人教版高中数学精讲精练必修二6.1 平面向量的概念（精讲）（解析版）

6.1平面向量的概念（精讲）思维导图思维导图典例精讲典例精讲考点一概念辨析【例1-1】（2022江苏）有下列物理量:①质量;②速度;③力;④加速度;⑤路程;⑥功.其中，不是向量的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】因为速度、力和加速度既有大小，又有方向，所以它们是向量；而质量、路程和功只有大小，没有方向，所以它们不是向量，故不是向量的个数是3.故选：C【例1-2】（2022·湖北）下列关于零向量的说法正确的是（

）A．零向量没有大小 B．零向量没有方向C．两个反方向向量之和为零向量 D．零向量与任何向量都共线【答案】D【解析】根据零向量的概念可得零向量的长度为零，方向任意，故A、B错误；两个反方向向量之和不一定为零向量，只有相反向量之和才是零向量，C错误；零向量与任意向量共线，D正确．故选：D.【例1-3】（2022·全国·高一课时练习）下列说法错误的是（

）A．向量与向量长度相等 B．单位向量都相等C．的长度为，且方向是任意的 D．任一非零向量都可以平行移动【答案】B【解析】因为，所以和互为相反向量，长度相等，方向相反，故A选项正确；单位向量长度都为，但方向不确定，故B选项错误；根据零向量的概念，易知C选项正确；向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故D选项正确；故选：B.【一隅三反】1．（2022·广东）给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间．其中不是向量的有（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】C【解析】①质量，⑥路程，⑦密度，⑧功，⑨时间只有大小，没有方向，故不是向量，其余均为向量，故共有5个不是向量.故选：C2．（2022山东）下列说法：①零向量是没有方向的向量；②零向量的方向是任意的；③零向量与任意一个向量共线.其中，正确说法的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】由零向量定义及性质知：其方向任意，且与任意向量共线，故①错误，②③正确；故选：C3．（2022黑龙江）下列命题中假命题是（

）A．向量与的长度相等B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C．只有零向量的模等于D．共线的单位向量都相等【答案】D【解析】对于A选项，与互为相反向量，这两个向量的长度相等，A选项正确；对于B选项，两个相等的向量，长度相等，方向相同，若两个相等向量的起点相同，则终点也相同，B选项正确；对于C选项，只有零向量的模等于，C选项正确；对于D选项，共线的单位向量是相等向量或相反向量，D选项错误.故选：D.4．（2022·全国·高一课时练习）下列关于向量的描述正确的是A．若向量，都是单位向量，则B．若向量，都是单位向量，则C．任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量D．平面内起点相同的所有单位向量的终点共圆【答案】D【解析】对于选项A：向量包括长度和方向，单位向量的长度相同均为，方向不定，故向量和不一定相同，故选项A错误；对于选项B：因为，由知，不一定成立，故选项B错误；对于选项C：任意一个非零向量有两个与之共线的单位向量，故选项C错误；对于选项D：因为所有单位向量的模为，且共起点，所以所有单位向量的终点在半径为的圆周上，故选项D正确；故选：D.考点二向量的几何表示【例2】（2022湖南）在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：（1），使||＝4，点A在点O北偏东45°；（2），使＝4，点B在点A正东；（3），使＝6，点C在点B北偏东30°.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】（1）由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如下图所示．（2）由于点B在点A正东方向处，且＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如下图所示．（3）由于点C在点B北偏东30°处，且＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量如下图所示．【一隅三反】1．（2022四川）如图所示，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方.（1）作出向量，，（图中1个单位长度表示100m）；（2）求向量的模.【答案】（1）作图见解析（2）【解析】（1）如图，即为所求.（2）如图，作向量，由题意可知，四边形是平行四边形，∴.2．（2022·湖南）如图的方格由若干个边长为1的小正方形组成，方格中有定点A，点C为小正方形的顶点，且，画出所有的向量.【答案】见解析【解析】∵，∴C点落在以A为圆心，以为半径的圆上，又∵点C为小正方形的顶点，根据该条件不难找出满足条件的点C，解析所有的向量，如图所示：考点三相等向量与平行向量【例3-1】（2022·全国·高一课时练习）下列命题中正确的个数是（

）①若向量与是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上；②若向量与向量平行，则，方向相同或相反；③若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是0°或180°；④若，则，是相等向量或相反向量.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】①错误，平行向量又叫共线向量，向量与是共线向量，则与平行或共线；②错误，与至少有一个为零向量时，结论不成立；由向量的夹角可知③正确；④错误，由，只能说明，的长度相等，确定不了方向.故选：B.【例3-2】（2022·全国·高一专题练习）如图，是正六边形的中心，且，，．在以这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，问：(1)与相等的向量有哪些？(2)的相反向量有哪些？(3)与的模相等的向量有哪些？【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)由相等向量定义知：与相等的向量有.(2)由相反向量定义知：的相反向量有.(3)由向量模长定义知：与的模相等的向量有.【一隅三反】1．（2022·陕西·渭南高级中学高一阶段练习）下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则存在唯一实数使得C．若，，则D．与非零向量共线的单位向量为【答案】D【解析】若，则或，所以选项A错误；若，此时不存在，选项B错误；若，由，，不一定得到，选项C不正确；由向量为非零向量，根据单位向量的定义，选项D正确.故选：D.2．（2020·全国·高一课时练习）为非零向量，“”为“共线”的A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．即不充分也不必要条件【答案】B【解析】分别表示与同方向的向量，，则有共线，而共线，则的方向不一定相同，即两向量不一定相等，“”为“共线”的充分不必要条件.故选:B.3．（2021·全国·高一课时练习）已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：（1