专题6.2 数量积及最值（范围）问题（原卷版）

专题6.2数量积及最值（范围）问题题型一求数量积题型二求两个向量的夹角题型三求投影向量题型四垂直关系的判断及应用题型五向量的模题型六数量积的最值、范围问题（基底法）题型七数量积的最值、范围问题（坐标法）题型八数量积的最值、范围问题（数形结合法）题型一 求数量积例1．（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）已知向量，，（），则（

）A．5 B． C． D．例2．（2023春·辽宁朝阳·高二校联考期中）已知单位向量，满足，则_______．练习1．（2023·广西南宁·武鸣县武鸣中学校考三模）已知向量，则______．练习2．（2023·全国·高三专题练习）矩形中．，．若点，满足，，则（

）A．20 B．15 C．9 D．6练习3．（2023春·山西大同·高二校考阶段练习）已知是的外心，，，则（

）A．10 B．9 C．8 D．6练习4．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知菱形中，，则__________.练习5．（2023·广东汕头·统考三模）在中，，，，，求_________.题型二 求两个向量的夹角例3．（2023春·广东深圳·高一深圳市建文外国语学校校考期中）已知平面向量且(1)求向量与向量的坐标；(2)若向量，求向量与向量的夹角例4．（2023·江西·江西省丰城中学校联考模拟预测）已知，是单位向量，且，则向量与的夹角为（

）A． B． C． D．练习6．（2023春·北京怀柔·高三北京市怀柔区第一中学校考期中）已知向量，，.(1)若与垂直，求实数的值；(2)求的值.练习7．（2023·山东烟台·统考二模）已知向量，则与夹角的大小为_____________．练习8．（2023春·天津武清·高三天津英华国际学校校考阶段练习）已知，，与的夹角为，求使向量与的夹角是锐角，则的取值范围___________.练习9．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）已知单位向量，满足，则，夹角的余弦值为__________.练习10．（2023春·浙江温州·高三乐清市知临中学校考期中）设，.(1)求；(2)若，且，与的夹角为，求x，y的值.题型三 求投影向量例5．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）已知，则向量在向量上的投影向量为___________.例6．（2023春·江苏泰州·高一江苏省口岸中学校考阶段练习）已知向量，，则在上的投影向量的模为（

）A．2 B． C．1 D．练习11．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，满足，，则在上的投影向量______.练习12．（2023·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）若向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．练习13．（2023·云南保山·统考二模）已知向量，满足，则在方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．练习14．（2023春·全国·高三专题练习）已知，若与的夹角为120°，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．练习15．（2023·湖南·校联考模拟预测）在中，已知，向量在向量上的投影向量为，点是边上靠近的三等分点，则（

）A．3 B．6 C．7 D．9题型四 垂直关系的判断及应用例7．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知向量，满足，，且，则_____．例8．（2023·全国·高三专题练习）非零向量，，若，则______.练习16．（2023春·贵州·高三校联考阶段练习）平面向量，若，且，则（

）A．2 B．-2 C．4 D．-4练习17．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，，其中，为单位向量，且，若______，则.注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.练习18．（2023春·上海徐汇·高二上海中学校考期中）点，点，点在坐标轴上，且为直角，这样的点有______个．练习19．（2023春·湖北武汉·高三武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期中）在中，若非零向量与满足，，则为（

）A．三边均不相等的三角形 B．等腰直角三角形C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形练习20．（2023春·山东淄博·高三山东省淄博实验中学校考期中）已知向量，．(1)求；(2)已知，且，求向量与向量的夹角．题型五 向量的模例9．（江西省2023届高三高考适应性大练兵联考数学（理）试题）已知单位向量，满足，则__________．例10．（2023·重庆·统考模拟预测）已知向量满足，则（

）A． B． C． D．5练习21．（2023春·山东淄博·高一山东省淄博实验中学校考期中）若非零向量满足，则夹角的余弦值为________．练习22．（2023·湖北·统考模拟预测）已知向量，若，则__________.练习23．（2023·北京·人大附中校考三模）已知向量，与共线，则=（

）A．6 B．20 C． D．5练习24．（2023·全国·高三专题练习）已知向量是非零向量，λ、，则“”是“”的(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件练习25．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知向量，，，__________；在上的投影向量的坐标为__________．题型六 数量积的最值、范围问题（基底法）例11．（2023·全国·高三专题练习）如图，在△ABC中，，，，为的中点，在平面中，将线段绕点旋转得到线段．设为线段上的点，则的最小值为______．例12．（2023春·辽宁朝阳·高三朝阳市第一高级中学校考期中）在中，，，，为的三等分点（靠近点）．(1)求的值；(2)若点满足，求的最小值，并求此时的．练习26．（2023春·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）已知平行四边形的面积为，，为线段的中点．若为线段上的一点，且，则__________，的最小值为___________.练习27．（2023·全国·高三专题练习）如图，圆为的外接圆，，，为边的中点，则______.练习28．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）如图，在四边形ABCD中，M为AB的中点，且，．若点N在线段CD（端点除外）上运动，则的取值范围是（

）

A． B． C． D．练习29．（2023春·全国·高三专题练习）已知直角梯形是边上的一点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．练习30．（2023·全国·高一专题练习）在直角三角形中，在线段上，，则的最小值为___________.题型七 数量积的最值、范围问题（坐标法）例13．（2023春·天津武清·高三天津英华国际学校校考阶段练习）已知中，，，，点为边上的动点，则的最小值为_________.例14．（2023·天津滨海新·统考三模）在平面四边形中，，，向量在向量上的投影向量为，则________；若，点为线段上的动点，则的最小值为________．练习31．（2023·上海·高三专题练习）如图．在直角梯形中．，点P是腰上的动点，则的最小值为____________．练习32．（2023春·安徽马鞍山·高三马鞍山市红星中学校考期中）在矩形ABCD中，，，动点P在以点A为圆心的单位圆上．若，则的最大值为（

）A．3 B． C． D．2练习33．（2023春·全国·高三专题练习）如图所示，梯形中，，且，点P在线段上运动，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．练习34．（2023·全国·高一专题练习）如图，在直角梯形中，，是线段上的动点，则的最小值为__________.练习35．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考期中）已知正六边形的边长为4，P为正六边形所在平面内一点，则的最小值为____________．题型八 数量积的最值、范围问题（数形结合法）例15．（2023春·江西景德镇·高三景德镇一中校考期中）已知平面向量，，满足，，，且，则的最大值为________．例16．（2023·上海·高三专题练习）设x、，若向量，，满足，，，且向量与互相平行，则的最小值为______．练习32．（2023春·安徽马鞍山·高三马鞍山市红星中学校考期中）在矩形ABCD中，，，动点P在以点A为圆心的单位圆上．若，则的最大值为（

）A．3 B． C． D．2练习33．（2023春·全国·高三专题练习）如图所示，梯形中，，且，点P在线段上运动，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．练习34．（2023·全国·高一专题练习）如图，在直角梯形中，，是线段上的动点，则的最小值为__________.练习