2025届新高考数学热点冲刺复习排列与组合

2025届新高考数学热点冲刺复习

排列与组合课前自主预习案课堂互动探究案课前自主预习案必

备

知

识1.排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并按照________排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列组合作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合一定顺序

不同排列不同组合3．排列数、组合数的公式及性质公式性质n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）

1

n!

×√××

答案：B

答案：1或4解析：由题意可得2x－1＝x或2x－1＋x＝11，解得x＝1或x＝4.4．(易错)某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法种数为________．答案：30

课堂互动探究案1.理解排列、组合的概念．2．能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．3．能利用排列、组合解决简单的实际问题．问题思考·夯实技能

【问题1】排列问题与组合问题的区别是什么？

提示：元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合．

【问题2】你能说出解决排列、组合问题的多少种技巧？提示：(1)特殊元素优先安排．(2)合理分类与准确分步．(3)排列、组合混合问题要先选后排．(4)相邻问题捆绑处理．(5)不相邻问题插空处理．(6)定序问题倍缩法处理．(7)分排问题直排处理．(8)“小集团”排列问题先整体后局部．(9)构造模型．(10)正难则反，等价转化．关键能力·题型剖析题型一

排列问题例1(1)[2024·河北秦皇岛模拟]某小学从2位语文教师，4位数学教师中安排3人到西部三个省支教，每个省各1人，且至少有1位语文教师入选，则不同安排方法有(

)A．16种

B．20种C．96种

D．120种答案：C

(2)[2024·九省联考]甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有(

)A．20种

B．16种C．12种

D．8种答案：C解析：先排甲，再排乙和丙，则有：共有16种．故选C.题后师说对于有限制条件的排列问题，分析问题时，有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时，一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．巩固训练1(1)[2024·黑龙江佳木斯模拟]若把英语单词“word”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有(

)A．24种

B．23种C．12种

D．11种答案：B

(2)[2024·山西运城模拟]某学校音乐社团为庆祝学校百年华诞将举办歌曲展演，要从4首独唱歌曲和2首合唱歌曲中选出4首歌曲安排演出，若最后一首歌曲必须是合唱歌曲，则不同的安排方法种数为(

)A．96B．120C．240D．360答案：B

题型二

组合问题例2课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生当选；(2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选；(5)既要有队长，又要有女生当选．

题后师说组合问题的两类题型

答案：ABD

(2)[2024·安徽合肥模拟]第六届进博会招募志愿者，某校高一年级有3位同学报名，高二年级有5位同学报名，现要从报名的学生中选取4人，要求高一年级和高二年级的同学都有，则不同的选取方法种数为______．(结果用数值表示)答案：65

题型三

排列与组合的综合问题角度一相邻、不相邻问题例3(1)[2024·广东汕头模拟]现将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，要求A，B相邻，且B，C不相邻，则不同的排列方式有(

)A．192种

B．240种C．120种

D．28种答案：A

(2)[2024·河北张家口模拟]小李在2005年10月18日出生，他在设置手机的数字密码时，打算将自己出生日期的后6个数字0，5，1，0，1，8进行某种排列，从而得到密码．如果排列时要求两个1不相邻，两个0也不相邻，那么小李可以设置的不同密码有__________个(用数字作答)．答案：84

题后师说相邻与不相邻问题的解决方法(1)“相邻”问题：元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．(2)“不相邻”问题：元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．巩固训练3(1)[2024·河南郑州模拟]黄金分割最早见于古希腊和古埃及．黄金分割又称黄金率、中外比，即把一条线段分成长短不等的a，b两段，使得长线段a与原线段a＋b的比等于短线段b与长线段a的比，即a∶(a＋b)＝b∶a，其比值约为0.618339….小王酷爱数学，他选了其中的6，1，8，3，3，9这六个数字组成了手机开机密码，如果两个3不相邻，则小王可以设置的不同密码个数为(

)A．180

B．210C．240

D．360答案：C

(2)[2024·山东菏泽模拟]新年音乐会安排了2个唱歌、2个乐器和2个舞蹈共6个节目，则2个唱歌节目不相邻且两个乐器节目相邻的节目单共有______种．(用数字表示)答案：144

角度二定序问题例4某6位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来6位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为(

)A．8B．28C．56D．112答案：C

题后师说对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列．巩固训练4

[2024·山东潍坊模拟]现有五人并排站成一排，若甲与乙不相邻，并且甲在乙的左边，则不同的安排方法共有(

)A．128种

B．36种C．72种

D．84种答案：B

1．[2023·全国乙卷]甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有(

)A．30种

B．60种C．120种

D．240种答案：C

2．[2022·新高考Ⅱ卷]甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有(

)A．12种

B．24种C．36种

D．48种答案：B

3．[2021·全国乙卷]将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有(

)A．60种

B．120种C．240种

D．480种答案：C

4．[2023·新课标Ⅰ卷]某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答)．答案：64

状元笔记

分组、分配问题题型一不等分问题对于不等分问题，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．例1[2020·新高考Ⅰ卷]6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有(

)A．120种

B．90种C．60种

D．30种[答案]

C

例2国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教，现有6个免费培养的教育专业师范毕业生，将其平均分到3所学校去任教，有________种不同的分配方法．[答案]

90

题型三部分均