指数函数综合应用题含答案

指数函数综合应用题含答案

学校:班级:姓名:考号:

一、选择题(本题共计10小题，每题3分，共计30分，)

1.运行如图所示的程序框图，则输出的Q的值为()

第8题图

A.13B.14C.15D.16

2.将函数f(%)=cos2x的图象向右平移:个单位后得到函数g(x),则g(x)具有性质()

A.最大值为1,图象关于直线花二三对称

B.在(0,力上单调递增，为奇函数

c•在(T》上单调递增，为偶函数

OO

D.周期为见图象关于点(?，0)对称

3.下列根式中，是最简二次根式的是()

A.*B.V5a34电D.y/a2b2+b5

4.已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简|1-。|+后的结果为()

-a

-101

A.lB-1C.l-2aD.2a-1

5.已知装+工q=3,贝k+F的值是()

A.3B.5C.7D.9

6.下列根式中，分数指数靠的互化，正确的是()

X-\[x=(―X)2(X>0)B.^/y2=y3(y<0)

C.x-4=>0)D.X~3=-Vx(x*0)

re

7.设Q=log3,b=log2V3c=Iog3V2,则()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

8.若427+4]。。。+4n为完全平方数，则正整数九满足()

A.n>1972B.n<1972C.n>1973D.n<1970

9.下列四个等式中，函数/(%)=3、不满足的是()

A./(x+1)=3/(x)B./(x+y)=/(%)+f(y)

C.f(x+y)=f(x)-f(y)D.f(-x)=去

10.在下列实数中，无理数是()

A.gB.-lC,0D.4

二、填空题(本题共计10小题，每题3分，共计30分，)

11.已知3a=2,3b=*贝Ij32a-b=

12.若a>0,且QH1,则函数y=a'T+l的图象一定过定点.

回逅团图应

13.有五张不透明的卡片为LLJ,除正面的数不同外，其余

都相同，将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽出一张卡片，抽到写有无理数卡片的概

率为.

14.已知2乂=5.618,且k+1],keZ,则4=.

试卷第2页，总18页

15.已知函数/■(%)=含(a>0,aH1),若［m］表示不超过m的最大整数，则函数

9W=［/(%)7-［f(r)一》的值域是.

16.若/(%)=〃在［-1,2］上的最大值为4,最小值为m,且g(x)=(4m尸为减函数，则

a=.

17.如图，数轴上点一点B分别表示数a,Hb.则a+b0(填>”或“V”).

2

一

18.某厂2011年的产值为Q万元，预计产值每年以7%的速度增加，则该厂到2022年的

产值为万元.

19.已知函数f(x)=a<b<ct且f(a)>f(c)>f(b),则下列结论中，一

定成立的是.①a<0,b<0,b>0,c>0；③2-g<2。；

®2a+2C<2.

20.化简，Vy2j%y-l后;(盯尸结果是______

三、解答题(本题共计10小题，每题10分，共计100分，)

21.函数/"(%)=%*，若/•(X+2)>f(1-2%),求工的取值范围.

22・⑴康的值；2Z

⑵忌许6为正整数)的值；

22.

(3)7^+；^%+凌苏+…演土而的值，

23.已知函数f(x)=ax(a>。且a*1)经过点(2,4).

(1)求Q的值；

(2)求/(%)在［0,1］上的最大值与最小值.

24.已知函数/'(%)=ax-\a>0且a丰1)

(1)若函数y="%)的图象经过P(3,9)点，求a的值；

(2)比较fQg磊)与/(-1.9)的大小，并写出比较过程.

25.某科研单位在研发钛合金产品的过程中发现了一种新合金材料，由大数据测得该产

品的性能指标值y(y值越大产品的性能越好)与这种新合金材料的含量”(单位：克)

的关系：当0W%<7时，y是％的二次函数；当％>7时，y=《尸一皿测得部分数据如

下表所示：

X02610•••

y-4881•••

9

(1)求y关于无的函数关系式；

(2)求该新合金材料的含量“为何值时产品的性能达到最佳.

26.若。+1)4<(3-2x)4,求x的取值范围.

27.已知函数"%)=l-2ax-a2x(a>0,且aH1),求函数/(乃的值域.

28.已知OvaVI,判断a,a。，心\(心尸的大小关系.

29.(1)求证：函数/(%)=2、+2r在［0,+8)上是单调递增函数；29.

(2)求函数〃")=2%+2-<%€/?)的值域；

29.

(3)设函数八。)=4"+4r+a(2x+2-x)(aeR),求力(工)的最小值@(Q).

30.化简：

1

5

(1)(^)-(3°-5)2+(0.008)4x^;

,.Ja3b2^/ab2

⑵Ji~~(a>0,b>0)

(成成)a~3b3

试卷第4页，总18页

参考答案与试题解析

指数函数综合应用题含答案

一、选择题(本题共计10小题，每题3分，共计30分)

1.

【答案】

C

【考点】

整数指数昂

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：C运行程序第一次，s=112,Q=9,第二次，s=103,a=10,第三次，s=

93,a=1,第四次，s=82.a=126,第五次，s=70,a=13,第六次，s=57,a=

15,第七次，S=43,Q=15,,此时输出的Q的值为15.

故选C.

2.

【答案】

B

【考点】

整数指数塞

【解析】

此题暂无解析

【解答】

函数/'(%)经平移后得9(%)=cos2(x-=cos(2x-^)=sin2x；

g(x)=sin2x的最大值为1,对称轴为2%=上加+],

解得％=—+：(%€%)，所以A项错误；

g(x)=sin2x的单调递增区间为

2kn-l<2x<2kn+l

解得ATT—^<x<kn+3(kWZ)

所以在(0,;)

单调递增，且为奇函数，所以B正确，C错误；

周期7=至=4=乩

对称中心'为2x=kn,

解得x=^(k€Z),

所以D项错误.

故选B.

3.

【答案】

A

【考点】

方根与根式及根式的化简运算

【解析】

根据最简二次根式的定义，利用排除法能够得到正确答案.

【解答】

解：:A中，满中最简二次根式的概念，，4是最简二次根式.

8中，•・•a的骞指数3大于根指数2,・•・8不是最简二次根式.

C中，：被开方数中存在分母，，C不是最简二次根式.

。中，被开方数中能够力的鬲指数2等于根指数2,・・・D不是最简二次根式.

故选A.

4.

【答案】

C

【考点】

有理数指数辱的化简求值

方根与根式及根式的化简运算

【解析】

首先根据数轴上一。点的位置确定出a的取值范围，然后再根据二次根式和绝对值的性

质进行化简.

【解答】

解：由图可知：0v-avl,

1-a>0且QV0；

故|1-a|+Va^=1-a—a=l-2a.

故选C.

5.

【答案】

C

【考点】

分数指数辱

【解析】

把葭+=3两边平方化简即可得出.

【解答】

解：•・,X2+X~2=3,

（X2+x~2）2=x+-4-2=9,

试卷第6页，总18页

・・・x+-=7.

故选：C.

6.

【答案】

C

【考点】

根式与分数指数基的互化及其化简运算

【解析】

利用根式与分数指数哥的关系得出4一正=一/(">0),泞=(/)之=

肉(%>0),.一二汽=矗从而选出答案.

【解答】

解：4.一«=-x^(x>0)故4错；

艮泞=(y2/故8错；

C.x-l=>0)故C正璃；

O.x~3=4=+故。错

X3也

故选C.

7.

【答案】

A

【考点】

根式与分数指数靠的互化及其化简运算

方根与根式及根式的化简运算

【解析】

借助于中间量特殊值比较大小.

【解答】

a=log37r>l,b=log2M=|log23.3•|<d<l,c=log3V2=^log32c<>b>c

8.

【答案】

B

【考点】

有理数指数累

【解析】

通过提公因式，把原式整理成完全平方式的形式，从而推出九的值，进而通过反正的方

式进行排除选项得解.

【解答】

1945254

解：因为427|41000|4n=254(1।22I2^),

所以当2n—54=2X1945,即n=1972时，上式为完全平方数.

当n>1972时，有(2n-27)2<i+2.21945+22n-54<1+2-2n-27+22=

(2n-27+l)2,

所以上式不可能为完全平方数.

故选B.

9.

【答案】

B

【考点】

有理数指数塞

【解析】

利用指数帚的运算性质即可得出.

【解答】

解:对于B:左边f(%+y)=3/y=3^.3、=f(x)•f(y),右边=f(x)+f(y)=3X+

3y.

J左边工右边.

故选B.

10.

【答案】

A

【考点】

无理数指数累

【解析】

根据无理数就是无限不循环小数即可判定选择项.

【解答】

B、C、。中都是有理数，故选项错误.

故选：4.

二、填空题(本题共计10小题，每题3分，共计30分)

11.

【答案】

20

【考点】

有理数指数幕的化简求值

【解析】

对3a=2,3b=5两边取对数，求出Q,b的值，再计算2a—b的值，再根据指数和对

数的运算性质即可求出答案.

【解答】

解：・・•3a=2,3b=:

两边取对数得Q=10g32,b=log31=-log35,

2a—b=210g32+log35=log320,

...32a-b=20,

故答案为：20.

12.

试卷第8页，总18页

【答案】

(1，2)

【考点】

指数函数的性质

【解析】

令Q的鬲指数％-1=0,可得％=1,此时求得y=2,由此可得所求的定点坐标.

【解答】

解：令Q的塞指数％-1=0,可得％=1,此时求得y=2,故所求的定点坐标为(1,2),

故答案为(1,2).

13.

【答案】

2

5

【考点】

无理数指数爆

古典概型及其概率计算公式

【解析】

让无理数的数的个数除以数的总数即为所求的概率.

【解答】

所有的数有5个，无理数有7T,应共2个，

・•・抽到写有无理数的卡片的概率是一

14.

【答案】

2

【考点】

指数函数的单调性与特殊点

【解析】

根据题意可先将指数式转化为对数式，表示出工,判断出该对数的大值大小，再由

%k+l],作出判断得出答案.

【解答】

解:V2X=5.618,

・•・x=log25.618,又4<5.618<8

/.x=log25.618G(2,3)

又xG[k,k+l],kez

：.k=2

故答案为：2

15.

【答案】

{T0}

【考点】

指数函数的定义、解析式、定义域和值域

【解析】

化简函数/'(%)=含(Q>O,QH1),对%的正、负、和。分类讨论，求出［/Q)一号一

［/'(一X)一与的值，从而得到所求.

【解答】

解：f(x)=念7(。>0,a*D

g(#)=IfM心一［f(r)-j=2［磊-1］

・・・0<备<1

当。〈磊〈泄，岛T=TE-磊］=仇原式为T

当六aVI时，岛L勺=°，E-方=T原式为T

当春T时，时，罟一焉］=SE一焉］=6原式为。

故答案为：{-1,0}

16.

【答案】

1

4

【考点】

指数函数单调性的应用

【解析】

根据g(》)=(4m)x为戒函数，先求出m的取值范围，再讨论Q的取值范围进而求a是值.

【解答】

解:因为。(%)=(4血尸为减函数，

所以0<4mVl,解得：0vm/

当a>l时，«2=4,解得a=2,所以m/故a=2不满足题意；

当。<"1时，a-=4,解得a/所以吁标t/满足题意・

故

a=74-

17.

【答案】

<

【考点】

指数函数的性质

【解析】

此题暂无解析

【解答】

此题暂无解答

18.

试卷第10页，总18页

【答案】

a(l+7%)11

【考点】

指数函数的实际应用

【解析】

根据增长率，写出每一年的产值，即可得到结论.

【解答】

解：2011年产值为a,增长率为7%,2012年产值为a+ax7%=a(l+7%),2013年

产值为a(l+7%)+a(l+7%)x7%=a(l+7%)2...2022年的产值为a(l+

7%)1i.

故答案为：a(l+7%)11.

19.

【答案】

④

【考点】

指数函数的图象

【解析】

根据函数在区间(-8,0)上是减函数，结合题设可得①不正确；根据函数的解析式，结

合举反例的方法，可得到②、③不正确；利用函数的单调性结合函数的解析式，对av

c且f(a)>f(c)加以讨论，可得④是正确的.由此不难得到正确选项.

【解答】

解：对于①，a<0,d<0,c<0,因为aVbVc,所以aVbVcV0,

而函数f(%)=|2、-1|在区间(一8,0)上是减函数，

故/(Q)>f(b)>"c),与题设矛盾，所以①不正确；

对于②，a<0,b>0,c>0,可设a=-1,b-2,c=3,

此时/'(c)=f(3)=7为最大值，与题设矛盾，故②不正确；

对于③，取a=0,c=3,同样/(c)=f(3)=7为最大值，

与题设矛盾，故③不正确；

对于④，因为avc,且/'(a)>f(c),必有a<0<c,所以/'(a)=1-2a>2。-1=

/(c)，

化简整理，得2a+2C<2成立.

综上所述，可得只有④正确

故答案为.④

20.

【答案】

1

【考点】

方根与根式及根式的化简运算

【解析】

根据根式与有理数指数鬲的关系，结合指数的运算性质，直接代入运算，可得结果.

【解答】

解：原式=(盯丫-(盯一21

241)5AQy)1=(xyx2y~2')3(Xy')2(xy')~=

(X21y2)3(xy)2(xy)-1=[(xy)2]3(xy)2(xy)-1=(xy)2(xy)2(xy)-1=(xy)0=1,

故答案为：1

三、解答题(本题共计10小题，每题10分，共计100分)

21.

【答案】

解:•・・f(x)=x4,

・•・f(%)在(0,+8)上单调递减，

•・•/(x+2)>/(l-2x),

x+2<l-2x

x4-2>0,

1-2x>0

解得一2<x<-

:.%的取值范围为(-2,一：).

【考点】

指数函数的单调性与特殊点

【解析】

x+2<1—2x

由函数/'(%)=%4，得到/(%)在(0,+8)上单调递减，得到x+2>Q,解得即可.

1-2x>0

【解答】

解：；f(x)=

・•・/(%)在(0,+8)上单调递减，

•・・/(x+2)>/(l-2x),

x+2<l-2x

・•・x+2>0,

.1-2x>0

解得一2<x<—I，

・•・》的取值范围为(一2,一$.

22.

试卷第12页，总18页

【答案】

解：⑴康=派去能=等=乃一卮

⑵—=而儒卷F=*=E一低⑴为正整数)，

⑶高+嬴+标+…焉嬴=®1)+®®+(/_

V3)+...+(V100-V99)

=A/2-1+V3-V2+V4-V3+...+V100-A/99

=V100-l=9.

【考点】

根式与分数指数靠的互化及其化简运算

【解析】

利用分母有理化，把小化为布钉-e的形式m为正整数)，即可求出结果•

【解答】

解:(1)短=(后短篌y广等=展一正;

⑵小=而儒善1而=需=标7—低m为正整数)；

⑶f+占+募+…能询=(或-1)+(8-&)+("-

V3)+...+(V100-V99)

=V2-1+V3->^+V4-A/3+...+V100-V99

=VlOO-1=9.

23.

【答案】

解：将点(2,4)代入函数表达式得f(2)=a2=4,解得Q=2.

解：由(1)知/a)=2L故函数f(x)在［0,1］上是单调递增函数，故最大值为/XI)=

21=2,最小值为f(0)=2°=1.

【考点】

指数函数的定义、解析式、定义域和值域

指数函数单调性的应用

【解析】

(1)将点(24)代入函数表达式，由此求得a的值.

(2)根据指数函数单调性，求得函数f(x)的最大值和最小值.

【解答】

此题暂无解答

24.

【答案】

解：(1)•・•函数/•(%)=MT®>o且Q,1)函数y=/(%)的图象经过点P(3,9),

a2=9,a=3,

(2)/(lg^)=/(-2),

当a>l时，/(x)=a^1,单调递增,

・・・/(-2)</(-1.9),

x-1

当0<a<l,f[x)=at单调递减，

/(-2)>/(-1.9)

所以，当a>1时，/(lg^)</(-1.9).

当0VQV1,f(lg击).

【考点】

指数函数的图象

指数函数的性质

【解析】

(1)把点代入求解，

(2)化为f(-2),/(-1.9),讨论利用函数单调性求解判断

【解答】

解：(1)•・•函数f(x)=aXT(a>0且Q工1),函数y=f(x)的图象经过点P(3,9),

a2=9,a=3,

⑵/(lg^)=/(-2),

当Q>I时，fa)=QX-i,单调递增，

・・・/-(-2)</-(-1.9),

当OVQV1,/(X)=Q%T,单调递减，

/(-2)>/(-1.9)

所以,当a>l时，fOg击)

当OvaVI,/(lg^)>/(-1.9)

25.

【答案】

解：(1)当0WxV7时，y是x的二次函数，

可设y=o.x2+bx+c(aHOj,

由％=0,y=-4,可得c=-4,

由％=2,y=8,即4a+2b=12,①

由％=6,y=8,可得36a+6b=12,②

由①②解得Q=-l，b=8,

即有y=-x2+8x-4(0<x<7)；

当％27时，y=G)x-m,

由％=10,y=

可得m=8,即有y=《尸―8a>7).

-x2+8x-4,0<x<7,

综上可得y=

(y-8,x>7.

试卷第14页，总18页

(2)当0<x<7时，y——x2+8x-4=—(x-4)24-12,

即当x=4时，y取得最大值12；

当力之7时，y=(Jx-8递减，可得丫工3,

即当％=7时，y取得最大值3.

综上可得当％=4时产品的性能达到最佳.

【考点】

根据实际问题选择函数类型

二次函数的性质

指数函数的实际应用

指数函数的定义、解析式、定义域和值域

函数最值的应用

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：(1)当0WXV7时，y是x的二次函数，

可设y=ax2+bx+c(aH0),

由X=0,y=-4,可得c=-4,

由x=2,y=8,即4a+2b=12,①

由x=6,y=8,可得36a+6b=12,②

由①②解得。=-1,b=8,

即有y=-x2+8x-4(0<x<7)；

当xN7时，y=G)x-m,

由％=io,y=；,

可得m=8,即有'=《尸-8(%之7).

(-x2+8x-4,0<x<7,

综上可得y=[(y-8,x>7.

(2)当0W%V7时，y=-x2+8x-4=-(x-4)2+12,

即当x=4时，y取得最大值12：

当x27时，y=C)x—8递减，可得丫43,

即当％=7时，y取得最大值3.

综上可得当％=4时产品的性能达到最佳.

26.

【答案】

解：设/'(%)=X-1,则/•(*)是偶函数，且在(0,+8)上单调递减，在(-8,0)上单

调递增，

•・•(x+1)-3<(3-2X)~3,/.|x+l|>|3-2x|>0,解得3cxv4,且xH，

・•・》的取值范围是C，》uC，4).

【考点】

指数函数的单调性与特殊点

【解析】

设/(£)=》-：根据/(%)的单调性和奇偶性可得x+1与3-2%的大小关系，列不等式

解出.

【解答】

解：设外乃=%-3,则/(%)是偶函数，且f(%)在(0,+8)上单调递减，在(-8,0)上单

调递增，

•・•(x+1)4<(3-2x)4,A|x+l|>|3-2x|>0,解得：<%V4,且工工1

・•・》的取值范围是(泊)U&4).

27.

【答案】

解：设a*=£,则t>0,则原函数化为g(t)=l-2£-£2=-(t+i)2+2,

,:对称轴£=-1C(0,+8),

:.9©=~(t+I)2+2在(0,+8)上是减函数,

**-g«)vg(o)=i,

故函数fQ)的值域为(一8,1).

【考点】

指数型复合函数的性质及应用

【解析】

利用换元法把原函数转化为二次函数，由二次函数的单调性求函数的值域.

【解答】

解：设谟=t,则t>o,则原函数化为g(t)=l-2t-£2=-(t+i)2+2,

■:对称轴t=-1£(0,+00),

g(t)=一(£+1产+2在(0,+8)上是减函数,

，g(t)vg(0)=i,

故函数f(%)的值域为(一8,1).

28.

【答案】

解:(心尸=一，

•・•0VQV1,・•・/'(%)=a'在R上单调递减.

/.1>aa>a>a2,

a

a<Q。。<a<(Q。)。

【考点】

指数函数单调性的应用

【解析】

试卷第16页，总18页

由缶。尸=。。2,0<a<1,考察函数/(》)=〃在R上单调递减，即可得出.

【解答】

解.(吟a=M,

,**0<a<1,/-(%)=Q”在R上单调递减.

・'・1>aa>a>a2,

/.a<aaa<aa<(a。)。

29.

【答案】

(1)证明：•・・f(%)=2%+2T,

・・xxXx

•f(x)=2ln2-2-\n2=(2-2-)ln2=2X-ln2,

•・・xe［O,+8),・・・f(x)>0,

・•・/(%)=2工+2-在［0,+8)上是单调递增函数；

(2)解：・・・/(一盼=24+2-"=/(%),・・・/(%)为R上的偶函数，

由⑴知〃%)在［0,+8)上为增函数，则XN0时/(%)在2。+2。=为

由偶函数性质知在(-8,0］上〃%)>2,

・•・/(乃的值域为［2,+8)；

Xx