人教版高中数学精讲精练必修二6.4.2 平面向量的应用（精讲）（解析版）

6.4.2平面向量的应用（精讲）思维导图思维导图典例精讲典例精讲考点一平面向量在物理上应用【例1】（2023·哈尔滨）在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况（如图所示）．假设行李包所受的重力为，所受的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，则以下结论不正确的是（）A．的最小值为B．的范围为C．当时，D．当时，【答案】B【解析】如图，对于选项A：当、方向同向时，有，此时取得最小值，且最小值为，A正确；对于选项B：当时，有，行李包不会处于平衡状态，即，B错误；对于选项C：当行李包处于平衡时，，若，则有，变形得，，即，正确；对于D选项：若，则有则有，变形可得则有，D正确，故选：B．【一隅三反】1．（2022·山东）一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向正东．一艘小货船准备从河南岸码头P处出发，航行到河对岸Q（与河的方向垂直）的正西方向并且与Q相距的码头M处卸货，若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为，则当小货船的航程最短时，小货船航行速度的大小为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，当小货船的航程最短时，航线路线为线段，设小货船航行速度为，水流的速度为，水流的速度与小货船航行的速度的合速度为，作出示意图如下：，，在中，有，所以，，，所以，所以，所以小货船航行速度的大小为，故选：C.2．（2022·全国·高一）长江某地南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸．假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为．设和的夹角为，北岸的点在A的正北方向，则游船正好到达处时，等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设船的实际速度为，因为点在A的正北方向，所以，所以.故选：D.3．（2022·全国·高一课时练习）（多选）如图所示，小船被绳子拉向岸边，船在水中运动时，设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中（

）A．船受到的拉力不断增大 B．船受到的拉力不断变小C．船受到的浮力不断变小 D．船受到的浮力保持不变【答案】AC【解析】设水的阻力为，船受到的拉力为，与水平方向的夹角为，则，故，因为不断增大，所以不断减小，故不断增大.因为不断增大，所以船受到的浮力不断减小；故选：AC.考点二平面向量在几何中的应用【例2-1】（2022·河北）在梯形ABCD中，，，，，若EF在线段AB上运动，且，则的最小值为（

）A．5 B． C．4 D．【答案】D【解析】建立如图所示的坐标系,则,设,则,且,故当时,的最小值为,故选：D.【例2-2】．（2022·北京通州）在中，，边的中点为D，且，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，在中，边的中点为D由，可得：，，可得：，，，可得：，（当且仅当时等号成立）则的最大值为4.故选：D.【一隅三反】1．（2022·黑龙江）如图，在直角梯形ABCD中，，，，，P是线段AB上的动点，则的最小值为（

）A． B．5 C． D．7【答案】D【解析】如图，以B点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，，因为，，所以，，，所以，，，所以，所以，所以当，即时，的最小值为7，故选：D．2．（2022·贵州）是边长为6的等边三角形，点，分别在边，上，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】以所在的边为x轴、垂直平分线为y轴建立如图所示平面直角坐标系，设，则，，则，所以，则则的最小值为，故选：D.3．（2022·四川雅安）如图，在等腰直角中，斜边，为线段BC上的动点，且，则的最小值为（

）A． B． C．4 D．6【答案】B【解析】因为在等腰直角中，斜边，所以，因为、，所以，设，则，所以当时，取得最小值，故选：B考点三正余弦定理在实际生活应用【例3】（2022·湖南）一艘轮船沿北偏东28°方向，以18海里/时的速度沿直线航行，一座灯塔原米在轮船的南偏东32°方向上，经过10分钟的航行，此时轮船与灯塔的距离为海里，则灯塔与轮船原来的距离为（

）A．2海里 B．3海里 C．4海里 D．5海里【答案】A【解析】如图，设A为轮船原来的位置，B为轮船10分钟后的位置，C为灯塔的位置，由题意知，，．由余弦定理得，所以，化简得，解得或（舍去），所以灯塔与轮船原来的距离为2海里，故选：A【一隅三反】1．（2022·黑龙江）如图所示，为测一树的高度，在地面上选取、两点，从、两点分别测得树尖的仰角为、，且、两点之间的距离为，则树的高度为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在，，，，又，由正弦定理得：，，树的高度为(m).故选：A．2．（2022·安徽）如图为2022年北京冬奥会首钢滑雪大跳台示意图，为测量大跳台最高点距地面的距离，小明同学在场馆内的点A测得的仰角为（单位：），点在同一水平地面上，则大跳台最高高度（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】在中，，则，∴，由正弦定理可得，则，在Rt中，，∵，则.故选：A．3．（2022·山东临沂·高一期末）一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A处测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进60m到达点B，在点B处测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是（

）A．25m B．30m C．35m D．40m【答案】B【解析】如图所示，设水柱CD的高度为h，在ACD中，∵∠DAC=45°，∴AC=h，∵∠BAE=30°，∴∠CAB=60°，又∵B，A，C在同一水平面上，∴是以C为直角顶点的直角三角形，在中，∠CBD=30°，∴BC=，在中，由余弦定理可得，∴，即，解得．∴水柱的高度是30m，故选：B.考点四正余弦定理与三角函数性质【例4】（2022·新疆）设函数，其中向量，.(1)求的最小值；(2)在△中，，，分别是角，，所对的边，已知，，△的面积为，求的值.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由题设，，所以，当时的最小值为.(2)由，得：，则，又，所以，故，则.由，可得：.在△中，由余弦定理得：，所以.由，则.【一隅三反】1．（2022·广东揭阳）已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，，且的面积为，求．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）据图象可得，故，由得：．由得：．由知，，，解得，；（2），，，，，，由题意得的面积为，解得，由余弦定理得，解得：.2．（2022·青海）已知向量，，函数.（1）求函数的零点；（2）若钝角的三内角的对边分别是，，，且，求的取值范围.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）由条件可得：，∴，所以函数零点满足，则，得，；（2）由正弦定理得，由（1），而，得，∴，，又，得，∴代入上式化简得：，又在钝角中，不妨设为钝角，有，则有.∴.3．（2022·甘肃）已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在锐角中，设角、、所对的边分别是、、，若且，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）最小正周期为，，；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由题意，函数，所以函数的最小正周期为，令，解得，所以函数的单调递增区间是，.（Ⅱ）由（1）可得，因为，可得，由正弦定理可知，所以，，由及为锐角三角形，解得，则.因为，可得，所以，所以.考点五正余弦定理的最值问题【例5-1】（2022·山东）在锐角中，角的对边分别为，且满足．(1)求角的大小；(2)求的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】（1）解：因为，所以，即，即，又，所以，因为，所以；（2），因为为锐角三角形，所以，解得，所以，所以，即的取值范围为．【例5-2】（2022·江苏）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2A+cos2B+2sinAsinB＝1+cos2C．(1)求角C；(2)设D为边AB的中点，△ABC的面积为，求CD的最小值.【答案】(1)；(2).【解析】（1）cos2A+cos2B+2sinAsinB＝1+cos2C，即，由正弦定理可得，结合余弦定理可得，又，故可得.（2）由三角形面积可得，解得；又，故即，当且仅当时取得等号.故CD的最小值为.【一隅三反】1．（2022·广东）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．①；②；③．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若．(1)求角C；(2)若，求△ABC周长的取值范围．【答案】(1)(2)．【解析】（1）选①，由得：，即，所以，因为，故角；选②，由得：，，所以，因为，，所以，解得：；选③，因为，又因为，所以，∴，∵，∴，∴，因为，所以．（2）根据（1）可知：，又因为，由余弦定理得：，所以，即，当且仅当时取得等号，又因为根据三角形的三边关系有：所以，所以△ABC周长的取值范围为．2．（2022·北京）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，是的面积,．(1)证明：A＝2C；(2)若a＝2，且为锐角三角形，求b＋2c的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）证明：由，即，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴A，B，C∈（0，π），∴即A＝2C．（2）∵，且a＝2，∴∵A＝2C，∴B＝π－3C，∵为锐角三角形，所以,∴，∴，由a＝2，，所以，则，且，设,，设，则，∴，，所以,为减函数，∴．3．（2022·广东）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．己知．(1)求A；(2)若，且，求的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】（1）由，得：由正弦定理得：又，所以，故，即，则；（2）由正弦定理得：所以又因为，所以，又，故，故，则，所以故的取值范围为．考点六正余弦定理在几何中应用【例6】（2022·甘肃）如图，△ABC中，点D为边BC上一点，且满足．(1)证明：；(2)若AB＝2，AC＝1，，求△ABD的面积．【答案】(1)见解析(2)【解析】（1）在中，由正弦定理得,在中，由正弦定理得,又，故，由于，所以，因此，（2）由AB＝2，AC＝1，以及余弦定理可得,由于为三角形内角,所以，由(1)知,故因此,进而得【一隅三反】1．（2022·山西）在平面四边形中，，，．(1)若，求的长；(2)求四边形周长的最大值．【答案】(1)；(2).【解析】（1）解：连接，因为，，故为等边三角形，，，则，由正弦定理得，所以，.（2）解：由余弦定理可得，所以，，当且仅当时，等号成立.因此，四边形周长的最大值为.2（2022·广东）如图，在平面四