专题7.1 等差数列及求和（原卷版）

专题7.1等差数列及求和题型一基本量的计算题型二等差中项及等差数列项的性质题型三等差数列的判定与证明题型四等差数列前项和的性质题型五求等差数列前项和的最值题型六根据等差数列前项和的最值求参数题型七含绝对值的等差数列的前项和题型八等差数列的简单应用题型一 基本量的计算例1．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知等差数列的前项和为，，，则的公差为__________.例2．（2023·青海海东·统考模拟预测）设等差数列的前n项和为，若，则（

）A．44 B．48 C．55 D．72练习1．（2023春·新疆伊犁·高三奎屯市第一高级中学校考期中）记为等差数列的前n项和．若，则_______．练习2．（2023春·广东珠海·高三珠海市斗门区第一中学校考期中）设为等差数列的前n项和，若，则（

）A． B． C．10 D．12练习3．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，则（

）A．54 B．71 C．80 D．81练习4．（2023·全国·校联考模拟预测）已知数列的前n项和为，且，，，则2023是数列的（

）A．第566项 B．第574项 C．第666项 D．第674项练习5．（2023·北京海淀·高三专题练习）设等差数列的前项和为，若，则公差__________；__________．题型二 等差中项及等差数列项的性质例3．（2023秋·甘肃天水·高二统考期末）已知等差数列中，，若，则_______．例4．（2023·广西南宁·南宁二中校考模拟预测）在等差数列中，若，则__________.练习6．（2023春·高三课时练习）在等差数列中，是方程的根，则＝________.练习7．（2023春·高三课时练习）设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．练习8．（2023·全国·高三专题练习）设为正项等差数列的前项和．若，则的最小值为（

）A． B． C． D．练习9．（2023·广西玉林·统考模拟预测）“”是“数列为等差数列”的（

）．A．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件练习10．（2023·全国·高二题练习）记为等差数列的前n项和，若，，则______．题型三 等差数列的判定与证明例5．（2023·全国·模拟预测）已知正项数列满足，.(1)求证：数列为等差数列；(2)设，求数列的前n项和.例6．（2023·全国·高二专题练习）在数列中4，，．求证：数列{}是等差数列；练习11．（2023春·广东佛山·高三佛山市荣山中学校考期中）已知数列满足，.(1)设，证明：是等差数列；(2)设数列的前项和为，求.练习12．（2023春·江西南昌·高三南昌市铁路第一中学校考阶段练习）已知等差数列前项和为，且.(1)若，求证：数列是等差数列.(2)求数列的前项和.练习13．（2023·江苏南通·高三校联考阶段练习）已知数列{an}满足.(1)证明：数列是等差数列，并求数列{an}的通项公式；(2)设数列{an}的前n项的积为Tn，证明：.练习14．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）已知数列的前n项和为，.(1)若，证明：数列为等差数列.(2)若，，求的最小值.练习15．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）已知数列中，，且.(1)求证：数列是等差数列；(2)记数列，求数列的前项和.题型四 等差数列前项和的性质例7．（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）（多选）已知数列的前n项和是，则下列说法正确的是（

）A．若，则是等差数列B．若，，则是等比数列C．若是等差数列，则，，成等差数列D．若是等比数列，则，，成等比数列例8．（2023春·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校考阶段练习）两个等差数列，的前n项和分别为和，已知，则______．练习16．（2023春·广东梅州·高三丰顺县丰顺中学校联考期中）等差数列的前n项和记为，且，，则=（

）A．70 B．90 C．100 D．120练习17．（2023春·湖北咸宁·高三鄂南高中校考阶段练习）已知数列的前n项和为，且，则=（）A．0 B． C． D．练习18．（2023秋·河南商丘·高三校联考期末）已知等差数列的前项和为，若数列的前项和为，则______.练习19．（2023春·全国·高三合肥市第六中学校联考开学考试）设等差数列的前项和为，若，，则（

）A．18 B．36 C．40 D．42练习20．（2023春·高三课时练习）已知，分别是等差数列，的前n项和，且，则______．题型五 求等差数列前项和的最值例9．（2023春·高三课时练习）在数列中，若，前项和，则的最大值为______．例10．（2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知等差数列{}的前n项和为，满足，且，则当取得最小值时，n的值为（

）A．4 B．5 C．6 D．7练习21．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考二模）已知等差数列的前项和为，若，，则取最大值时的值为（

）A．10 B．11 C．12 D．13练习22．（2023春·高三课时练习）在等差数列中，，则取最大值时n的值是________．练习23．（2023春·四川凉山·高三宁南中学校考阶段练习）记为等差数列的前n项和，已知，，则的最小值为（

）A． B． C． D．练习24．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考期中）已知等差数列的公差不等于0.其前n为项和为，若，，，则的最大值为（

）A．18 B．20 C．22 D．24练习25．（2023·四川自贡·统考三模）等差数列的前n项和为，公差为d，若，，则下列四个命题正确个数为（

）①为的最小值

②

③，

④为的最小值A．1 B．2 C．3 D．4题型六 根据等差数列前项和的最值求参数例11．（2022秋·江苏泰州·高三泰州中学校考期末）（多选）已知等差数列的前项和为，当且仅当时取得最大值，则满足的最大的正整数可能为（

）A． B． C． D．例12．（2023春·浙江杭州·高三浙江大学附属中学校考期中）已知等差数列的前n项和为，，则的取值范围为___________.练习26．（2023·内蒙古阿拉善盟·统考一模）已知是等差数列，是的前n项和，则“对任意的且，”是“”的（

）A．既不充分也不必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．充要条件练习27．（2023春·广西钦州·高三钦州一中校考期中）已知数列为等差数列，若，，且数列的前项和有最大值，那么取得最小正值时为（

）A．11 B．12 C．7 D．6练习28．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）（多选）已知等差数列的前n项和为，当且仅当时，取得最大值，则满足的最大的正整数k一定不等于（

）A．12 B．13 C．14 D．15练习29．（2023·全国·高三专题练习）记为等差数列的前n项和，且满足：①；②对，．写出一个同时满足上述两个条件的数列的通项公式______．练习30．（2023·全国·高三专题练习）记数列的前n项和为，对任意，有．(1)证明：是等差数列；(2)若当且仅当时，取得最大值，求的取值范围．题型七 含绝对值的等差数列的前项和例13．（2023·湖南·校联考二模）记为等差数列的前项和，，．(1)求数列的通项公式；(2)求的值．例14．（2023春·广东佛山·高三佛山一中校考阶段练习）已知数列的通项公式为，则_________．练习31．（2023春·贵州黔东南·高二校考阶段练习）已知在等差数列中，，.(1)求数列的通项公式；(2)设是数列的前项和，求.练习32．（2022秋·北京·高三北京市广渠门中学校考阶段练习）已知等差数列的公差为，数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和；(3)请直接写出的结果.练习33．（2023·全国·高三专题练习）数列中，，，且满足(1)求数列的通项公式；(2)设，求．练习34．（2023秋·河北沧州·高三统考期末）在等差数列中，，，为数列的前n项和，，则的最小值为__________．练习35．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）已知等差数列的前n项和为，其中，．(1)求数列的通项；(2)求数列的前n项和为．题型八 等差数列的简单应用例15．（2023春·北京昌平·高三北京市昌平区前锋学校校考期中）从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、立春、春分这三个节气的日影长度之和为尺，前九个节气日影长度之和为尺，则谷雨这一天的日影长度为（

）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺例16．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）林业部门规定：树龄500年以上的古树为一级，树龄300~500年之间的古树为二级，树龄100~299年的古树为三级，树龄低于100年不称为古树．林业工作者为研究树木年龄，多用年轮推测法，先用树木测量生长锥在树干上打孔，抽取一段树干计算年轮个数，由经验知树干截面近似圆形，年轮宽度依次构成等差数列．现为了评估某棵大树的级别，特测量数据如下：树干周长为3.14米，靠近树芯的第5个年轮宽度为0.4cm，靠近树皮的第5个年轮宽度为0.2cm，则估计该大树属于（

）A．一级 B．二级 C．三级 D．不是古树练习36．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）基站建设是众多“新基建”的工程之一，截至年月底，地区已经累计开通基站个，未来将进一步完善基础网络体系，加快推进网络建设．已知年月该地区计划新建个基站，以后每个月比上一个月多建个，则地区到年月底累计开通基站的个数为（

）A． B． C． D．练习37．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）2022年10月16日上午10时，举世瞩目的中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂隆重开幕，某单位组织全体人员在报告厅集体收看，已知该报告厅共有16排座位，共有432个座位数，并且从第二排起，每排比前一排多2个座位数，则最后一排的座位数为（

）A．12 B．26 C．42 D．50练习38．（2023春·河南洛阳·高三校联考阶段练习）张大爷为了锻炼身体，每天坚持步行，用支付宝APP记录每天的运动步数.在11月的30天中，张大爷每天的运动步数都比前一天多相同的步数，经过统计发现前10天的运动步数是6.9万步，前20天的运动步数是15.8万步，则张大爷在11月的运动步数是_________万步.练习39．（2023·安徽马鞍