第03讲 1.2空间向量基本定理（4类热点题型讲练）（解析版）

第03讲1.2空间向量基本定理课程标准学习目标①理解并记住共线向量基本定理、平面向量基本定理、共面向量定理及空间向量基本定理的内容及含义。②理解基底与基向量的含义，会用恰当的基向量表示空间任意向量。③会用相关的定理解决简单的空间几何问题。1.通过对空间向量基本定理的意义的掌握与了解，会用空间向量的基底表示空间任一向量，能用正交分解及坐标形式表示空间向量.2.结合平面向量与空间向量的基本定理，解决平面与立体几何的相关问题.知识点01：空间向量基本定理1、空间向量基本定理如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得2、基底与基向量如果向量三个向量不共面，那么所有空间向量组成集合就是这个集合可看作是由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底都叫做基向量．对基底正确理解，有以下三个方面：（1）空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底；（2）因为可视为与任意一个非零向量共线，与任意二个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是；（3）一个基底是由三个不共面的向量构成的，它是一个向量组；而一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是不同的概念．【即学即练1】（2023秋·高二课时练习）如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，E是MN的三等分点，且，用向量表示为（

）

A． B．C． D．【答案】D【详解】因为，所以，所以，即，又，所以.故选：D

知识点02：空间向量的正交分解1、单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示．2、正交分解由空间向量基本定理可知，对空间任一向量，均可以分解为三个向量，，使得.像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．我们把称作向量在单位正交基底下的坐标．记作此时向量的坐标恰是点在空间直角坐标系中的坐标其中分别叫做点的横坐标、纵坐标、竖坐标．3、特殊向量的坐标表示（1）当向量平行于轴时，纵坐标、竖坐标都为，即（2）当向量平行于轴时，纵坐标、横坐标都为，即（3）当向量平行于轴时，横坐标坐标、纵坐标都为，即（4）当向量平行于平面时，竖坐标为，即（5）当向量平行于平面时，横坐标为，即（6）当向量平行于平面时，纵坐标为，即题型01空间向量基底的概念及辨析【典例1】（2023·全国·高三对口高考）已知为空间的一个基底，则下列各选项能构成基底的是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】因为，所以是共面向量，不能构成基底，A不正确；因为不是共面向量，所以可以构成基底，B正确；因为与平行，所以不能构成基底，C不正确；因为，所以共面，不能构成基底，D不正确.故选：B.【典例2】（多选）（2023春·福建莆田·高二莆田第二十五中学校考期中）设且是空间的一个基底，则下列向量组中，可以作为空间一个基底的向量组有（

）A． B．C． D．【答案】BCD【详解】如图所示，令，则，又，由A、B1、C、D1四点不共面知：向量不共面，同理和也不共面.故选：BCD【变式1】（2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【详解】对选项A：，向量共面，故不能构成基底，错误；对选项B：，向量共面，故不能构成基底，错误；对选项C：假设，即，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，正确；对选项D：，向量共面，故不能构成基底，错误；故选：C【变式2】（多选）（2023秋·山西晋中·高二统考期末）是空间的一个基底，与、构成基底的一个向量可以是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【详解】由于，故与、共面，无法构成空间的一个基底，故B错误；因为是空间的一个基底，由于不存在实数对、，使得，若成立则，显然方程组无解，故、与可以作为空间的一个基底，故A正确，同理可得C、D正确；故选：ACD题型02用空间基底表示向量【典例1】（2023秋·浙江丽水·高二统考期末）在平行六面体中，，相交于，为的中点，设，，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】

如图所示，，故选：C【典例2】（2023秋·安徽宣城·高三统考期末）四棱锥中，底面是平行四边形，点为棱的中点，若，则等于（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【详解】因为，所以，所以，所以，所以，故选：A.【典例3】（2023·陕西·统考一模）空间四边形中，与是四边形的两条对角线，，分别为线段，上的两点，且满足，，若点在线段上，且满足，若向量满足，则______．【答案】【详解】因为，所以．故答案：.【变式1】（2023春·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）在四面体中，，是的中点，且为的中点，若，，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为，所以，

因为Q是的中点，所以，因为M为PQ的中点，所以，故选：A.【变式2】（2023春·江苏徐州·高二统考期中）如图，在平行六面体中，是的中点，点在上，且，设，，．则（

）

A． B．C． D．【答案】C【详解】因为P是的中点，所以，又因为点Q在上，且，所以，所以，故选：C.【变式3】（2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知四面体，是的重心，是上一点，且，若，则为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】如图所示，连接AG1并延长，交BC于点E，则点E为BC的中点，，则，由题设，，所以.故选：A【变式4】（2023·全国·高三对口高考）已知正方体中，侧面的中心是，若，则_________，_________．【答案】//【详解】由于，所以，，故答案为：；．

题型03应用空间向量基本定理证明线线位置关系【典例1】（2023·江苏·高二专题练习）已知空间四边形中，，且，，分别是，的中点，是的中点，求证：．【答案】证明见解析【详解】在空间四边形OABC中，令，则，令，G是MN的中点，如图，则，，于是得，因此，，所以OG⊥BC.【典例2】（2023·全国·高二专题练习）已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证:这个四面体相对的棱两两垂直.已知：如图，四面体，分别为棱的中点，且求证.【答案】证明见解析【详解】证明：设则，，，，，又，同理可证，这个四面体相对的棱两两垂直.【典例3】（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）如图所示，三棱柱中，，，，，，，是中点．(1)用，，表示向量；(2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)当时，【详解】（1）解：因为是中点，所以，所以；（2）解：假设存在点，使，设，，显然，，因为，所以，即，，，，即，解得，所以当时，.【变式1】（2023春·高二课时练习）如图，在平行六面体中，，，求证：直线平面【答案】证明见解析【详解】设，，，则为空间的一个基底且，，.因为AB＝AD＝AA1＝1，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，所以，.在平面BDD1B1上，取、为基向量，则对于面BDD1B1上任意一点P，存在唯一的有序实数对(λ,μ)，使得.所以，.所以是平面BDD1B1的法向量．所以A1C⊥平面BDD1B1.【变式2】（2022秋·北京顺义·高二牛栏山一中校考阶段练习）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且．(1)用向量表示向量；(2)求证：共面；(3)当为何值时，．【答案】(1)(2)证明见解析(3)1【详解】（1）．（2）证明：，，，共面．（3）当，，证明：设，底面为菱形，则当时，，，，，，．题型04应用空间向量基本定理求距离、夹角【典例1】（2023·江苏·高三专题练习）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，求与的夹角的余弦值．【答案】【详解】设，，，由已知可得.因为，，所以，，，，所以，，所以，，故直线与的夹角的余弦值为.【典例2】（2023秋·福建三明·高二统考期末）如图，在四面体中，，，，.(1)求的值；(2)已知是线段中点，点满足，求线段的长.【答案】(1)；(2).【详解】（1）在四面体中，设，，，则，，，，，.（2）由（1）知，因为，则，因为F是CD中点，则，如图，于是得，因此，即有，所以线段EF的长为.【典例3】（2023秋·浙江杭州·高二杭师大附中校考期末）如图，平行六面体中，，，(1)求对角线的长度；(2)求异面直线与所成角的余弦值．【答案】(1)；(2).【详解】（1）因为，，所以三角形为等腰直角三角形，所以，又因为，，所以三角形为边长为1的等边三角形，以向量为基底，则有，两边平方得，所以，即,所以对角线的长度为3；（2）因为，，，，所以,所以,即异面直线与所成角的余弦值为.【典例4】（2023·高一单元测试）如图，三棱柱中，，分别是上的点，且．设，，．(1)试用，，表示向量；(2)若，求的长．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：，∴；（2）解：，，，，，即MN的长为.【变式1】（2023春·广西南宁·高二统考开学考试）已知在平行六面体中，，，且.(1)求的长；(2)求向量与夹角的余弦值.【答案】(1)；(2).【详解】（1）在平行六面体中，为空间的一个基底，因为，，且，则，，所以.（2）由（1）知，，则，又，所以向量与夹角的余弦值.【变式2】（2023·全国·校联考一模）如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于1，点，，分别是，，的中点．设，，.(1)求证；(2)求异面直线和所成角的余弦值．【答案】(1)证明过程见解析；(2)【详解】（1）证明：连接DE，因为空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，且E，G分别是AB，CD的中点，所以，故，又因为，平面，所以平面，因为平面，所以.（2）由题意得：均为等边三角形且边长为1，所以，，所以，设异面直线AG和CE所成角为，则【变式3】（2023秋·辽宁沈阳·高二校联考期末）如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，且，是的中点，设，，，用、、表示向量，并求的长．【答案】，【详解】解：因为是的中点，底面是正方形，所以，又由题意，可得，，，，，因此，所以，即的长为.第03讲1.2空间向量基本定理A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2023秋·高二课时练习）已知为三条不共面的线段，若，那么（

）A．1 B． C． D．【答案】B【详解】根据向量加法法则可得：，即，因为，所以，，，所以，，，所以.故选：B.2．（2023·高二校考课时练习）对于空间任意一点和不共线的三点，有如下关系：，则（

）A．四点必共面 B．四点必共面C．四点必共面 D．五点必共面【答案】B【详解】对于空间任一点和不共线三点，若点满足且，则四点共面.而，其中，所以四点共面.故选：B.3．（2023春·江西赣州·高二校联考阶段练习）已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，，，所以向量，，均与向量，共面．故选：C4．（2023春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）已知四面体，G是的重心，P是线段OG上的点，且，若，则为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意知，∵，∴．故选：B．5．（2023·高二校考课时练习）已知直线AB，BC，不共面，若四边形的对角线互相平分，且，则的值为（

）A．1 B． C． D．【答案】D【详解】由题意，知，，不共面，四边形为平行四边形，，为空间的一组基底.，又，，，，，.故选：D.6．（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）在平行六面体中，，，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】以为基底向量，可得，则，∴．故选：C.7．（2023春·江苏南京·高二南京市第一中学校考期中）如图，在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若是与的交点，则（

）．A．9 B．7 C．3 D．【答案】D【详解】解：在平行六面体中，四边形是平行四边形，又是，的交点，所以是的中点，所以，，又，，，所以，即．故选：D．8．（2023春·高二课时练习）如图，在三棱锥中，点G为的重心，点M在上，且，过点M任意作一个平面分别交线段，，于点D，E，F，若，，，则的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【详解】连接并延长，交于点，以为空间一组基底，由于是的重心，点M在上，且，所以①.连接，因为四点共面，所以存在实数，使得，即，②，由①②以及空间向量的基本定理可知：，，所以.故选：C二、多选题9．（2023春·江苏常州·高二校考开学考试）给出下列命题，其中正确的有（

）A．已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一组基底B．是空间四点，若不能构成空间的一组基底，则共面C．若，则点四点共面D．已知是空间向量的一组基底，若，则也是空间一组基底【答案】ABD【详解】对A：若，则与任何向量均共面，故与任何向量都不能构成空间的一组基底，A正确；对B：若不能构成空间的一组基底，则共面，则共面，B正确；对C：若，则，∵，故点四点不共面，C错误；对D：∵是空间向量的一组基底，则不共面，若，则不共面，故也是空间一组基底，D正确.故选：ABD.10．（2023春·江苏南京·高二南京市第一中学校考阶段练习）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，则下列正确的是（

）A． B．C．的长为 D．【答案】BD【详解】根据题意，依次分析选项：对于A选项，，A错误，对于B选项，，B正确：对于C选项，，则，则，C错误：对于，则，D正确.故选：BD.三、填空题11．（2023秋·辽宁沈阳·高二沈阳二十中校联考期末）如图，在平行六面体中，O是AC与BD交点．记，则________（结果用表达）．【答案】【详解】在平行六面体中，，则O是BD的中点，即，所以.故答案为：12．（2023秋·河北唐山·高二统考期末）正四面体ABCD中，若M是棱CD的中点，，，则______.【答案】【详解】因为，所以，即，，下面证明：已知，若三点共线，则，因为三点共线，所以存在非零实数，使得，即，整理得，故，，所以，因为三点共线，故，解得：.故答案为：四、解答题13．（2023春·高二课时练习）如图，已知M，N分别为四面体A-BCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且.求证：B，G，N三点共线.【答案】证明见解析.【详解】证明：取CD的中点E，连接AE，BE，因为M，N分别为四面体A-BCD的面DCD与面ACD的重心，所以M在BE上，N在AE上，设，，，因为M为BCD的重心，所以因为，所以，所以，同理得，∴.又，∴B，G，N三点共线14．（2023春·四川绵阳·高二校考期中）如图，在空间四边形中，已知E是线段的中点，G在上，且．(1)试用表示向量；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【详解】（1）∵，∴，∴又∴（2）由（1）可得知．B能力提升1．（2023·江苏·高二专题练习）在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当和的长度都为最短时，的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因，则，即，而，则共面，点M在平面内，又，即，于是得点N在直线上，棱长为1的正四面体中，当长最短时，点M是点A在平面上的射影，即正的中心，因此，，当长最短时，点N是点D在直线AC上的射影，即正边AC的中点，，而，，所以.故选：A2．（2023·江苏·高二专题练习）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，，，，分别为，上的点，且，，（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【详解】在四棱锥中，底面为平行四边形，连接AC，如图，，，则，又，，，则，，因此，.故选：B3．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，为棱的中点，，，与平面交于点，则________.【答案】【详解】设，其中，，，，因为、、、四点共线，则向量、、共面，由共面向量定理可知，存在、使得，即，所以，，解得.故答案为：.C综合素养1．（2023春·浙江温州·高二校联考期中）点在线段上（不含端点），为直线外一点，且满足，则的最小值为（