2023·上海·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，分别为棱中点．(1)求证：平面平面；(2)若平面平面，直线与平面所成的角为，且，求二面角的大小．练习17．（2023·上海·高三专题练习）如图，正四棱柱中，，点E、F分别是棱BC和的中点．(1)判断直线与的关系，并说明理由；(2)若直线与底面ABCD所成角为，求四棱柱的全面积．练习18．（2023春·福建泉州·高三校联考阶段练习）如图所示，三棱台中，底面，．(1)证明：是直角三角形；(2)若，问为何值时，直线与平面所成角的正弦值为？练习19．（2021春·广东佛山·高三佛山市南海区第一中学校考阶段练习）如图，四棱锥的底面是正方形，底面，是上一点.(1)求证：平面平面；(2)当的值为多少时，二面角的大小为.练习20．（2023·河南·校联考模拟预测）在四棱锥中，底面ABCD，，，，且二面角为，则四棱锥的侧面积为（

）A． B．10 C． D．11题型五 求几何体的体积例9．（2023春·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，平面平面．(1)证明：四边形是正方形；(2)若，为上一点，且满足，求三棱锥的体积．例10．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，AC与BD交于点O，底面ABCD，，点E，F分别是棱PA，PB的中点，连接OE，OF，EF．(1)求证：平面平面PCD；(2)求三棱锥的体积．练习21．（2023·贵州·校联考模拟预测）《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一个类似隧道形状的几何体.如图，在羡除中，底面是边长为2的正方形，.(1)证明：平面平面.(2)求四棱锥的体积.练习22．（2023春·高三平湖市当湖高级中学校联考期中）如图，在正方体中，分别是棱的中点，设是线段上一动点.(1)证明：//平面；(2)求三棱锥的体积.练习23．（2023·青海海东·统考模拟预测）如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，，，底面ABCD，为棱上的一点.(1)证明：；(2)若三棱锥的体积为，求的值.练习24．（2023春·河南商丘·高三商丘市实验中学校联考阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，，点D为棱AB的中点，点E为棱上一点.(1)证明：；(2)求三棱锥的体积；(3)求直线与平面所成角的余弦值.练习25．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）如图，四边形与四边形是全等的矩形，，若是的中点.

(1)求证：平面平面；(2)如果，求三棱锥与多面体的体积比值.题型六 利用等体积法求点到面的距离例11．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）如图所示，正三棱柱中各条棱长均为2，点分别为棱的中点．

(1)求异面直线和所成角的正切值；(2)求点到平面的距离．例12．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在直角三角形中，，将沿折起到的位置，使平面平面，点满足.(1)证明：；(2)求点到平面的距离.练习26．（2023·广西南宁·南宁二中校考模拟预测）如图在多面体中，，平面，为等边三角形，，，，点M是AC的中点.(1)若点G是的重心，证明：点G在平面内；(2)求点G到的距离.练习27．（2023·河南郑州·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）