初中数学知识要点

金篌N，我到引用源。府中敷肾枭至衷.20110312

代数部分

一.整式的运算

(一)化简与展开

1.同底数幕相乘，底数不变，指数相加：a"-an=am+n

2.累的乘方，底数不变，指数相乘：(am)n=am-n

3.积的乘方，将每一个因式分别乘方，再相乘：(ab)n=an-bn

4.同底数早相除，底数不变，指数相减：a，°^a，，=am"

5.一个数的负指数是指这个数的正指数的倒数：葭=A

a

6.一个非0数的0次方等于1：a°=l(aWO)

7.科学记数法：将一个有理数写成aX10。的形式，其中，lW|a|<10,n为整数。

［例如：-50800000=-5.08X10,；0.000508=5.08X10「4小数点移到第一个有效数字的后面］

有效数字：对于一个小数，从左到右，第一个不为0的数字算起，所有的数字都是有效数字。［例如：1.203有4个；

0.01203有4个；120亿有3个］

8.单项式乘以多项式：将单项式去乘以多项式的每一项，然后再把所得的积相加。

［例如a(b+c)=ab+ac；a(b-c)=ab-ac］

9.多项式乘以多项式：将一个多项式的每一项去乘以另一个多项式的每一项，然后再把所得的积相加。［例如

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd］

10.合并同类项：字母和对应字母的次数都分别相同的项是同类项，合并同类项的方法是，字母不变，系数相加。［例如

9x2y3-6x2y3+5x2y3=(9-6+5)x2y3=8x2y3］

11.去括号：将括号前的数(包括符号)去乘以括号内的每一个加数。

［例如：+a(b-c)=+ab-ac；-a(b-c)=-ab+ac；—(a-b)=~a+b］

12.平方差公式：两个数的和乘以这两个数的差等于这两个数的平方差(a+b)(a-b)=a2-b2

13.完全平方公式：两个数和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加上(或减去)这两个数积的两倍，

即(a+b)2=a2+b2+2ab；(a-b)2=a2+b2-2ab

(二)因式分解(将多项式写成几个因式乘积的形式)

14.提公因式：ab+ac=a(b+c)［例如：ab-a2-a=a(b-a-l)］

15.平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)［例如：4x2-l=(2x+l)(2x-l)］

16.完全平方公式：a2+b2+2ab=(a+b)2；a2+b2-2ab=(a-b)2

完全平方公式因式分解的特征：(1)恰好有三个项：两个正的平方项和一个乘积项(可正可负)；(2)恰好两个指数为

2的平方项的底数之积的2倍等于乘积项(不含符号)；(3)当乘积项为正时，用和的平方；当乘积项为负时，用差的

平方。

17.十字相乘公式：对于x2+px+q,若能找到两个数：m、n,使mn=p,m+n=q，那么x2+px+q=(x+m)(x+n),写成

［例如：x-2x-8=(x+2)(x-4)2x-3x-35=(x-5)(2x+7)］

1Vm

1入nX

1*n+1*m=(m+n)1・7+2・(-5)=-3

分式的运算

1.分式的基本性质：分式的分子分母同乘以或除以一个不为o的数，分式的值不变。例如约分和通分。

npr)+p

2.分式的加减法：(1)同分母的分式相加减，分母不变，分子相加。［例如:-+-=—］

aaa

（2）不同分母的分式相加减，先通分，找出最简公分母，将分母化成相同的，再分母不变，分子相加减。找最简公分母

的方法是：找各分母中的不同因式中最高指数的嘉的乘积。

bcbdcabd+ac

[例如京+瓦=就+嬴

adt

3.分式的乘法：先将分子分母进行因式分解，再约分，然后分子乘分子分母乘分母。

'分子。0

4.分式等于0的条件：《

分母=0

三.实数

1.相反数：如果a+b=o,那么，这两个数互为相反数。倒数：如果ab=l,那么，这两个数互为倒数。

2.有理数的加减法：同号两数相加，符号取它们相同的，并把绝对值相加；异号两数相加，符号取它们中绝对值较大的,

并把绝对值相减。减去一个数，等于加上这个数的相反数。

3.比较两个数的大小的方法是做减法，如果被减数大，则差为正数；如果被减数小，则差为负数。

a,(a>0)

a,(a>0)

4.绝对值化简:|a|=<0,(«=0)<

-a,(a<0)

—a,(a<0)

5.有限小数和循环小数（整数和分数）都是有理数，无限不循环小数是无理数，[如/心1.414,/心1.732，汩]

有理数和无理数都是实数；实数与数轴上的点一一对应。

6.（a—b）2=（b—a）2；（a_b）3=_（b—a）3

7.112=121；122=144；132=169；142=196；152=225；162=256；172=289；

182=324；192=361；23=8；33=27；43=64；53=125

V8=272,712=2V3,V18=372,720=275,724=276,728=25,底=472

8.如果/=a,那么x=/叫数a的立方根，任意实数都有一个立方根。[例如：^/-8=-2]

四.二次根式

1.定义：如果x，=a（a》0）,那么x=±^2叫数a的平方根,一个正数的平方根有2个，0的平方根为0,负数没有平方根。

6（a》0）叫数a的算术平方根，也叫二次根式。

2.二次根式、分式有意义的条件：（1）被开方数非负（20）；（2）分母不为0（W0）

3.最简二次根式：满足2个条件（1）根号下“三不含”：不含分数、小数和完全平方因数。（2）根式不能作分母。

4.二次根式化简：（1）根号内的完全平方因式变成平方形式后直接开出来；根号里的小数变成分数；根号里的分数进行

分子分母分别开方；（2）分母有根号的进行分母有理化。

「例如•、反1，号-乱.叵-.巫-返-]

L例如.yi.2'10诉.10-10-105J

分母有理化的方法：（1）分母为a怖的，将分子分母同乘以怖；即3=1・加

5.（2）分数一起作被开方数

a4b•y/b

的，即，I,在根号内将分子分母同乘以b,再将分母开方,

（或«-hjb）时，将分子分母同乘以/(或6-\fb);即:

6.同类二次根式：经化简后，被开方数相同的。只有同类二次根式才能做加减法，方法是根式不变，系数相加减。

7.二次根式的乘除：两个二次根式相乘或相除,直接将被开方数进行乘除，再开算术平方根，

即：yfa,yjb=yja,b

8.重要化简：（/）2=a（a》0）；J相=|a|（a的取值无限制）。

9.非负数（00的代数式）：a,|b|,^/c应用：若a/bl+A/Z=0,那么：a=0,b=0,c=0

五.一元一次方程的解法

1.去分母：等式两边同时乘以所有分母的最小公倍数。

2.去括号：将括号前的数（包括符号）去乘以括号内的每一个加数。

3.移项：将常数项移到等式的右边，含有未知数的项移到等式的左边。移项要变号。

4.系数化为1：等式两边同时除以未知数的系数。

六.二元一次方程组

1.解法1：代入消元法：将第一个方程的一个字母用另一个字母的代数式来表示，再代入到第二个方程中去，从而消去

一个字母。比如用x的代数式表示y的意思是等号的左边只能是y,等号右边是含有x的代数式。

2.解法2：加减消元法：将方程的两边同时乘以一个适当的数，使其中一个字母的系数变成相反（或相同）的，再将两

个方程相加（或相减），从而消去一个字母。

3.方程组的解要用大括号括起来。

4.方程应用题的类型与公式：

工程问题：工作量=效率X时间、效率=工作量+时间、时间=工作量+效率、

合作效率=合作者的效率相加。

分析方法：画工作流程图，常按流程列方程或按人员的工作量总和列方程。

行程问题：路程=速度X时间、速度=路程+时间、时间=路程+速度、

顺流速度=船静速+水速、逆流速度=船静速-水速、

相遇路程=速度和X相遇时间、追击路程=速度差X追击时间

分析方法：画行程示意图。

增长率问题：增长后和原来作比，增长了x倍，那么，增长后比原来增长到（1+x）倍，增长后=原来X（1+增长率）

利润率问题：利润=（卖价-进价）X销量=收入-成本，

利润率=利润+成本=（卖价-进价）+成本，卖价=进价X（1+利润率）

七.不等式与不等式组

1.不等式两边同时加上或减去一个相同的数，不等号的方向不变（例如移项要变号，但不变方向）。

2.不等式两边同时乘以或除以一个相同的正数，不等号的方向不变。

3.不等式两边同时乘以或除以一个相同的负数，不等号的方向要改变。

4.不等式两边都乘以0,两边就都变成0。

5.不等式组的解集（取综合）：同大取大，同小取小，大小小大都取到，大大小小取不了。

6.在数轴上表示解集时，带等号的是实心，不带等号的是空心，大号向右，小号向左。

八.分式方程

解法：1.分母因式分解；

2.找最简公分母；

3.去分母：两边同乘以最简公分母，变成整式方程；4.解整式方程；

5.检验：将根代入最简公分母中，若=0时，此根为增根；若力0,此根为原方程的根

九.一元二次方程

1.一元二次方程的定义：3个方面：一元、二次、整式

2.方程的根的意义：若x=t是方程ax"+bx+c=0的根，那么，可以把t代入到方程的x中去，即at，bt+c=0

3.直接开平方法解一元二次方程：形如a（x+m）e=n

第一步：化二次项系数为1,两边同除以a

第二步：两边开平方，注意，开平方要写正负

第三步：移项，将数移到右边

第四步：写Xl,X2

注意：在增长率问题中特别适用。

4.配方法解一元二次方程：形如ax2+bx+c=0(aWO)的方程

第一步：化二次项系数为1(两边同除以a)

第二步：将常数项移项

第三步：配方，等式两边同时加上一次项系数一半的平方

第四步：变形，左边写成完全平方的形式，右边化简计算

第五步：用直接开平方法进行计算

5.公式法解一元二次方程：

第一步：化成一般形式ax2+bx+c=0

第二步：写出a=?,b=?,c=?

第三步：计算判别式△=b—4ac,与0比较大小

第四步：(1)当△<()时，写“此方程无实根”;

(2)当△=()时，写xi=xa=?

-b±4bJ4ac

(3)当△>()时，代入公式x-2a

化简，写出两根Xl=?,X2=?

6.因式分解法解一元二次方程

第一步：移项，将方程的右边变成0

第二步：观察，用合适的方法将方程左边进行因式分解，比如提公因式、平方差、十字相乘等方法，变成两个因式相

乘的形式，化简成(x+m)(x+n)=0

第三步：两个因式分别等于0,即x+m=0或x+n=O

第四步：分别计算两个根：XF?,X尸？(如果分解成完全平方的形式，就写XFX产？)

7.根的判别式对于一元二次方程ax°+bx+c=O(a/0)

△=b-4ac叫根的判别式

(1)当△>◊时，方程有两个不相等的实数根；

(2)当△=()时，方程有两个相等的实数根；

(3)当△<()时，方程没有实数根。

hC

8.一'兀二次方程根与系数的关系：再+%2=-,•%2——°

aa

9.造方程公式：以xi,X2为根的一元二次方程为(x-xi)(x-x2)=0

10.解一元二次方程应用题的类型：

(1)几何图形的面积问题：分析方法:画图,并根据某部分面积的两种表示方法列方程

(2)循环比赛问题：分析方法:记公式,x支球队打比赛，比赛总场次：单循环^x(xT)；双循环x(x-l)

(3)增长率问题：分析方法:列表一二三.假设每次的平均增长率为x,增长为加，下降为减，后一次一a

的为乘,前一次的为除,两次后的为平方。二a(l±x)

(4)商品销售问题：总利润=收入-成本=差价义销量三a(l±x)2

求最值时二次函数配方法变形的步骤：U)在前两项提出二次项系数

(2)加减一次项系数一半的平方(3)写成完全平方的形式。

*(5)匀变速问题：已知减速中的初速(或加速中的末速)V、总路程s,求总时间t、速度平均变化值a、一段路程Si

的时间x

方法一：用公式

平均速度干=(初速度+末速度)+2时间=路程;平均速度，

加速度2=臀

路程=平均速度X时间

即时速度=初速度±加速度X时间

［方法二：画图法：在时间一一速度图象中，三角形或梯形的面积表示走过的路程，斜率表示速度变化率（加速度）。用

三角形的面积比等于相似比的平方列方程。］

十.正比例函数

1.函数的一般知识：①P（m,n）表示点P在x轴和y轴上的垂足对应的实数分别为m,n,|m|、|n|分别表示点P到y轴、x

轴的距离。②函数解析式是含有两个变量（x、y）的等式，用含x的代数式表示y。③函数的图象上的点和满足解析式

的解一一对应。点在函数的图象上（也可以说图象经过点），那么点的坐标满足函数的解析式。④用待定系数法求解析

式时，有几个待定系数就代入几个点。⑤两个图象交于一点，求交点的方法是联立解方程组，也可以理解为这个点的

坐标满足两个函数的解析式。⑥一元不等式可以理解为两个函数在自变量取相同值时，函数值比较大小，高的大，低

的小。⑦与坐标轴平行的线段长度公式：与x轴平行的线段AB（B在右边），AB=XB-XA；与y轴平行的直线AB（B

AA

在上边），A5=力一力⑧坐标系中的中点公式：若A（X4），B（xB,yB）,为AB的中点，那么：

%=/广,九="；力；线段延长一倍公式：XB=2xc-xA,yB=2yc-yA

2.定义：形如y=kx（k/O）的函数叫正比例函数。

3.图象是一条过原点的直线；当1t=±1时，即y=±x直线与坐标轴的夹角为45度，是坐标轴夹角的平分线。

4.函数解析式由一个点确定，用待定系数法计算。

H■.一次函数

1.定义:形如y=kx+b（k/0）叫一次函数。图象为直线：当k>0时，为一撇，经过一、三象限，y随x的增大而增大；当

k<0时，为一捺，经过二、四象限，y随x的增大而减小。k决定直线的倾斜程度，k相等时，两直线平行。|k|越大,

直线越倾斜；|k|越小，直线越平缓。当1;=±1时，直线与坐标轴的夹角为45度,k等于倾斜角的正切。

2.当b>0时，直线交y轴的正半轴，经过一、二象限；当b<0时，直线交y轴的负半轴，经过三、四象限；b=0时，直

线过原点。直线与y轴的交点是（0,b）ob决定直线位置的高低。

3.函数解析式由两个点确定直线，用待定系数法解二元一次方程组计算。k=力一力,|k|等于以直线所在线段为斜边的

直角三角形的竖边与横边的比值。

4.点在函数的图象上（图象经过点），那么点的坐标满足函数的解析式。

5.求坐标系中的线段旋转后点的坐标的方法是构造旋转全等的直角三角形。

6.两条直线的交点坐标的算法是，将两个函数解析式联立解方程组。直线与x轴交点的算法是令y=0,解x的方程；y轴

交点的算法是令x=0,求y的值。

7.与方程的关系：方程kix+bFkzx+be的根表示直线y=kix+bi与直线丫=屋*+从的交点的横坐标；不等式kix+bDkax+R表示直

线y=kix+bi与直线y=kzx+b2的交点上方部分的横坐标范围；不等式kix+bKLx+b?表示直线y=kix+bi与直线y=k：ix+b2的交

点下方部分的横坐标范围。

8.面积相等的两个三角形，一般是三角形的中线形式或梯形形式。注意直线两侧都可以。

9.在“（匀速）时间一一路程”、“（变速）时间一一速度”、“时间一一工程量”、“时间一一进水量”、“质量一一钱数”

等问题的图象中，一条线段斜率表示速度、速度变化率（加速度）、工作效率、进（放）水速度、单价，等于Ik|。有

时，“撇”表示出发、加速、进水的过程；“捺”表示返回、减速、放水的过程。

十二.反比例函数

1.定义：若x与y的乘积为定值，即：形如y=（=kxT（kWO）的函数叫反比例函数。图象为双曲线，不与任何坐标轴相

交，是关于原点对称的中心对称图形，也是关于X轴与y轴的夹角平分线y=±x对称的轴对称图形（三对称图形）。

2.当k>0时，图象在一、三象限，为“两捺”，在每个象限内（分支上），y随x的增大而减小；当k<0时，图象在二、

四象限，为“两撇”，在每个象限内（分支上），y随x的增大而增大。|k|越大，双曲线离原点越远。

3.图象过点（m,n）,那么，m•n=k,并且，图象上任意一点向两个轴作垂线形成的矩形，它的面积等于IkI,对应的直角

三角形的面积是34

211

4.函数解析式由一个点确定，用待定系数法计算，k=xy«

5.点在函数的图象上（图象经过点），那么点的坐标满足函数的解析式。

6.求两个函数图象交点的方法是将两个函数解析式联立解方程组。

7.利用图象解不等式的解法是看图象中同一个x取值处图象的位置高低，高大低小。

8.反比例函数题：

（1）用一个已知点的坐标求k:k=xy；

（2）用矩形或直角三角形的面积求k:S卿=|k|或“A=|k|/2；

（3）双曲线上有两个坐标相关的点，可以用字母表示其中一个点的一个坐标（设m）,再算出其它3个坐标值，最后列方

程求k.

（4）辅助线:过双曲线上的点作x或y轴的垂线.

十三.二次函数

1.定义：形如y=ax?+bx+c（a关0）,叫二次函数的一般式；由a决定开口的大小和方向，c决定图象与y轴的交点，与y

轴交于（0,c）,由a和b的符号决定对称轴的位置：左同右异。

2.对于y=ax；它的图象为抛物线，顶点为原点，对称轴为y轴，当a>0时，开口向上，当a〈0时，开口向下，la|越大,

开口越小。y=ax2+k的对称轴为y轴（直线x=0）,y=a（x-h）°的对称轴为直线x=h。

3.图象的平移：对于y=ax:将抛物线向右平移h个单位，向上平移k个单位得到y=a（x-h>+k,这种形式叫三次国寥

的项，卓式，它的顶点为（h,k），对称轴x=h；左右平移时，括号内变化，上下平移时，括号外变化。IaI越大，开

口越小；当a>0时，开口向上，函数在顶点处有最小值，当x=h时，函数的最小值为k；当a〈0时，开

口向下，函数在顶点处有最大值；当x=h时，函数的最大值为k；

一般式通过配方法得到顶点式：y=a（x+-）2+号二，顶点为（-，号工），对称轴为x=-券

配方法的步骤：（1）在前两项提出二次项系数

（2）加减一次项系数一半的平方（3）写成完全平方的形式。

4.点在函数的图象上（图象经过点），那么点的坐标满足函数的解析式。

5.a+b+c,a-b+c,4a+2b+c,4a-2b+c分别表示当x=+1,+2时函数y的值。

6.由三个点确定抛物线的解析式，用待定系数法计算。若已知顶点（或对称轴、最值），就设顶点式；否则设一般式。

7.y=a（x-xj（x-xz）叫二次函数的交点式，其中，x1、x,为抛物线与x轴交点的横坐标。常用于求解析式。

8.与方程的关系：（1）ax2+bx+c=0的解表示抛物线与x轴（直线y=0）公共点的横坐标。方程的判别式△满足：当△>（）

时，抛物线与x轴有两个公共点［交点］;当△=（）时，抛物线与x轴只有一个公共点；当△<（）时，抛物线与x轴没有

公共点。方程的两根处、加满足根与系数的关系，且％=%±强=—2是抛物线的对称轴。

22a

（2）两个图象交点的求法：抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+t或y=t的交点是将两个函数的解析式联立解方程组，方程

组的解就是两个图象的交点；消去y后得一个一元二次方程，方程的判别式△满足：当时，抛物线与直线有两个

公共点［交点］;当△=（）时，抛物线与直线只有一个公共点；当△＜（）时，抛物线与直线没有公共点。

十四.统计与概率

1.平均数7：反映一组数据的总体平均水平。算法：n个数相加的和除以n。

2.加权平均数：一组数Xl,X2,…X0，每个数出现的频数［重复次数］为fl,f2,…fn,那么，平均数为（flXXl+fzXXRj+fnX

X„）4-（fl+fz+…+fn）

3.极差：反映一组数据的波动大小。算法：用最大数减去最小数的差。

4.方差s'：反映一组数据的波动大小。算法：第一步：算平均数；第二步：所有数减去平均数；第三步：平方；第四步:

再算平均数。

5.众数：反映一组数据的集中趋势。算法：一组数中出现次数最多的数据。

6.中位数：反映一组数据的集中趋势。将一组数从小到大（或从大到小）排列，排在最中间的一个数或两个数的平均数。

7.扇形统计图：反映多个对象在一个时间段（横向比较）所占的百分比。

8.条形统计图：反映多个对象在一个时间段（横向比较）的具体数据。

9.折线统计图：反映一个对象在几个时间段（纵向比较）的变化情况。

10.直方图：反映多个对象在连续范围内的具体情况。

11.概率P（事件发生）=事件发生的总频数（在面积问知中'概率=总面积）

12.分析多个步骤概率的方法是用列举法：列表（只用于两步）和画树形图（要点：有几个步骤就画几步）。

十五.，常见的规律数

1)2,4,6,8,10,12,...偶数2n

2)1,3,5,7,9,11,……奇数2n-l

3)1,4,7,10,13,...3n-2

4)1,2,4,8,16,32,...2的次数2~

5)1,4,9,16,25,...平方数空

6)1,8,27,64,125,...立方数n3

7)1,1,2,3,5,8,13,..•前2个数的和=后一个数

8)1,1,1,3,5,9,17,31,……前3个数的和=后一个数

9)1,3,7,13,21,31,...连续2个数的差按偶数增加

10)1,3,6,10,15,21,28,•……连续2个数的差按自然数增加

几何部分

几何学习法：（打横线的为重要概念）

1.熟记定义、定理及公式

2.画出图形，写出推理过程

3.掌握常见的辅助线及方法

一.相交线与平行线

1.对顶角相等。

2.两直线平行，同位角相等。（“F”形）

3.两直线平行，内错角相等。（“Z”形）

4.两直线平行，同旁内角互补。（“C”形）

5.同位角相等，两直线平行。

6.内错角相等，两直线平行。

7.同旁内角互补，两直线平行。

8.相加=90度的两个角互为余角，相加=180度的两个角互为补角。

等角的余角相等,等角补角相等。

9.如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

10.垂直于同一直线的两条直线互相平行。

11.两点之间，线段最短，此线段长叫两点间的距离。

12.点和直线之间，垂线段最短，此垂线段长叫点和直线间的距离。

13.证明中可用的依据是：已知、已证、等量代换、等式性质，各种定义（比如角平分线定义、平角定义、垂直定义等）,

定理。

14.证明过程的注意事项：因为所以（•••，）、内容、依据三者要匹配。依据只能写汉字，并且要完整。

二.平面直角坐标系

1.点P（m,n）表示点P在x轴和y轴上的垂足对应的实数分别为m,n,

|m|、|n|分别表示点P到y轴、x轴的距离。

四个象限的符号为：第一象限（+,+）,第二象限（-，+）,第三象限（-，-），第四象限（+,-）。

x轴上的点，纵坐标为0；y轴上的点，横坐标为0。

2.点P（m,n）在坐标系中的平移：向右（或向左）平移a个单位，横坐标加上（或减去）a,向上（或向下）平移b个单位,

纵坐标加上（或减去）bo

3.坐标系中的任意三角形都能求面积，用割补法画方框。

三.三角形及多边形

1.三角形内角和为180度。

2.三角形一个内角的邻补角叫外角，三角形的一个处鱼等于与它不相邻两个内角的和。

3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

4.n边形内角和（n-2）X180度。

5.四边形内角和为360度。

6.多边形外角和为360度。

7.镶嵌：几个图形在一个顶点处能够不漏不重叠的平铺叫镶嵌，镶嵌的性质是在一个顶点处的几个内角的和等于360度。

四.全等三角形

1.全等三角形对应角相等，对应边相等。

2.有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）o

3.有三边对应相等的两个三角形全等（SSS）o

4.有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）o

5.有两角和第一个角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）o

6.有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）。

7.AAA和一般三角形的SSA不能证明全等。

五.等腰三角形与轴对称

1.等边对等角。

2.等角对等边。

3.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高，三线合一。

4.有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。

5.等边三角形三边相等，三角为60度。

6.120度的等腰三角形三边之比为1：1：而

7.等边三角形面积公式（边长为a）：当~a"

8.线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。

9.到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。

10.角平分线上的点到角两边的距离相等。

11.到角两边距离相等的点在角的平分线上。

12.一个图形沿着一条直线对折，与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称。

13.轴对称图形对应点的连线被对称轴垂直平分。

六.直角三角形

1.直角三角形两锐角互余。

2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

3.30度的直角三角形中，30度的锐角所对的直角边是斜边的一半；30度的直角三角形三边比为1:

4.等腰直角三角形三边比为1：1:y[2

5.勾股定理及逆定理：直角三角形中，a、b为直角边，c为斜边〈=>a2+b2=c2；

常用的比值：3:4:5；5:12:13；1:1:^2;1:^3：2；1：2：乖;1：1：范

6.用勾股定理可以求边长，当知道直角三角形的两边关系知道时，可以用勾股列方程。

7.等积法解决与垂线段的长及高的长度有关的问题：

例如求直角三角形斜边上的高h：SA=1ab=,1ch,其中c为斜边。

七.四边形

1.两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。

2.平行四边形的对边相等。

3.平行四边形的对角相等。

4.平行四边形的对角线互相平分。

5.两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

6.一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形。

7.两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

8.对角线互相平分的四边形是平行四边形。__________________________________

9.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

10.矩形的四个角都是直角。

11.矩形的对角线相等并且互相平分。

12.对角线相等的平行四边形是矩形。

13,_缸个直鱼的四边形遢矩睦___________________________________

14.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

15.菱形的四条边都相等。

16.菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。

17.四边相等的四边形是菱形。

18.对角线互相垂直的平行四边形是菱形。____________________________________

19.正方形四边相等，四个角都是90度。

20.正方形的两条对角线互相垂直平分且相等。

_正方形两条对鱼线招五分成四个金笠的叠腰直角三角/%__________________________

22.等腰梯形对角线相等,同一底上的两个底角相等，对角线也相等。

额一回二底边相邻的两仝底角相笠的梯形是笠腰梯幽一对角一线相笠的梯形遑等腰梯形3_____

24.三角形两边中点的连线叫三角形的中位线,三角形的中位线平行第三边,并且等于第三边的一半。三角形的中位线截

得的新三角形面积是原三角形面积的四分之一。

25.梯形两腰中点的连线叫做梯形的中位线平行于两底边,并且等于两底边和的一半。

26.两条平行线之间的垂线段的长度都相等，叫两条平行线的距离，同底等高的两个三角形面积相等。特别注意：三角形

的中线平分面积，梯形中的两组三角形面积相等。

27.梯形中常用的辅助线是：①过上底的两端作高。②过上底的一端作腰的平行线。③过上底的一端作对角线的平行线。

28.与中点有关的辅助线：中线倍长或变为中位线。

29.常用的数据：3:4:5；5:12:13；1：2：/；30度的直角三角形三边比为1:十：2；等腰直角三角

形三边比为L1：*；120度的等腰三角形三边之比为1：1：4;等边三角形面积公式：斗a，

八.旋转

1.旋转前后的两个图形全等。

2.旋转前后的两个对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

3.对应点到旋转中心的距离相等。

4.中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180度，和另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点成中心对称。

5.关于中心对称的两个图形，对应点的连线被对称中心平分；对应线段平行并且相等。

6.坐标系中关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标相反；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标相反；关于原点对

称的点，两坐标都相反。

九.圆

1.共斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆。

2.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

3.垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；平分弧的直径垂直于弦，并且

平分弦。

4.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

5.垂直平分半径的弦所对的圆心角为120°。

6.圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半。

7.圆周角定理的推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，90度的圆周角所对的弦是直径。

8.圆内接四边形对角互补，并且一个外角等于它的内对角。

9.点与圆的位置关系：d表示圆心与点的距离（辅助线是点与圆心的连线）

d>r〈=>圆外；d=r〈=>圆上；d<r〈=〉圆内

10.外心：三角形外接圆的圆心，三边的垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等，这个距离是外接圆的半径；直角三

角形的外心是斜边的中点；若0为4ABC的外心，则/A0B=2/ACB；外心关注圆心的作用。

11.直线与圆的位置关系：d表示圆心与直线的距离（辅助线是圆心向直线作垂线）

d>r〈=>相离；d=r〈=>相切；d<r〈=〉相交

12.切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。

13.切线的判定：经过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线。

14.切线长定理：过圆外一点向圆可以引两条切线，那么它们的切线长相等，并且这个点和圆心的连线平分两条切线的夹

角。

15.内心：三角形内切圆的圆心，三个内角平分线的交点，它到三边距离相等，这个距离是内切圆的半径。若I为4ABC

的内心，则/AIB=90°+'|/C。内心关注角平分线交点的作用。

16.圆与圆的位置关系：d表示两个圆心的距离，先计算R+r与R-r：

d>R+r〈二〉外离；d=R+r〈=〉外切；R-r<d<R+r<=>相交；d=R-r〈=>内切；OWdVR-r〈二〉内含。

17.正n边形都有唯一的外接圆和内切圆，它们是同心圆，它们的圆心是中心，外接圆的半径是正n边形的半径，内切圆

的半径是边心距，一条边所对的圆心角是中心角，正n边形的中心角=每个外角=幽；正n边形可以分成n个等腰

n

三角形，分析正多边形的问题时往往只画一个等腰三角形。

15.弧的长与扇形的面积公式：(n为圆心角度数，R为半径)

(1)弧长公式1弧(2)扇形的面积S扇=嚓3=11弧R

loUoOUZ

16.圆锥的侧面展形图是一个扇形，圆锥底面的周长是扇形的弧长，圆锥的母线是扇形的半径，圆

锥的侧面积是扇形的面积。(大R为母线，小r为底面圆的半径)(1)圆锥的侧面积：

S«B=nRr(2)圆锥的底面积：S链底="召(3)圆锥的全面积=侧面积+底面积

(4)圆锥侧面展开图扇形的圆心角公式：n=—

K

17.解决与垂线段的长有关的问题用等积法：比如求直角三角形斜边上的高和求一般三角形内切

圆的半径r。

18.相关辅助线：

(1)解决与弦长有关的问题：过圆心作弦的垂线，连接半径，构成直角三角形，用垂径和勾股定理解题。

(2)解决切线的问题是连接过切点的半径。

19.考查圆中的角要优先观察圆周角和圆心角，其它角就通过互余互补外角转化成圆周角和圆心角。

重要结论

1.等积法解决与垂线段的长及高的长度有关的问题：

(1)求直角三角形斜边上的高h：SA=；ab=；ch,其中c为斜边。

(2)求一般三角形内切圆的半径r：SA=((a+b+c)r。

2.三角形内切圆中的切线长：若I为AABC的内心(图1),

CD=1(AC+BC-AB)；

特别是：当/C=90°时(图2),

求直角三角形内切圆的半径r=CD=|(AC+BC-AB)

图1图2

3.求图形阴影部分面积的方法：将有圆弧的部分找出圆心，连接半径，再分割成扇形、弓形、三角形、矩形、正方形、梯

形的面积的加减，有时还要用“等底等高的三角形面积相等”来转换。

十.相似三角形

1.性质：相似三角形的对应角相等，对应边、对应高、中线、角平分线及对应周长的比相等，都等于相似比(k),面积比

是相似比的平方(甘)。

2.判定1：平行于三角形一边的直线与另两边相交，所形成的新三角形与原三角形相似。

3.判定2：有两组角对应相等的两个三角形相似(AA)o

4.判定3：有两组边的比相等，并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。(S，AS')

5.判定4：有三组边的比相等的两个三角形相似。(S'S'SD

6.两个三角形的面积比：(1)相似时，面积比等于相似比的平方；(2)高相等时，面积比等于底边的长度比；(3)底相

等时，面积比等于高的长度比。

7.位似：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，

这个点叫做位似中心，新图形与原图形的边长比是相似比。在坐标系中，关于原点位似的两个图形的对应点,新坐标是

原坐标的±1<倍。

acababc

8-比的性质：b=d0ad=bc6-=a:b:c=e:f:g<=>—=7

eIg

重要结论与例题

10.射影：直角三角形斜边上的高将直角三角形分成的两个直角三角形与原三角形相似，并得出三个比例式。

11.相交弦、切割线、割线定理：

12.“土”字形：（图1）EG:GF=BD:CD

13.小孔成像1/AB+1/CD=1/EF（图2）

14.三角形内接平行四边形AF/AB+AE/AC=1（图3）

特别：三角形内接菱形1/AB+1/AC=1/AF（图4）

15.平行线分线段成比例

16.三角形的角平分线分第三边成比例

17.三角形的两条高得四点共圆

18.三角形的两条中线交点得重心分中线1：2

（图3）（图4）

H^一三角函数知识点

1.定义：正弦sinA鬓察；余弦cosA=看詈正切tanA-；［余切cotA=^^1

tanA

用法：对边=斜边X正弦=邻边X正切；

邻边=斜边X余弦=对边+正切；斜边=对边+正弦=邻边+余弦

2.特殊角的三角函数值：

01近tan300=当

sin30=-cos30°=

2

sin45°=华

cos450=叵tan45°=l

2

1

sin600=cos60°=tan60°=/

2

3.解三角函数题的基本方法：（1）用特殊角（2）构造直角三角形。原则：题目给出的特殊角（30、45、60、120、135、

150度）不能拆开，应构造成直角三角形。

十二.图形的变换（从一个图形变成另一个图形的过程）

1.图形的变换的四种类型：平移、轴对称、旋转（含中心对称）、位似。（前三个为全等变换）

2.图形的变换描述要素：①平移：两个点对应点②轴对称：一条对称轴

③旋转：中心、顺（逆）时针、角度④中心对称：一个中心点

⑤位似：中心、同（反）向、相似比。

十三.投影与视图

1.平行光线形成的投影叫平行投影；点光源发出的光线形成的投影叫中心投影；投影线垂直于投影面的平行投影叫正投

影。

2.物体面平行于投影面时，这个面与它的正投影形状、大小都相同。

3.三视图：主视图（正视图）、俯视图、左视图；

画三视图的要求：主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等。位置如图：

主左

十四.常见的两种情况

俯

1、一点到圆上的最近和最远距离:圆内和圆外

2、圆上一条非直径的弦所对的两种圆周角：锐角和钝角

3、圆与圆没有公共点：外离和内含

4、圆与圆只有一个公共点（相切）：外切和内切

5、大小两圆相交：两圆心在公共弦的两侧和同侧

6、圆中两条平行弦的距离：两弦在圆心的两侧和同侧

7、已知圆的半径和它内接等腰三角形底边到圆心的距离，求腰长：圆心在三角形的内和外

8、三角形中与高有关的问题：高在三角形的内部和外部

9、位似：同向和反向

中考题型的解法

一.一次函数不等式看图题的解法：三种问题：方程组的解；方程的解；不等式及不等式组的解集。对不等式用三个步骤

完成：先找出不等式或方程所对应的交点的交坐标，特别是横坐标；然后判断满足题意条件是在该点的哪一边（对函

数是上大下小，对X是右大左小）；最后写出解集。

二.反比例函数题：1.用一个已知点的坐标求k:k=xy；2.用矩形或直角三角形的面积求k:S矩航|k|或SntA=|k|/2；3.

双曲线上有两个坐标相关的点,可以用字母表示其中一个点的一个坐标（设m）,再算出其它3个坐标值,最后列方程求k.

辅助线:过双曲线上的点作x或y轴的垂线.相关知识：1、双曲线是三种对称图形；2、一次函数y=kx+b

中k=±l时,直线与坐标轴的夹角是45度,构成等腰直角三角形,与双曲线组成轴对称图形。

三.证切线的方法：1.连接半径，证垂直；2.过圆心作直线的垂线，证距离等于半径。

四.证线段相等的方法:全等；等腰[分两种类型:一种是角度不固定的,另一种是角度固定的，比如15度、22.5度、75度、

67.5度等，这时一定要算出角度];相等圆心角、圆周角所对的弦；平行四边形；切线长；等腰梯形；角平分线；中垂

线；都和半径相等的线段；等量线段加减；[x:a=x:b；a2=b2=mn]

五.求线段长度常用的方法：勾股定理（特别是勾股列方程）、相似三角形（特别是母子相似和共边相似）、三角函数、面

积法（垂线段长）、线段加减。

六.证角相等及角度的方法：全等；等腰；相似三角形；旋转图形的旋转角及对应角；等弧所对的圆心角、圆周角；圆内

接四边形的一个外角；等角的余角、补角；三角形的一个外角；角平分线；等腰梯形；两个直角三角形共斜边一四点

共圆f圆内接四边形、同弧；圆外角、圆内角f圆周角一圆心角；45度、30度的直角三角形由边长得角的度数。

七.证垂直（直角）的方法：平行线的两个角是直角（“工”字形）；三角形中另两个角互余；180度去减旁边的两个角；

全等三角形的对应直角。

八.证平行的方法：三种角（同位、内错、同旁内角）；证平行四边形。

九.求函数解析式的方法：待定系数法（有几个待定系数就找几个点）：正比例函数只要1个点；反比例函数只要1个点；

一次函数要2个点；二次函数要3个点，或顶点再加1个点。

十.求坐标的方法：1、过点作坐标轴的垂线，求垂线段长；2、解方程（组）求交点。

十一.求线段加法的方法是长线截取或短线延长；求线段乘法的方法是变比