人教版高中数学精讲精练选择性必修三6.2.2 组合及组合数（原卷版）

6.2.2组合及组合数考法一组合的判断【例1】（2023春·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第六十八中学校考期中）下列四个问题属于组合问题的是（

）A．从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作B．从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数C．从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式D．从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长【一隅三反】1．（2023春·山西晋中·高二校考期中）下列问题中不是组合问题的是（

）A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次B．平面上有9个不同点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条直线C．集合的含有三个元素的子集有多少个D．从高二（6）班的50名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法2．（2023春·高二单元测试）（多选）下列是组合问题的是（

）A．平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？B．10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少场次？C．从10个人中选出3个为代表去开会，有多少种选法？D．从10个人中选出3个为不同学科的课代表，有多少种选法？3．（2023·全国·高二专题练习）（多选）下面问题中，是组合问题的是（

）A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数B．从40人中选5人组成篮球队C．从100人中选2人抽样调查D．从1，2，3，4，5中选5个数组成集合4．（2023秋·高二课时练习）判断下列问题分别是排列问题还是组合问题：(1)从10名学生中任选5名去参观一个展览会，求有多少种不同的选法；(2)从1、2、3、4、5这5个数字中，每次任取2个不同的数作为一个点的坐标，求所有不同点的个数；(3)一个黄袋中装有四张分别写有1、3、5、7的卡片，另一个红袋中装有四张分别写有2、8、16、32的卡片．从红袋和黄袋中各任取一张卡片，问这两张卡片上的数相加所得的和有多少种；(4)有四本不同的书要分别送给四个人，每人一本，问一共有多少种不同的送法．考法二组合数的计算【例2-1】（2023·全国·高二随堂练习）计算：(1)；(2)；(3)（4）【例2-2】（2023秋·高二课时练习）解关于正整数x的方程：(1)；(2)．【例2-3】（2023春·上海徐汇·高二上海中学校考期中）（1）已知、为正整数，，求证：：（2）已知、为正整数，求证：；（3）、为正整数，，求证：．【一隅三反】1．（2022春·江苏盐城·高二滨海县五汛中学校考期中）下列四个命题中，假命题为（

）A． B．C． D．2．（2023春·新疆巴音郭楞·高二校考期末）计算(1)(2)3．（2023·陕西西安）解方程：(1)；(2)；(3)，求．4．（2023春·山西运城·高二校考阶段练习）解下列不等式：(1)；(2)．（3）（4）5．（2023·全国·高二专题练习）（1）求证：；（2）求证：；（3）若m、n、r均为正整数，试证明：．考法三组合的实际应用【例3】（2023春·广东江门·高二校考期中）（多选）某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，则下列说法错误的是（

）A．若任意选择三门课程，则选法总数为B．若物理和化学至少选一门，则选法总数为C．若物理和历史不能同时选，则选法总数为D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，则选法总数为【一隅三反】1．（2023秋·高二课时练习）（多选）某中学从4名男生和3名女生中推荐4个参加社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则（

）A．若选1男3女，有4种选法 B．若选2男2女，有18种选法C．若选3男1女，有12种选法 D．共有36种不同的选法2．（2022春·福建·高二福建师大附中校考期中）（多选）新高考按照“”的模式设置，其中“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有考生必考：“1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生可结合自身特长兴趣在化学、生物、政治、地理四科中选择两科．下列说法正确的是（

）A．若任意选科，选法总数为B．若化学必选，选法总数为C．若政治和地理至多选一门，选法总数为D．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为3．（2023·高二校考课时练习）扶贫结对中，5名妈妈各带一名孩子到农村帮扶和体验生活（5个孩子中有3男2女）.村委会需要安排1名妈妈带3个孩子去完成某项任务，且至少要选1个女孩，王林（男）和他的妈妈始终在一起，李台（男）和他的妈妈有且仅有一人前往.则可选的方案的种数是（

）A．12 B．24 C．36 D．484．（2023春·贵州贵阳·高二贵阳一中校考阶段练习）（多选）在某城市中，两地之间有如图所示的道路网，甲随机沿道路网选择一条最短路径，从地出发到地，则下列结论正确的是（

）

A．不同的路径共有31条B．不同的路径共有41条C．若甲途经地，则不同的路径共有18条D．若甲途经地，且不经过地，则不同的路径共有8条考法四分组分配【例4】（2023·全国·高三专题练习）按下列要求分配6本不同的书.（1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本，有种不同的分配方式；（2）甲､乙､丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本，有种不同的分配方式；（3）平均分成三份，每份2本，有种不同的分配方式；（4）平均分配给甲､乙､丙三人，每人2本，有种不同的分配方式；（5）分成三份，1份4本，另外两份每份1本，有种不同的分配方式；（6）甲､乙､丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本，有种不同的分配方式；（7）甲得1本，乙得1本，丙得4本，有种不同的分配方式.【一隅三反】1．（2023秋·山东临沂·高二校考阶段练习）为了保证疫情“社会面清零”，某镇医院派三名医生到不同的四个学校进行核酸检测，每个医生至少去一个学校且至多去两个学校，每个学校只安排一位医生，所有不同的分法共有（

）A．24种 B．36种 C．48种 D．72种2．（2023·安徽）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省张家口市联合举行．某校安排甲、乙、丙、丁、戊五名大学生分别做冰球、冰壶和短道速滑三个比赛项目的志愿者，每个比赛项目至少安排1人，学生甲被单独安排到冰球比赛项目做志愿者的概率为（

）A． B． C． D．3．（2022秋·湖北·高三校联考期中）2022年10月16日中国共产党二十大报告中指出“我们经过接续奋斗，实现了小康这个中华民族的千年梦想，打赢人类历史上规模最大的脱贫攻坚战，历史性地解决绝对贫困问题，为全球减贫事业作出了重大贡献”，为进一步了解和巩固脱贫攻坚成果，某县选派7名工作人员到A，B，C三个乡镇进行调研活动，每个乡镇至少去1人，恰有两个乡镇所派人数相同，则不同的安排方式共有（

）A．1176 B．2352 C．1722 D．13024．（2023安徽）有标号为1，2，3，4，5，6的6个小球和标号为1，2，3，4的4个盒.（1）从6个小球中选出4个放入4个盒中，每盒只放1个小球.①求奇数号盒只放奇数号小球的不同放法种数；②求奇数号小球必须放在奇数号盒中的不同放法种数.（2）若不许空盒且将6个小球都放入4个盒中，求所有不同的放法种数.5.（2023新疆）（1）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，共有多少种放法；（2）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，恰有一个盒子空，共有多少种放法；（3）10个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，每个盒子不空，共有多少种放法；（4）4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，恰有两个盒子空，共有多少种放法？考法五排列组合综合运用【例5-1】（2022春·河北·高二唐山一中校联考期中）从名男同学中选出人，名女同学中选出人．（此题结果用数字作答）(1)共有多少种不同的选法；(2)若把已选出的人排成一排．①若选出的名男同学必须相邻，共有多少种不同的排法；②若选出的名男同学不相邻，共有多少种不同的排法；③若两个男生至少有一人排在两端，共有多少种不同的排法；④指定一人为甲，一人为乙，若甲不站在排头，乙不站在排尾，共有多少种不同的排法．【例5-2】（2023春·安徽·高二巢湖市第一中学校联考期中）（1）用五种不同的颜色给下图中的四块区域涂色，要求相邻的区域颜色不同，则一共有多少种不同的涂色方法？（2）记正方体中两条平行的棱为一对“平行棱”，现从正方体所有棱中任取4条，要求至少得到2对“平行棱”，则一共有多少种不同的取法？【一隅三反】1．（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）（1）将个不同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法?（2）将个不同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法?（3）将个相同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法?（4）将个相同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法?（注：要写出算式，结果用数字表示）2．（2023春·浙江·高二杭州市萧山区第五高级中学校联考期中）盒子中有个不同的白球和个不同的黑球.(1)若将这些小球取出后排成一排，使得黑球互不相邻，白球也不相邻，共有多少种不同的排法？(2)随机一次性摸出个球，使得摸出的三个球中至少有个黑球，共有多少种不同的摸球结果？(3)将这些小球分别放入另外三个不同的盒子，使得每个盒子至少一个球，共有多少种不同的放法？（注：要写出算式，结果用数字表示）3（2023·全国·高三专题练习）如图，用四种不同的颜色给三棱柱的六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色．

(1)若每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有多少种？(2)若每条棱的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有多少种？一、单选题1．（2023春·江苏南通·高二校考期中）（

）A．35 B．56 C．70 D．842．（2023春·江苏南京·高二校联考阶段练习）近期多所学校发布了2023年强基计划招生简章，现有甲、乙、丙、丁四位同学，要报考复旦大学、南京大学、东南大学三所学校，每位同学只能报考其中的一所学校，且每所学校至少有一名同学报考，则不同的报考方法共有多少种（

）A．18 B．36 C．72 D．123．（2023春·云南保山·高二统考期中）“五一”假期将至，腾冲又将迎来今年的新一轮旅游热潮．腾冲某旅行社适时推出了“火山热海”、“和顺古镇”、“叠水河畔”、“湿地荷韵”和“佤寨风光”共五条旅游线路可供旅客选择，其中“火山热海”线路只剩下一个名额，其余线路名额充足．现甲、乙、丙、丁四人前去报名，每人只选择其中一条线路，四人选完后，恰好选择了三条不同的线路．则他们报名的情况总共有（

）A．720种 B．360种 C．320种 D．288种4．（2023秋·新疆乌鲁木齐）第十四届全国人民代表大会于3月5日至13日在北京召开，政府工作报告总结了过去五年的巨大成就，绘就出未来五年的美好蓝图，既鼓舞人心，又催人奋进.为学习贯彻会议精神，现组织4名宣讲员宣讲会议精神，分配到3个社区，每个宣讲员只分配到1个社区，每个社区至少分配1名宣讲员，则不同的分配方案共有（

）A．72 B．12 C．36 D．245．（2023春·广西南宁·高二宾阳中学校联考期末）某中学举行全区教研活动，有10名志愿者参加接待工作.若每天排早、中、晚三班，每班至少3人，每人每天值一班，则教研活动当天不同的排班种数为（

）A． B．C． D．6．（2023春·湖南·高二校联考期末）“五一”假期期间，某旅游景区为加强游客的安全工作，决定增派甲、乙、丙、丁四位工作人员到、、三景点进行安全防护宣传，增派的每位工作人员必须到一个景点，且只能到一个景点做安全防护宣传，每个景点至少增派一位工作人员.因工作需要，乙不能去景点，甲和乙不能同去一个景点，则不同的安排方法数为（

）A．20 B．30 C．42 D．607．（2023春·山东菏泽·高二统考期中）如图，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（

）A．360种 B．264种 C．192种 D．144种8．（2023·全国·高二专题练习）如图，“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现从给出的5种不同的颜色中最多可以选择4种不同的颜色给这5个区域涂色；要求相邻的区域不能涂同一种颜色，每个区域只涂一种颜色．则不同的涂色方案有（

）种A．120 B．240 C．300 D．360多选题9．（2023春·黑龙江七台河·高二勃利县高级中学校考期中）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则()A．课程“射”“御”排在前两周，共有24种排法B．某学生从中选5门，共有6种选法C．课程“礼”“书”“数”排在后三周，共有36种排法D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法10（2023春·河北邢台·高二统考阶段练习）第24届冬奥会于2022年2月4日在中国北京市和张家口市联合举行．甲，乙等5名志愿者计划到高山滑雪、自由式滑雪、短道速滑和花样滑冰4个比赛区从事志愿者活动，则下列说法正确的有（

）A．若短道速滑赛区必须安排2人，其余各安排1人，则有60种不同的方案B．若每个比赛区至少安排1人，则有480种不同的方案C．安排这5人排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有48种不同的站法D．已知这5人的身高各不相同，若安排5人拍照，前排2人，后排3人，且后排3人中身高最高的站中间，则有40种不同的站法11．（2023春·重庆·高二校联考期中）距离高考不到1天时，国家教育部发布了《中国高考报告》，年的高考对各科都有重大的调整，为让高二的学生各科的调整有所了解，某学校拟在一周内组织数学、英语、语文、物理、化学的位该学科的骨干教师进行“中国高考报告”的相应学科讲座，每天一科，连续天.则下列结论正确的是（

）A．从五位教师中选两位的不同选法共有种B．数学不排在第一天的不同排法共有种C．数学、英语、语文排在都不相邻的三天的不同排法共有种D．物理要排在化学的前面（可以不相邻）的排法共有种12．（2023春·浙江嘉兴·高二校联考期中）要从候选的位男同学、位女同学中选出位同学站成一排主持“庆祝‘五四’青年节”文艺汇演，要求至少要有位男同学，若两位男生均被选上，则这两位男同学站位不能相邻，那么（

）A．若位男同学同时被选中，则不同的站位方式有种B．若位男同学中恰有一位被选中，则不同的站位方式有种C．若女同学乙不能站两边，则不同的站位方式有种D．若男同学甲必须被选中，则不同的站位方式有种三、填空题13．（2023春·江苏盐城·高二校联考阶段练习）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．如果某重卦中恰有2个阴爻，则该重卦可以有种．14．（2023春·福建福州·高二校联考期末）平潭城关中学校团委准备开展高三“喊楼”活动，决定从学生会文娱部的3名男生和2名女生中，随机选取2人负责活动的主持工作，则恰好选中一名男生和一名女生的概率为．15．（2024·江西·校联考模拟预测）唐宋八大家，又称唐宋散文八大家，是中国唐代韩愈、柳宗元，宋代苏洵、苏轼、苏辙、王安石、曾巩、欧阳修八位散文家的合称，其中江西独占三家，分别是：王安石、曾巩、欧阳修，他们掀起的古文革新浪潮，使诗文发展的陈旧面貌焕然一新.为弘扬中国传统文化，某校决定从唐宋八大家中挑选五位，于某周末开展他们的散文赏析课，五位散文家的散文赏析课各安排一节，连排五节.若在来自江西的三位散文家中至少选出两人，且他们的散文赏析课互不相邻，则不同的排课方法共有种.（用数字作答）16．（2022春·北京大兴·高二统考期中）在涂色本的某页上画有排成一行的6条未涂色的鱼，小明用红､蓝两种颜色给这些鱼涂色，每条鱼只能涂一种颜色.有如下结论：①若恰有2条鱼被涂成了红色，则不同的涂色方法有15种；②若恰有2条不相邻的鱼被涂成了红色，则不同的涂色方法有10种；③若涂色后，既有红色鱼又有蓝色鱼，则不同的涂色方法有63种.则正确结论的序号是.四．解答题17．（2022春·北京·高二校考期中）从4名男生和3名女生中各选2人，(1)共有多少种不同的选法？(2)如果男生甲与女生乙至少要有1人被选中，那么有多少种不同选法？(3)选出的4人参加百米接力赛，男生甲和女生乙同时被选中参赛，且甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒，有多少种不同的安排方法？（用数字作答）18．（2023春·天津河西·高二统考期中）甲、乙、丙、丁四名同学报名参加、、三个智力竞赛项目，每个人都要报名且只能参加一个项目．(1)共有多少种不同的报