江苏省常州市19-20学年九年级(上)期末数学试卷 (含答案解析)

江苏省常州市19-20学年九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）

1,已知关于x的一元二次方程27—3x+m=0有一个根为—2,则，"的值为（）

A.7B.-7C.14D.-14

2.点点同学对数据26,36,46,5口，52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被黑水涂

污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（）

A.平均数B.中位数C.方差D.标准差

3.河堤的横断面如图，堤IWJBC是5根，迎水斜坡A3的长是10根，那一1，二

么斜坡AB的坡度是（）-二

A.1：2B.1：V3C.1：1.5D,1：3

4.如果两个相似三角形的面积比是1：2,那么它们的周长比是（）

A.1：2B.1：4C.1：V2D.2：1

5.已知圆锥的底面半径为母线长为5cm,则圆锥的侧面积是（）

A.107rcm2B.147rcm2C.207rcm2D.287rcm2

6.如图，点A、B、C在圆。上，N2=60。，则NB。。的度数是（）

A

A.15°B.30°C.60°D.120°

7.如图，每个小正方形的边长均为1,则下列图形中的三角形（阴影部分____-pl

）与44316相似的是（）/

A8.*

8.如图，AB是。。的直径，ZC=38°,则乙4。0等于（）

A.100°

B.102°

C.104°

D.10°

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

9.若2a=3b,贝哈=.

10.已知乙4是锐角，且加兀4=在，贝1］乙4=1

3

11.不透明袋子中装有9个球,其中有2个红球、3个绿球和4个蓝球，这些球除颜色外无其他差别.从

袋子中随机取出1个球，则它是蓝球的概率是

12.如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离路灯的底部（点

0）20米的A处，则小明的影长为米.

13.某楼盘2013年房价为每平方米8100元，经过两年连续降价后，2015年房价为7600元.设该楼

盘这两年房价平均降低率为x，根据题意可列方程为.

14.若关于x的一元二次方程/+4%—k=0有实数根，则人的最小值为.

15.4B为半圆。的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶

点尸在半圆上，斜边过点2,一条直角边交该半圆于点Q.若=2,

则线段BQ的长为

16.在平面直角坐标系中,已知点4(-3,0),B(3,0),点C在坐标轴上，

且AC+BC=10,写出满足条件的所有点C的坐标

三、解答题(本大题共9小题，共88.0分)

17.(1)解方程：%(%+3)=-2；

(2)计算：V2sin450+3cos600-4tan45°.

18.已知锐角△ABC是。。的内接三角形，0D1BC于点D

(1)请借助无刻度的直尺，画出△力BC中NB4C的平分线并说明理由;

(2)若NB4C=60。，BC=2V3,求。。日勺长.

19.为了解某校九年级学生体能训练情况，该年级在3月份进行了一次体育测试，决定对本次测试

的成绩进行抽样分析.已知九年级共有学生480人，请按要求回答下列问题：

(1)把全年级同学的测试成绩分别写在没有明显差别的小纸片上，揉成小球，放到一个不透明的

袋子中，充分搅拌后，随意抽取30个，展开小球，记录这30张纸片中所写的成绩得到一个样

本，你觉得上面的抽取过程是简单随机抽样吗？

答:(填"是”或“不是”)

(2)下表是用简单随机抽样方法抽取的30名同学的体育测试成绩(单位：分)：

59697773726279786691

85848384868788858689

90979198909596939299

若成绩为尤分，当久290时记为A等级，80<乂<90时记为8等级，70Wx<80时记为C等

级，x<70时记为D等级，根据表格信息，解答下列问题：

①本次抽样调查获取的样本数据的中位数是；估计全年级本次体育测试成绩在A、8两

个等级的人数是;

②经过一个多月的强化训练发现。等级的同学平均成绩提高15分,C等级的同学平均成绩提高

10分，8等级的同学平均成绩提高5分，A等级的同学平均成绩没有变化，请估计强化训练后

全年级学生的平均成绩提高多少分？

20.春节快到了，明明准备为爸爸煮四个大汤圆作早点：一个芝麻馅，一个水果馅，两个花生馅，

四个汤圆除内部馅料不同外，其它一切均相同.问爸爸吃的前两个汤圆刚好都是花生馅的概率

是多少？

D

21.已知：如图，在矩形ABC。中，E为AD的中点，EF1EC交AB于尸，连

接FC.Q4B>AE).

(1)AAEF与AECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明

理由;

(2)设黑=k,是否存在这样的上值，使得AAEF与ABFC相似？若存在,

£>C

证明你的结论并求出发的值；若不存在，说明理由.

22.一面墙长18m，借助这面墙用长度为32%的篱笆围成面积为120^2矩形的花园A8C。(墙的长度

要大于花园的长BC),求矩形的宽的长.

BC

23.如图，已知A8是。。的直径，EA是。。的切线，A为切点，。是EA上一点，且/ABD=30。,

DB交O。于点C,连结OC并延长交EA于点P.

1

⑴求证：OA=-OP；

(2)如果。。的半径为求DP的长;

(3)在(2)的条件下求图中阴影部分的面积S.

24.如图，在RtAABC中，NC=90。，点。在8c边上，N4DC=45°,BD=2,

3

tanB=-

4

⑴求AC和的长;

(2)求sin/BAD的值.

25.如图，4(0,2),B(6,2),C(0,c)(c〉0),以A为圆心AB长为半径的崩交y轴正半轴于点D,BD

与BC有交点时，交点为E,P为防上一点.

(1)若c=6V3+2,

①BC=,范的长为；

②当CP=6立时，判断CP与04的位置关系，井加以证明；

(2)若c=10,求点尸与8C距离的最大值；

(3)分别直接写出当c=1,c=6,c=9,c=〃时，点P与8c的最大距离(结果无需化简)

督■用图

-------答案与解析---------

1.答案：D

解析：

本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.

把x=—2代入方程2婷—3x+m=。得8+6+m=0,然后解关于m的方程即可.

解：把％=—2代入方程2——3%+m=0得8+6+m=0,

解得m=-14.

故选：D.

2.答案：B

解析：

利用平均数、中位数、方差和标准差的定义对各选项进行判断.本题考查了标准差：样本方差的算

术平方根表示样本的标准差，它也描述了数据对平均数的离散程度.也考查了中位数、平均数.

解：这组数据的平均数、方差和标准差都与第4个数有关，而这组数据的中位数为46,与第4个数

无关.

故选：B.

3.答案：B

解析：

本题考查坡度的定义与应用，解题关键是坡度的定义，坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度，

又称坡比.

可根据勾股定理求出AC的长，坡度比可以用垂直高度：水平距离来解答.

解：在RtAABC中，AC=V102-52=5V3;

斜坡的坡比i=BC：AC=5：5V3=1：V3,

故选艮

4.答案:C

解析：解：•••两个相似三角形的面积比是1：2,

••.这两个相似三角形的相似比是1：V2，

.•.它们的周长比是1：V2.

故选：C.

由两个相似三角形的面积比是1：2,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得它们的

相似比，又由相似三角形周长的比等于相似比，即可求得它们的周长比.

此题考查了相似三角形的性质.此题比较简单，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比

的平方与相似三角形周长的比等于相似比性质的应用.

5.答案：A

解析：

本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形

的半径等于圆锥的母线长.根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，

扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解.

解：圆锥的侧面积=『2兀•2・5=10兀（。小2）,

故选A.

6.答案：D

解析：解：,；乙BOC=2乙A,

而乙力=60°,

•••Z.BOC=120°.

故选D

直接根据圆周角定理求解.

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆

心角的一半.

7.答案：D

解析：

本题考查相似三角形的判定，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型.

根据相似三角形的判定方法一一判断即可.

解：因为AaiBiCi中有一个角是135。，选项中，有135。角的三角形只有。，且满足两边成比例夹角

相等，

故选D

8.答案：C

解析：解：•••NC与NBOD是同弧所对的圆周角与圆心角，ZC=38°,

•••乙BOD=2ZC=76°,

•••AAOD=180°-76°=104°.

故选C.

先根据圆周角定理求出NB。。的度数，再由补角的定义即可得出结论.

本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所

对的圆心角的一半是解答此题的关键.

9.答案：|

解析：

本题主要考查了比例的基本性质，根据比例的基本性质能够熟练进行比例式和等积式的相互转换是

解题的关键.根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积.可直接得到蓝的结果.

解：2a=3b,

•.,一a_——3•

b2

故答案为|.

10.答案：30。

解析：解：乙4是锐角，tcmA=—,

3

•••乙4=30°.

故答案为：30°.

将特殊角的三角函数值代入求解.

本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值.

11.答案：1

解析：解：它是蓝球的概率是：%

故答案为：

利用概率公式可直接得到答案.

此题主要考查了概率，关键是掌握随机事件A的概率PQ4）=事件A可能出现的结果数千所有可能出

现的结果数.

12.答案：5

解析：

本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和''在

同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决.

证明△MAB-^MOC,则利用相似的性质得方工不等,然后利用比例的性质求MA即可.

20+MAO

解：如图，0c=8m,AB=1.6m,0A=20m,

vAB//OC,

MAB-LMOC,

口

MAA—B,即n--M-A--等，解得MA=5.

MOOC20+MAo

答：小明的影长为5米.

故答案为5.

13.答案：8100x(1-x)2=7600

解析：

此题考查了一元二次方程的应用，注意第二次降价后的价格是在第一次降价后的价格的基础上进行

降价的.找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键.

该楼盘这两年房价平均降低率为x,则第一次降价后的单价是原价的1-%，第二次降价后的单价是

原价的（1-尤）2,根据题意列方程解答即可.

解：设该楼盘这两年房价平均降低率为X,根据题意列方程得：

8100x(1-x)2=7600,

故答案为：8100x(1-x)2=7600.

14.答案：-4

解析：解：根据题意得△=42-4(-/c)>0,

解得k>—4,

所以女的最小值为-4.

故答案为-4.

根据判别式的意义得到A=42-4(-£)20,然后解不等式确定上的范围，再找出左的最小值即可.

本题考查了根的判别式：一元二次方程a/+^:+c=0(aK0)的根与△=62一4ac有如下关系：当

△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=€)时，方程有两个相等的两个实数根；当A<0时，

方程无实数根.

15.答案：V2

解析：

本题主要考查等腰直角三角形的性质，圆周角定理及推论，勾股定理，可连接Q4,根据同弧

所对的圆周角相等及等腰直角三角形的性质可知NQA8=Z.QPB=45°,再根据直径所对的圆周角是

直角可知N4QB=90。，进而得AQAB为等腰直角三角形，根据4B=2,利用勾股定理即可求得8。

的长.

解：连接Q4,QB,

：.乙QAB=4QPB=45°,

•••为直径，

•••Z.AQB=90°,

QA=QB,

•••AB=2,

QB—QA—V2.

故答案为迎.

16.答案:(-5,0),(5,0),(0,4),(0,-4)

解析：

本题主要考查坐标与图形的关系，关键是可以根据题目中的信息把点c的几种可能性都考虑到，画

出相应的图形，根据题意可知点C在x轴上或者在y轴上，通过画图分析，符合要求的有四种情况，

根据AC+BC=IO,可以确定点c的坐标.

解：如下图所示：

Ci二

/'\

/-\

/.\

।_I__IZJ_L_―।__

ciA\\c-J拓a

•••已知点4(—3,0),B(3,0),点C在坐标轴上，且4C+8C=10,

・••点C所在的位置有四种情况：

第一种情况：点C在点A的左侧.

设点C的坐标为(X,0).

■：AC+BC=10,点4(-3,0),8(3,0),

(-3—x)+(3—x)=10.

解得，x=—5.

•••点C的坐标为(一5,0),点4(-3,0),5(3,0),

第二种情况：点C在点B的右侧.

设点C的坐标为(居0).

AC+BC=10,

[x-(—3)]+(x—3)=10.

解得，x=5.

点C的坐标为(5,0).

第三种情况：点C在y轴上方.

设点C的坐标为(0,y).

■：AC+BC=10,点4(-3,0),5(3,0),

•••AC=BC=5,32+y2=52.

解得，y—±4.

,点C在y轴上方，

・••点C的坐标为(0,4).

第四种情况：点C在y轴下方.

设点C的坐标为(0,y).

•••AC+BC=10,点4(-3,0),B(3,0),

AC=BC=5,32+y2=52.

解得，y=±4.

,点C在y轴下方，

.,.点C的坐标为(0,-4).

故答案为(-5,0),(5,0),(0,4),(0,-4).

17.答案：解：(1)方程整理，得/+3X+2=0,

因式分解，得

(%+2)(%+1)=0,

于是，得

%+2=0,x+1=0,

解得％1=—2,%2=-1；

(2)原式=V2xy+3x|-4xl

=1+1,5-4

=-1.5.

解析：本题考查了解一元二次方程，特殊角的三角函数值的计算，对于(1)熟练掌握因式分解法是关

键，对于(2)熟练掌握特殊角的三角函数值是关键.

(1)根据因式分解法，可得答案；

(2)根据特殊角三角函数值，可得答案.

18.答案：解：(1)延长。。交O。于E,连接AE,射线AE即为NB4C的角平分线.

B

(2)连接05,OC.

•••乙BOC=2(BAC,ABAC=60°,

・•・乙BOC=120°,

・

•,OD1BCf

-1

BD=CD=V3-乙BOD=-/.BOC=60°,

BD

/.OD==1.

taiitur

解析：本题考查作图-复杂作图，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，三角形的外接圆与外心等知

识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

(1)延长。。交O。于E,连接AE,射线AE即为N84C的角平分线.

(2)连接OB,0c.解直角三角形OBD即可.

19.答案:是85.5336

解析：解：(1)上面的抽取过程是简单随机抽样,

故答案为：是；

(2)①本次抽样调查获取的样本数据的中位数是里罗=85.5；估计全年级本次体育测试成绩在A、B

两个等级的人数是480x意=336(人),

故答案为：85.5,336；

②由表中数据可知，30名同学中，A等级的有10人，B等级的有11人，C等级的有5人，。等级的

有4人.

15x4+10x5+5x11+0x10--

依题意得,-5.5,

30

・•・根据算得的样本数据提高的平均成绩，可以估计强化训练后全年级学生的平均成绩约提高5.5分.

(1)由抽样调查的概念判断即可得；

(2)①依据中位数和样本估计总体思想的运用求解可得；

②根据加权平均数的定义求解可得.

本题主要考查众数、中位数、用样本估计总体等知识点，正确理解题意是解题的关键.

20.答案：解：分别用A表示芝麻馅，2表示水果馅，Q、表示花生馅的大汤圆，

画树状图得：

开始

•••共有12种等可能的结果，爸爸吃的前两个汤圆刚好都是花生馅的有2种情况,

二爸爸吃的前两个汤圆刚好都是花生馅的概率为：=

126

解析：此题考查了树状图法与列表法求概率.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比,

为基础题.

首先分别用A表示芝麻馅，2表示水果馅，6、表示花生馅的大汤圆，然后根据题意画树状图，

再由树状图求得所有等可能的结果与爸爸吃的前两个汤圆刚好都是花生馅的情况，然后利用概率公

式求解即可求得答案.

21.答案:解：（1）△AEFsAECF,证明如下：

延长FE与CD的延长线交于G,

•••E为的中点，AE=DE,^AEF=AGED,

Rt△AEF=Rt△DEG.

・•.EF=EG.

•・•CE=CE,乙FEC=Z.CEG=90°,

・•.Rt△EFC=Rt△EGC.

•••^AFE=乙EGC=/.EFC.

又•••Nd=乙FEC=90°,

RtAAEF^RtAECF；

(2)设AD=2x,AB=b,DG=AF=a,贝！JFB=b-a,

•••乙GEC=90°,EDLCD,

ED2=GD•CD

■■x2=ab,

假定△AEF^J^BFC相似，则有两种情况：

一是乙4FE=NBCF；则乙4FE与N8FC互余，于是NEFC=90。，因此此种情况是不成立的.

二是NAFE=乙BFC.

根据AAEFSABCF,

于是：竺=巴，即巴="，得6=3a.

AEBCx2x

所以％2=ab=3a2,因此％=V3a,

于是k=-=-=^-=^.

BC2x2V3a2

解析：本题主要考查了相似三角形以及全等三角形的判定和性质，根据相似三角形得出相关线段间

的比例关系是解题的关键.

(1)要求两三角形相似，已知条件有一组直角，我们只需再证得一组对应角相等即可得出两三角形相

似，根据FE1EC,因此/4EF和NDCE都是乙DEC的余角，因止匕NAEF=ADCE,我们只要再得出

NDCE="CE即可，可通过构建全等三角形来求解，延长FE交CD于G,我们不难得出AAEF和

AGED全等,那么EF=EG,再根据一组直角和一条公共边我们可得出△FEC和△GEC全等，即可得

出NFCE=NGCE也就得出了N4EF=乙ECF,于是就凑齐了两三角形相似的条件.

(2)要想使两三角形相似，已知的条件有一组直角，那么分两种情况进行讨论：

当N4FE=NFCB时，那么N4FE就和NBFC互余，因止匕NEFC就是直角，而NFEC也是直角因止匕这种情

况是不成立的.

当N4EF=NFCB时，AE,BC=AF：BF,那么由于E是中点，因此BC=24E,所以我们可得

出8F=2AF,即48=3AF,又根据⑴中AF=GD,AB=CD,我们可在4CEG中根据△EDC

相似，得出关于GO、ED、0c的比例关系，也就是ARAB,AE的比例关系，有了AB=34F,就

能求出瓦＞与AF的比例关系，也就求出了BC与AF的比例关系，以AE为中间值即可得出AB与BC

的比例关系，也就求出了人的值.

22.答案：解：设矩形的宽A3的长为切1,则的长为(32—2x)771,

根据题意得：%(32-2%)=120,

解得：%i=6,牝=1°.

v32—2%V18,

解得：%>7,

x=10.

答：矩形的宽的长为10m.

解析：本题考查了一元二次方程的应用以及长方形的面积，找准等量关系，正确列出一元二次方程

是解题的关键.

设矩形的宽A8的长为无小，则8c的长为（32-2乃小，根据矩形的面积公式，即可得出关于x的一

元二次方程，解之即可得出结论.

23.答案：（1）证明：OB=OC,ADBA=30°,

.­.乙OCB=4DBA=30°,

NP。力为ABOC的外角，

.­.A.POA=乙OCB+Z-DBA=60°,

又TEA切。。于点A,

APAO=90°,

•••N4P。=30°,

•••OA=-0P-,

2

(2)•••乙DCP=Z.DPC=30°,

CD=PD,

■：4。=C。=V3,

OP=2A0=20C=2V3,

PC=V3,

如图1,过。作DF1PC于尸，

•••PF=-PC=—，

22

由勾股定理"+PF2=PD2,DF=pD,

所以PD=1;

(3)如图2,

过。作OG14C于G,

3

・•.OG=

2

S跖彰=S扁曲”-SA40c=6°"(a2-ix-xV3713遮

阴影扇形A0C3602224

解析：(1)由。B=0C,利用等边对等角得到一对角相等，由ADB4=30。得到NBC。=30°,再由乙4OC

为AB。。的外角，利用外角性质求出乙4OP=60。，在RtAAOP中，得至I1Z.0PA=30。，利用30。所对

的直角边等于斜边的一半得到0A为OP的一半，得证；

(2)NDCP=乙DPC=30。得到CD=PD,求出PC=旧,如图1,过。作DF1PC于死得到PF=|PC=

(3)如图2,过。作。G1AC于G,求得等边三角形的高0G=|,即可求得S切影=S嫁物”-5改”=

本题考查了切线的性质，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，扇形面积的求法，三角形面积的

求法，作辅助线构造直角三角形是解题的关键.

24.答案:解:⑴如图，在RtANBC中，

.♦.设AC=3x、BC=4x,

BD=2,

DC=BC-BD=4%—2,

•••/.ADC=45°,

•••AC=DC,即4x-2=3久，

解得：x—2,

则AC=6、BC=8,

AB=y/AC2+BC2=10;

(2)作DE1AB于点E,

由tcmB=—=三可设DE=3a,贝!JBE=4a,

BE4

DE2+BE2=BD2,S.BD=2,

(3a)2+(4a)2=22,解得：a=久负值舍去),

DE=3a=I，

vAD=yjAC2+DC2=6也

解析：(1)由tanB=—=-设AC=3x、BC=4x,据此得DC=4x-2,根据乙4DC=45。得AC=DC,

BC4

即3x=4x-2,解之得出尤的值，继而可得答案；

(2)作DE1AB,设DE=3a、BE=4a,根据DE?+BE?=BD?可求得。的值，继而根据正弦函数

的定义可得答案.

本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义及根据题意构建直角三角形的

能力.

25.