4.2.2 等差数列的前n项和公式-2021-2022学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第二册）

高二数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第二册)第四章：数列4.2.2等差数列的前n项和公式【考点梳理】考点一等差数列的前n项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数求和公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d考点二等差数列前n项和的性质1．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也是等差数列，且公差为eq\f(d,2).2．设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d.3．若等差数列{an}的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(an＋1,an).4．若等差数列{an}的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)·an＋1，S偶－S奇＝－an＋1，eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(n,n＋1).考点三等差数列{an}的前n项和公式的函数特征1．公式Sn＝na1＋eq\f(nn－1d,2)可化成关于n的表达式：Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n.当d≠0时，Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点(n，Sn)在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线y＝eq\f(d,2)x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))x上横坐标为正整数的一系列孤立的点．2．等差数列前n项和的最值(1)在等差数列{an}中，当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取得最值的n可由不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))确定；当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))确定．(2)Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值．当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值．大重难点规律总结：(1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．(2)结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)结合使用．(3)等差数列前n项和Sn最大(小)值的情形①若a1>0，d<0，则Sn存在最大值，即所有非负项之和．②若a1<0，d>0，则Sn存在最小值，即所有非正项之和．(2)求等差数列前n项和Sn最值的方法①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))来寻找．②运用二次函数求最值．【题型归纳】题型一：等差数列前n项和的有关计算1．（2021·全国·高二课时练习）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.（1）求{an}的通项公式；（2）求Sn，并求Sn的最小值.2．（2021·全国·高二课时练习）在等差数列{an}中：（1）已知，求；（2）已知，求n.3．（2021·全国·高二课时练习）根据下列各题中的条件，求相应等差数列的前项和：（1），，；（2），，．题型二：等差数列片段和的性质4．（2021·全国·高二单元测试）设等差数列的前n项和为，若，，则（）A．28 B．32 C．16 D．245．（2021·河南·高二月考）记等差数列的前项和为，已知，，则（）A． B． C． D．6．（2020·湖北·秭归县第一中学高二期中）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，则下列判断错误的是（）A．S5，S10-S5，S15-S10必成等差数列 B．S2，S4-S2，S6-S4必成等差数列C．S5，S10，S15+S10有可能是等差数列 D．S2，S4+S2，S6+S4必成等差数列题型三：等差数列前n项和与n的比值问题7．（2020·江苏省包场高级中学高二月考）在等差数列中，，其前n项和为，若，则（）A．-4040 B．-2020 C．2020 D．40408．（2021·全国·高二课时练习）在等差数列中，，其前项和为，若，则（）A．0 B．2018 C． D．20209．（2020·河北·邢台市南和区第一中学高二月考）已知数列的通项公式是，前项和为，则数列的前11项和为A． B． C． D．题型四：两个等差数列前n项和的比值问题10．（2021·河南·高二月考）已知等差数列和的前项和分别为和，且有，，则的值为（）A． B． C．2 D．311．（2021·全国·高二课时练习）已知数列、都是等差数列，设的前项和为，的前项和为.若，则（）A． B． C． D．12．（2021·西藏日喀则·高二期末（理））已知等差数列与等差数列的前项和分别为和，若，则（）A． B． C． D．题型五：等差数列前n项和的最值问题（二次函数、不等式）13．（2021·北京市一零一实验学校高二期末）设是等差数列的前项和，且，则下列结论正确的有（）A． B． C． D．14．（2021·全国·高二课时练习）已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是（）A．21 B．20 C．19 D．1815．（2021·福建·宁德市第九中学高二月考）已知等差数列满足，是数列的前n项和，则使取最大值的自然数n是（）A．4 B．5 C．6 D．7题型六：等差数列前n项和偶数项和奇数项和与绝对值问题16．（2021·浙江杭州·高二期末）已知数列的前项和为，若，，则（）A． B． C． D．17．（2020·河北·武邑武罗学校高二期中）已知等差数列的公差为4，项数为偶数，所有奇数项的和为15，所有偶数项的和为55，则这个数列的项数为A．10 B．20 C．30 D．4018．（2021·浙江衢州·高二期末）已知等差数列满足：，则的最大值为（）A．18 B．16 C．12 D．8题型七：等差数列的简单应用19．（2021·山西·太原市第五十六中学校高二月考（文））如图，某报告厅的座位是这样的:第一排有9个座位，从第二排起每一排都比前一排多2个座位，共有10排座位.（1）求第六排的座位数；（2）根据疫情防控的需要，要求：同排的两个人要间隔一个座位就坐，(每一排从左到右都按第一、三、五、七、九……的座位就坐，其余的座位不能坐)，那么该报告厅里最多可安排多少人同时参加会议?20．（2021·全国·高二单元测试）某水泥厂计划用一台小型卡车从厂区库房运送20根水泥电线杆，到一条公路沿着路侧架设，已知库房到该公路入口处500米，从库房出发卡车进入公路后继续行驶，直到离入口50米处时放下第一根电线杆，然后沿着该公路同一侧边每隔50米逐一放下余下电线杆，放完折返库房重新装运剩余电线杆．已知卡车每趟从库房最多只能运送3根水泥杆．问：卡车运送完这批水泥杆，并最终返回库房，至少运送几趟？最少行驶多少米？21．（2021·全国·高二课时练习）新能源汽车环保､节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向.工业部表示，到2025年中国的汽车总销量将达到3500万辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一.福建某新能源公司年初购入一批新能源汽车充电桩，每台12800元，第一年每台设备的维修保养费用为1000元，以后每年增加400元，每台充电桩每年可给公司收益6400元.（1）每台充电桩第几年开始获利？(参考数据：)（2）每台充电桩前几年的年平均利润最大(前年的年平均利润=).【双基达标】一、单选题22．（2021·陕西·千阳县中学高二月考）记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（）A．1 B．2C．4 D．823．（2021·河北省唐县第一中学高二月考）设为等差数列的前项和，.若，则（）A．的最大值是 B．的最小值是C．的最大值是 D．的最小值是24．（2021·河南·高二月考（理））设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的n∈N*，都有＝，则＋的值为（）A． B． C． D．25．（2021·河南·高二期中（文））已知数列的前项和，则数列的前项和为（）A． B． C． D．26．（2021·河南商丘·高二期中（理））《莉拉沃蒂》是古印度数学家婆什迦罗的数学名著，书中有下面的表述：某王为夺得敌人的大象，第一天行军由旬（由旬为古印度长度单位），以后每天均比前一天多行相同的路程，七天一共行军由旬到达地方城市.下列说法正确的是（）A．前四天共行由旬B．最后三天共行由旬C．从第二天起，每天比前一天多行的路程为由旬D．第三天行了由旬27．（2021·全国·高二课时练习）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6>S7>S5，有下列四个命题：①d<0；②S11>0；③S12<0；④数列{Sn}中的最大项为S11，其中正确命题的序号是（）A．②③ B．①②C．①③ D．①④28．（2021·河南·高二期中（理））设正项数列的前项和为，当时，，，成等差数列，给出下列说法：①当时，；②的取值范围是；③；④存在，使得.其中正确说法的个数为（）A． B． C． D．29．（2021·河南省实验中学高二期中（文））已知等差数列和的前项和分别为和，且有，，则的值为（）A． B． C． D．30．（2021·河南南阳·高二期中）已知等差数列满足，，，则值为（）A．20 B．19 C．18 D．1731．（2021·上海外国语大学闵行外国语中学高二期中）等差数列的前n项和记为，若的值为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是（）A． B． C． D．32．（2021·全国·高二课时练习）已知数列的前n项和，则的值为()A．68 B．67 C．65 D．56【高分突破】一：单选题33．（2021·江苏·高二单元测试）设等差数列的前项和为，已知，，，则的值为（）A．15 B．16 C．17 D．1834．（2021·全国·高二课时练习）一百零八塔位于宁夏青铜峡市，是喇嘛式实心塔群（如图）.该塔群随山势凿石分阶而建，依山势自上而下，第一阶1座，第二阶3座，第三阶3座，第四阶5座，第五阶5座，从第五阶开始塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，总计108座，故名一百零八塔.则该塔群最下面三阶的塔数之和为（）A．39 B．45 C．48 D．5135．（2021·全国·高二单元测试）已知非常数数列满足，为数列的前n项和.若，，则（）A．2022 B． C． D．202136．（2021·全国·高二课时练习）在等差数列{an}和{bn}中，a1=25，b1=75，a100+b100=100，则数列{an+bn}的前100项的和为（）A．10000 B．8000C．9000 D．1100037．（2021·广西师范大学附属外国语学校高二月考）设等差数列的前项和为，且满足，，则中最大的项为（）A． B． C． D．38．（2021·江苏·苏州中学高二月考）已知数列满足，且，则数列前36项和为（）A．174 B．672 C．1494 D．590439．（2021·河南·高二月考）记等差数列与的前项和分别为和，若，则（）A． B． C． D．40．（2021·全国·高二专题练习）已知为等差数列的前项和，，，则取最小值时，的值为A．11 B．12 C．13 D．1441．（2021·全国·高二课时练习）若数列是等差数列，首项，公差，且，，则使数列的前项和成立的最大自然数是（）A．4039 B．4038 C．4037 D．4036二、多选题42．（2021·江苏·高二专题练习）设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则（）A．an＝－ B．an＝C．数列为等差数列 D．－505043．（2021·福建省龙岩第一中学高二月考）设等差数列的前项和为，公差为．已知，，，则（）A． B．数列是递减数列C．时，的最大值为11 D．数列中最小项为第7项44．（2021·福建省连城县第一中学高二月考）已知公差为的等差数列，为其前项和，下列说法正确的是（）A．若，，则是数列中绝对值最小的项B．若，则C．若，，则D．若，，则45．（2021·辽宁大连·高二期末）已知等差数列的前项和为，等差数列的前项和为，且，则下列选项中正确的是（）A． B．C．数列是递增数列 D．数列是递减数列46．（2021·江苏省苏州第十中学校高二月考）已知数列{an}满足a1＝1，nan+1﹣（n+1）an＝1，n∈N*，其前n项和为Sn，则下列选项中正确的是（）A．数列{an}是公差为2的等差数列B．满足Sn＜100的n的最大值是9C．Sn除以4的余数只能为0或1D．2Sn＝nan47．（2021·全国·高二课时练习）《张丘建算经》是中国古代众多数学名著之一.书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何？”其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了9匹3丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”已知1匹丈，1丈尺，若这个月有30天，记该女子这个月中第天所织布的尺数为，，则（）A． B．数列是等比数列C． D．三、填空题48．（2021·河南·高二月考（文））若数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.49．（2021·江苏·高二专题练习）已知等差数列{an}的首项a1=a，Sn是数列{an}的前n项和，且满足，，n≥2，n∈N*，那么a=____．50．（2021·山西·怀仁市第一中学校高二期中（文））已知等差数列的通项公式为．令，则的最小值为_______．51．（2021·江苏·苏州中学高二期中）在等差数列中，，则使成立的最大自然数n为_______52．（2021·陕西·铜川市第一中学高二期中（理））观察下面的数阵，则第16行从左边起第2个数是______．四、解答题53．（2021·浙江·嘉兴市第五高级中学高二期中）已知等差数列满足，.（1）求公差；（2）求数列的通项公式；（3）设数列的前项和为，求使得最小的的值．54．（2021·全国·高二课时练习）（1）等差数列的前m项和为30，前2m项和为100，求数列的前3m项的和S3m；（2）两个等差数列，的前n项和分别为和，已知，求的值.55．（2021·河南南阳·高二期中）若数列的前项和为，且；数列满足，.（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和.56．（2021·河南焦作·高二期中（理））已知等差数列的前项和为，，.（1）求的通项公式；（2）设数列的前项和为，用符号表示不超过x的最大数，当时，求的值.【答案详解】1．（1）an＝2n－9；（2）Sn＝(n－4)2－16；－16.（1）设数列{an}的公差为d，由题意得a1＝－7，3a1＋3d＝－15.所以d＝2.所以{an}的通项公式为an＝2n－9.（2）由（1）得n2－8n＝(n－4)2－16.所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16.2．（1）S10＝210（2）n＝20（1）由已知条件得，解得，；（2），，.3．（1）（2）（1）.（2）.4．B【详解】由等差数列前n项和的性质，可得，，，成等差数列，∴，解得.∴2，6，10，成等差数列，可得，解得.故选：B5．C【详解】因为是等差数列的前项，由等差数列前项和的性质可知：，，成等差数列，所以，即，解得：，故选：C.6．D【详解】由题意，数列为等差数列，为前项和，根据等差数列的性质，可得而，和构成等差数列，所以，所以A，B正确；当首项与公差均为0时，是等差数列，所以C正确；当首项为1与公差1时，此时，此时不构成等差数列，所以D错误.故选：D.7．C设等差数列的前项和为，则，所以是等差数列．因为，所以的公差为，又，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，所以故选：C8．D【详解】设等差数列的公差为d，由等差数列的性质可得为等差数列，的公差为.，，解得.则.故选：D.9．D【详解】由题意知数列为等差数列，∴．∴，∴数列的前11项和为．选D．10．B【详解】因为为等差数列，故，即，同理可得：，所以.故选：B．11．A【详解】∵，∴，故选：A12．C【详解】因为，则．故选：C．13．A【详解】因为等差数列的前项和，所以由可知，，抛物线开口向下，其对称轴在之间，所以抛物线与轴正半轴交点的横坐标范围是，结合二次函数的图象和性质可知；；；.故选：A14．B【详解】∵(a2－a1)＋(a4－a3)＋(a6－a5)＝3d，∴99－105＝3d.∴d＝－2.又∵a1＋a3＋a5＝3a1＋6d＝105，∴a1＝39.∴Sn＝na1＋d＝－n2＋40n＝－(n－20)2＋400.∴当n＝20时，Sn有最大值．故选：B.15．B【详解】设等差数列的公差为d，依题意，，解得：，于是得，由得，，因此，数列是递减等差数列，其前5项均为正，从第6项开始为负，则其前5项和最大，所以使取最大值的自然数n是5.故选：B16．B【详解】解：数列的前项和为，若，，可得：，，，所以不正确；可得，可知数列奇数项与偶数项都是等差数列，公差都是1，，所以正确；，所以不正确；，所以不正确；故选：B．17．B【详解】设等差数列的公差为，项数为，前项和为，则，即这个数列的项数为20，故选择B.18．C【详解】不为常数列，且数列的项数为偶数，设为则，一定存在正整数k使得或不妨设，即，从而得，数列为单调递增数列，，且，，同理即，

根据等差数列的性质，所以n的最大值为12，选项C正确，选项ABD错误故选：C.19．（1）19；（2）95.【详解】（1）根据题意：每排座位数构成等差数列，且，.所以，即第六排的座位数为.（2）因为每排座位数都为奇数，所以得到第一排做人，第二排做人，第三排做人，…….即每排人数构成等差数列，且，，.所以，即最多可安排95人同时参加会议.20．至少运送7趟，最少行驶14700米.【详解】因为每趟从库房最多只能运送3根水泥杆，，所以至少运送7趟，第一趟运送2根，后6趟每次运送3根时行驶路程最少，后6趟行驶路程构成以为首项，为公差的等差数列，最少行驶米21．（1）3（2）8【详解】（1）每台充电桩第年总利润为所以每台充电桩第3年开始获利（2）每台充电桩前年的年平均利润当且仅当时取等号所以每台充电桩前8年的年平均利润最大22．C【详解】设等差数列的公差为，则，，联立，解得.故选：C.23．D【详解】由得：，整理可得：，等差数列为递增数列，又，，，当且时，；当且时，；有最小值，最小值为.故选：D.24．C【详解】由题意可知b3＋b13＝b5＋b11＝b1＋b15＝2b8，∴＋＝＝＝＝＝＝故选：C．D解：因为数列的前项和，，两式作差得到，又当时，，符合上式，所以，，所以，所以.故选：D.26．D【详解】由题意，不妨设每天行军的路程为数列，则又以后每天均比前一天多行相同的路程，故构成一个等差数列，不妨设公差为七天一共行军由旬，即故，解得，A错误；，B错误；由于，故从第二天起，每天比前一天多行的路程为由旬，C错误；，D正确故选：D27．B【详解】∵S6>S7，∴a7<0，∵S7>S5，∴a6＋a7>0，∴a6>0，∴d<0，①正确.又S11＝(a1＋a11)＝11a6>0，②正确.S12＝(a1＋a12)＝6(a6＋a7)>0，③不正确.{Sn}中最大项为S6，④不正确.故正确的是①②.故选：B28．C解：因为数列的各项都是正数，所以，所以①正确；由，，成等差数列，可得，，则，，，；，，，，所以数列是首项为，公差为的等差数列；是首项为，公差为的等差数列.所以，由，得解得，所以的取值范围是，所以②正确；，所以③正确；因为，所以，，所以④错误.故正确的命题的个数为3个，故选：C.29．B【详解】由等差数列的求和公式可得，，因此，.故选：B.30．A【详解】，故，即.，解得.故选：A.31．D解：设（常数），，即．．故选：．32．A【详解】当时，；当时，符合上式，所以，所以．故选：A.33．D【详解】解：由题意可得即①②且等差数列满足①②两式相加得代入求和公式可得解得故选：D.34．D【详解】设该塔群共有n阶，自上而下每一阶的塔数所构成的数列为，依题意可知，，…，成等差数列，且公差为2，，则，解得.故最下面三价的塔数之和为.故选：D35．B∵，∴，化简得，∴，∴数列为等差数列.又，，∴，∴，∴.故选：B.36．A由已知得{an+bn}为等差数列，故其前100项的和为S100=.故选：A37．B【详解】，得，，所以，即所以，数列的公差，，综上可知，是数列正项中的最小值，是中的最大值，所以是中的最大项.故选：B38．B【详解】在数列中，，当时，，于是得数列是常数列，则，即，因，，则，因此，，，显然数列是等差数列，于是得，所以数列前36项和为672.故选：B39．C【详解】因为，，可得，所以，故选：C.40．A解：，，公差．，，，，，即取最小值时，．故选：．41．B由题意，得数列是递减数列，由，且，可得，，且，，∴，，∴使数列的前项和成立的最大自然数是4038．故选：B42．BCD【详解】Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，整理得－＝－1(常数)，所以数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列．故C正确；所以＝－1－(n－1)＝－n，故Sn＝－.所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－，不适合上式，故an＝故B正确，A错误；所以，故D正确．故选：BCD43．ACD解：，，又，，A对；由的分析可知，当时，当时，可知等差数列为递减数列，当时，数列为递增数列，B错；，又，C对；，时，，时，，，，时，，当，时，、且递减、为正数且递减，最小．D对．故选：ACD．44．CD【详解】对于A：因为为等差数列，且，所以，即，所以，即是数列中绝对值最小的项.故选项A错误；对于B：因为为等差数列，所以，，，为等差数列，设，由得：，故，，，为等差数列解得，所以.故选项B错误；对于C：因为为等差数列，且，，所以，，则.则.故选项C正确；对于D：因为为等差数列，且，，所以，，则.故选项D正确；故选：CD.45．AB【详解】由题意并结合等差数列前n项和的特征,可设:,其中k≠0对于A：，故A正确；对于B：,故B正确；对于C：当k<0时,，所以不是递增数列,故C错误；对