4.3 利用导数求极值与最值（精练）（教师版）

4.3利用导数求极值与最值（精练）1．（2023·海南）设函数，则的极大值点和极小值点分别为（

）A．，4 B．4， C．，2 D．2，【答案】C【解析】，令，得，当，，函数单调递增，当，，函数单调递减，当，，函数单调递减，当，函数单调递增，所以函数的极大值点是，函数的极小值点是.故选：C2．（2023春·湖北武汉）设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（

）A．有三个极值点 B．为函数的极大值C．有一个极大值 D．为的极小值【答案】C【解析】，并结合其图象，可得到如下情况，当时，，在单调递减；当时，，在单调递增；当时，，在单调递增；当时，，在单调递减；∴在取得极小值，在处取得极大值，只有两个极值点，故A、B、D错，C正确；故选:C.3．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）已知定义在区间上的函数的导函数为，的图象如图所示，则（

）A．在上有增也有减B．有2个极小值点C．D．有1个极大值点【答案】D【解析】由图可得，当，时，，当时，.所以的单调递增区间为，，单调递减区间为，所以有1个极大值点，1个极小值点.故A、B错误，而，C错误.故选：D4．（2023春·福建莆田）已知函数的大致图象如图所示，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由图可知，函数有两个递增区间，一个递减区间，所以函数图象开口方向朝上，且于x轴有两个交点，故；又函数的极大值点在y轴左侧，极小值点在y轴右侧，且极大值点离y轴较近，所以方程的两根满足，即，得，因此.故选；B.5．（2023春·天津武清）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（

）A．在区间上单调递增B．在区间上单调递增C．为的极小值点D．为的极大值点【答案】D【解析】对于A，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，A错误；对于B，当时，，在上单调递减，B错误；对于C，在上单调递减，不是的极小值点，C错误；对于D，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，是的极大值点，D正确.故选：D.6．（2023·北京）已知函数的导函数的图像如图所示，若在处有极值，则的值为（

）A．-3 B．3 C．0 D．4【答案】C【解析】由函数的导函数的图像可知当时，，当时，，当时，，即在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，故为函数的极大值点，即，故选：C7．（2023·山东）函数的导函数的图象如图所示，则（

）A．为函数的零点B．函数在上单调递减C．为函数的极大值点D．是函数的最小值【答案】B【解析】根据函数零点的概念可判断A；根据导数与函数单调性的关系判断B；根据函数极值点以及最值与导数的关系可判断C，D.由的图象可知，当时，，当时，，故为函数的极大值点，A错误；当时，，故函数在上单调递减，B正确；当时，，当时，，故为函数的极小值点，C错误；当时，，当时，，故为函数的极小值点，而也为函数的极小值点，与的大小不定，故不一定是函数的最小值，D错误,故选：B8．（2023·全国·高三对口高考）已知在区间上的最大值就是函数的极大值，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，令，得，因为在区间上的最大值就是函数的极大值，则必有，所以.故选：C.9．（2023春·山东聊城）若函数在区间(,)内存在最小值，则实数的取值范围是（

）A．[－5,1) B．(－5,1)C．[－2,1) D．(－2,1)【答案】C【解析】由，令，可得或，由得：或，由得：，所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取得极小值，令，解得或，若函数在(,)内存在最小值，则，得．故选：C10．（2023春·四川眉山）已知函数，，在区间上有最大值，则实数t的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，当或时，，当时，，所以函数在，上递增函数，在上递减函数，故时函数有极大值，且，所以当函数在上有最大值，则且，即，解得.故选：B.11．（2023·四川宜宾·统考三模）若函数的最小值是，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】当时，，则，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，函数的极小值为，因为函数的最小值为，当时，函数在上单调递减，此时，函数在上无最小值，不合乎题意；当时，函数在上单调递减，在上单调递增，此时，函数在上的极小值为，且，则，综上所述，.故选：A.12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的极小值为______．【答案】/-0.5【解析】函数的定义域为，，令，即，得，令，即，得，故函数的单调递增区间为，单调递减区间为，故当时，函数取得极小值，极小值为．故答案为:.13．（2023春·上海）函数在内有极小值，则实数的取值范围是_________．【答案】【解析】因为，则，因为函数在内有极小值所以方程必有一根在内，当时，的两根为，若有一根在内，则，即，此时当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以在处取得极小值，满足题意；当时，的两根相等，均为，则在内无极小值；当时，无实根，则在内无极小值；综上，，故实数的取值范围为故答案为：.14．（2023·重庆）如果函数在处有极值，则的值为__________．【答案】2【解析】因为函数在处有极值，所以，.由于，所以.，解得：或.当时，，，所以单调递减，无极值.所以.故答案为：215．（2023春·河南南阳）若函数在上有且仅有一个极值点，则a的取值范围是______．【答案】【解析】因为，令，由题意可知，在内先减后增或先增后减，结合函数的图像特点可知，在内先减后增，即，或，解得.所以a的取值范围是故答案为：16．（2023春·上海）已知函数在处有极大值，则______.【答案】【解析】由已知，可得，令，解得或，由可得，，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，不是极大值点，舍去；由可得，，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以是函数的极大值点．综上．故答案为：．17．（2023春·安徽）已知在区间上的最大值就是函数的极大值，则m的取值范围是________．【答案】【解析】因为，所以，令，得.由题意得，故．故答案为：.18．（2023·福建）已知函数的导数，若在处取到极大值，则a的取值范围是__________．【答案】【解析】由题意当时不成立，当时有两个零点与.①当时，开口向上，且，故当时，时，在处取到极大值；②当时，开口向下；当时，，无极大值；当时，在区间上，上，故在处取到极大值；当时，在区间上，上，故在处取到极小值.综上有或.故答案为：19．（2023春·吉林长春）若函数在上有最小值，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】，令得，时，时，，所以在和上单调递增，在上单调递减，若函数在上有最小值，则其最小值必为，则必有且，解得，故答案为：.20．（2023·上海普陀·上海市宜川中学校考模拟预测）函数的最大值为__________．【答案】/【解析】，设，，令，得或，所以当时，，即在和上单调递减，当时，，即在上，单调递增，又因为，，所以的最大值为，故答案为：．21．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数在区间上存在零点，则的最小值为__________.【答案】【解析】设函数的零点为，则，则点在直线上.因为表示与的距离，所以则的最小值即为原点到直线的距离的最小值平方，即，令，令，当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，，所以的最小值为.故答案为：22．（2023·陕西西安）若函数在上有最小值，则实数的取值范围是_______.【答案】【解析】，，取得到，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；，取，则或，函数在上有最小值，则，解得，即.故答案为：23．（2023春·山东聊城）已知函数在上的最大值为2，则______．【答案】【解析】因为，所以，又，所以在上恒成立，即在区间上单调递减，所以，得到，故，所以.故答案为：.24．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）若函数在区间上存在最小值，则整数的取值可以是______．【答案】（答案不唯一，、均可）【解析】因为，则.由可得，由可得或，所以，函数的减区间为，增区间为、，所以，函数的极大值为，极小值为，令，其中，则，解得，因为函数在区间上存在最小值，则，解得，所以，整数的取值集合为.故答案为：（答案不唯一，、均可）.25．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围为________.【答案】【解析】，所以在和上，，函数单调递减；在上，，函数单调递增；且当时，，即，所以在区间上有最小值，则：解得.故答案为：26．（2023春·河南商丘）若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】因为，所以，由，得或，则在区间和上单调递增，由，得，则在区间上单调递减，所以在处取得极大值，在处取得极小值，要使函数在区间上存在最大值，又，则，解得，即实数的取值范围是.故答案为：27（2023春·广东）求下列函数的极值：(1)；(2)(3)；(4).【答案】(1)极小值为1，无极大值(2)极小值为3，无极大值.(3)极大值；极小值；(4)极小值，没有极大值．【解析】（1）因为，定义域是R，所以.解可得，或.由可得，所以在上单调递增；当时，恒成立，所以在单调递减.所以时，取得极小值为，无极大值.（2）函数的定义域为，.解可得，.由可得，所以在上单调递增；由可得，所以在单调递减.所以时，取得极小值为，无极大值.（3）函数的定义域是R，，令，解得或，当变化时，、的变化情况如下表：00极大值极小值由表可知，函数的极大值为；的极小值为.（4）函数的定义域为，.令，得.当变化时，、的变化情况如下表：0极小值由表可知，的极小值为，且没有极大值．28．（2023春·新疆伊犁）已知函数在点处的切线方程为．(1)求的值；(2)求的极值．【答案】(1)(2)极大值为，极小值为.【解析】（1）依题可知点为切点，代入切线方程可得，，所以，即，又由，则，而由切线的斜率可知，∴，即，由，解得.（2）由（1）知，则，令，得或，当变化时，，的变化情况如下表:1+00+极大值极小值∴的极大值为，极小值为.29．（2023春·湖北·高二黄石二中校联考阶段练习）已知函数的图象与直线相切.(1)求的值；(2)求函数在区间上的最大值.【答案】(1)(2)【解析】（1）依题意设与相切于点，又，∴，①，②将①②联立得，又，∴代入①得；（2）由（1）知：，且，又在上单调递增，∴，，则单调递减，∴时，，则单调递增，而，∴.30．（2023·云南）已知函数，.求函数的最值；【答案】函数的最大值为，没有最小值【解析】，由于，，所以，设，则，故函数在区间上单调递减，由于，，故存在，使.故当，，则，当时，，则，从而存在，的单增区间为，单减区间为.函数的最大值为，由于，所以，故.所以函数的最大值为，没有最小值.1．（2023春·山东）已知函数在处取得极大值1，则的极小值为（

）A．0 B． C． D．【答案】C【解析】的定义域为，由，得，因为函数在x＝－1处取得极大值1，所以，解得，所以，．令．解得或，令，解得，所以在和上单调递增，在上单调递减，即在处取得极大值，在处取得极小值，所以的极小值为．故选：C2．（2023·甘肃金昌）已知函数在上单调递增，且在区间上既有最大值又有最小值，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】1.因为，则，若在上单调递增，则在上恒成立，即恒成立，则，解得；2.因为，则，①当时，对任意恒成立，所以在上单调递增，此时只有最大值，没有最小值不满足题意；②当时，对任意恒成立，所以在上单调递减，此时只有最小值，没有最大值不满足题意；③当时，令，解得；令，解得；则在单调递增，在单调递减，所以为最小值，若在上既有最大值，又有最小值，则且，解得：；综上所述：．故选：B.3．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知函数，若对任意的，成立，则的最大值是（

）A． B． C．1 D．e【答案】C【解析】设，可得，当时，，则在上单调递增，故当时，，即，当且仅当时，等号成立，设，则，当时，，则在上单调递增，故当时，，即，当且仅当时，等号成立，可得，所以，所以，所以的最大值是.故选：C.4．（2023·山东烟台·统考三模）已知函数的两个极值点分别为，若过点和的直线在轴上的截距为，则实数的值为（

）A．2 B． C．或 D．或2【答案】B【解析】由题意有两个不同零点，则，所以，即或，由，即，而，同理有，所以、均在上，令，则，得，综上，（舍）故选：B5．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知函数，若，在内有极小值，无极大值，则可能的取值个数（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】已知函数，若，所以，则①，又在内有极小值，无极大值，则，所以，又，则当得，，所以，不符合①式，故舍；当得，，所以，由①式可得；当得，，所以，由①式可得；当得，，所以，不符合①式，故舍；当得，，无解，故舍；易知，当时，都无解，故不讨论；综上，或，则可能的取值个数为.故选：C.6．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）若函数有两个极值点，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为函数有两个极值点，又函数的定义域为，导函数为，所以方程由两个不同的正根，且为其根，所以，，，所以，则，又，即，可得，所以或（舍去），故选：C.7．（2023·河北·模拟预测）若函数，则极值点的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】由题得,因为与的图象均关于直线对称,所以的图象也关于直线对称,又,且当时,,所以0,即,所以在上单调递增.令,则,又在上单调递增,所以,使得,所以当时,单调递减;当时,单调递增,又,所以在上,,即单调递减.由图象的对称性可知,在上,单调递增,在上,单调递减,又,所以极值点的个数为3.故选：C.8．（2023春·江苏·高三江苏省前黄高级中学校联考阶段练习）若关于的不等式对任意的恒成立，则整数的最大值为（

）A． B．0 C．1 D．3【答案】B【解析】因为对于任意恒成立，等价于对于任意恒成立，令，，则，令，，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，又，，，所以在有且仅有一个根，满足，即，当时，，即，函数单调递减，时，，即，函数单调递增，所以，由对勾函数可知，即，因为，即，，，所以，当时，不等式为，因为，不合题意；所以整数的最大值为0.故选：B9（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）（多选）已知函数，为的导函数，则（

）A．的最小值为2 B．在单调递增C．直线与曲线相切 D．直线与曲线相切【答案】ABD【解析】对于A，，当且仅当即时，等号成立，故A正确；对于B，，令，，故在单调递增，即在单调递增，故B正确；对于C，设，，在R上单调递增，，，又，所以，所以存在，使得，即，当时，，单调递减；当时，，单调递增；又，，，所以，使得，所以方程有两个实数根和，所以与函数有两个交点，.又，，，所以函数在与交点处的切线斜率都不为.故C错误.对于D，设切点为，由，，故，所以，解得，则切点为，曲线的切线方程为，故D正确；故选：ABD.10．（2023·全国·高三对口高考）已知函数，其中．(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)求在区间上的最大值和最小值．【答案】(1)；(2)答案见解析.【解析】（1）当时，，求导得，则，而，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）依题意，，而，则，①当时，，当且仅当时取等号，函数在上单调递增，则，；②当时，，当且仅当时取等号，函数在上单调递减，则，；③当时，函数在上单调递增，由，得，当时，递减，当时，递增，，由，得，，由，得，，所以当时，的最小值是，最大值是；当时，的最小值是，最大值是；当时，的最小